一类具多滞量的广义Emden-Fowler中立型阻尼微分方程的振动性

林文贤

(韩山师范学院 数学与统计学院， 广东 潮州 521041)

一类具多滞量的广义Emden-Fowler中立型阻尼微分方程的振动性

林文贤

(韩山师范学院 数学与统计学院， 广东 潮州 521041)

通过Riccati变换和Young不等式，获得了具多滞量的广义Emden-Fowler中立型阻尼泛函微分方程的振动准则，推广和改进了最近文献的结果.

广义Emden-Fowler型微分方程；振动准则；阻尼项

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(3):270-273

0 引 言

Emden-Fowler方程因其具有广泛的实际应用价值, 引发了众多学者的研究兴趣[1-8]．本文将讨论一类具阻尼项和多滞量的广义Emden-Fowler中立型泛函微分方程：

[r(t)φ(y′(t))]′+m(t)φ(y′(t))+

q0(t)|x(σ0(t))|α-1(x(σ0(t)))+

(1)

其中，y(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，φ(s)=|s|α-1s,α是常数，n(≥2)是一个偶数，且有下列条件成立：

(H1)p(t),q1(t),q2(t)∈C(I,[0,∞)),

I=[t0,∞), 0≤p(t)≤p<1;

(H2)βn>βn-2>…>β2>α>βn-1>βn-3>…>β1>0是常数；

(H3)r(t)∈C1(I,(0,∞)),

m(t)∈C(I,[0,∞)),r′(t)≥0,

当m(t)=q0(t)=0,n=2时，式(1)就是文献[6]所讨论的方程．本文的研究目的是要获得方程(1)的一些振动性定理，使得文献[6]的结果成为本文结论的特例，并推广文献[7-8]的相应结论．

1 主要结果及证明

引理1 设x(t)是方程(1)的最终正解，则存在t1≥t0，令y(t)>0,y′(t)>0,y″(t)≤0,t≥t1.

证明 设x(t)是方程(1)的最终正解，由条件(H1)和(H4)，有[r(t)|y′(t)|α-1y′(t)]′+m(t)|y′(t)|α-1y′(t)≤0,

t≥t0.

于是

M<0,t≥t1.

注意到r′(t)>0，可得y″(t)≤0,t≥t1.

引理2 设x(t)是方程(1)的最终正解, 且存在某个i0∈{1,2,…,n}, 使得

(2)

证明 设x(t)是方程(1)的最终正解, 由引理1知y′(t)>0, 因此有x(t)>(1-p)y(t). 则由方程(1)得

[r(t)(y′(t))α]′+m(t)(y′(t))α+

(3)

定义函数

φ(t)=y(t)-ty′(t)，

则

φ′(t)=-ty″(t)>0,

故φ(t)单调增加且最终定号．现断言φ(t)>0. 否则若φ(t)≤0，有

(4)

联合式(3)和 (4), 得到

[r(t)(y′(t))α]′+m(t)(y′(t))α+

则有

[r(t)(y′(t))α]′+m(t)(y′(t))α≤

即

令t→∞, 与式(2)矛盾．因此φ(t)>0成立．证毕.

证明 设f(x)=lnx,因f″(x)<0，故当x>0时f(x)为严格凹函数,所以有

即

引理3证毕.

引理4[9]设A>0,B>0,X≥0, 则

定理1 设存在某个i0∈{1,2,…,n}，使得式(2)成立, 且存在函数ρ(t)∈C1(I,(0,∞)),使得

(5)

其中,

σ(t)≤min{σ1(t),σ2(t),…,σn(t)}.

(6)

并且

(7)

则方程(1)是振动的．

证明 设x(t)是方程(1)的非振动解，不失一般性，可设x(t)>0,t≥t0.由引理1, 有y(t)>0,y′(t)>0,t≥t1.令

(8)

则

利用式(3)和(8), 有

(9)

其中，σ(t)≤min{σ1(t),σ2(t),…,σn(t)},且ki(i=1,2,…，n)由式(7)所定义.

(10)

(11)

联合式(7)、(10)和(11), 得到

(12)

(13)

对式(13)积分可得

令t→∞, 注意到式(5), 有W(t)→-∞，这与W(t)>0矛盾. 因此, 方程(1)没有最终正解. 故方程(1)是振动的. 定理1证毕.

推论1 设存在某个i0∈{1,2,…,n}，使得式(2)成立, 且

(14)

则方程(1)是振动的．

证明 只需在定理1中取ρ(t)=1.

(15)

其中，Q(t)由式(7)定义, 则方程(1)是振动的．

证明 如同定理1的证明,设x(t)是方程(1)的非振动解，不失一般性，设x(t)>0,x(τ(t))>0，x(σ1(t))>0,x(σ2(t))>0,t≥t1,故有y(t)>0. 令W(t)的定义同式(8), 则W(t)>0,t≥t1,且式(13)成立. 由式(13)得

从而有

因此

则

上式与条件(15)矛盾. 定理2证毕.

(i)H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

(16)

(17)

其中，h(t,s)由式(16)定义，则方程(1)是振动的．

证明 设x(t)是方程(1)的非振动解，不妨设x(t)>0,x(τ(t))>0，x(σ1(t))>0,x(σ2(t))>0,t≥t1,故有y(t)>0. 令W(t)的定义同式(8), 则W(t)>0,t≥t1,且式(12)成立. 记

由引理4及A(s)的定义, 可得

W(t1),

与条件(17)矛盾. 定理3证毕.

[1]ELBERTA.Ahalf-linearsecondorderdifferentialequation[J]. Acta Mathematica Hungarica,1987,49(3/4):487-508.

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[5] 林文贤.具有阻尼项的中立型Emden-Fowler方程的区间振动准则[J].韩山师范学院学报，2011，32(6)：8-11. LIN W X. An interval oscillation criteria for neutral Emden-Fowler equations with a damping term[J]. Journal of Hanshan Teachers College,2011，32(6)：8-11.

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[8] LIU H, MENG F, LIU P. Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden-Fowler equations[J]. Appl Math Comput,2012,219(5):2739-2748.

[9] HARDY G H，LITTERWOOD J E，POLYA G.Inequalities[M].2nd ed. Cambridge：Cambridge University Press，1952.

Oscillation for generalized Emden-Fowler neutral functional differential equations with damping terms and multiple delays.

LIN Wenxian

(CollegeofMathematicsandStatistics,HanshanNormalUniversity,Chaozhou521041，GuangdongProvince,China)

Using Riccati transformation method and Young’s inequality, some new interval oscillatory criterion for generalized Emden-Fowler neutral functional differential equations with damping terms and multiple de1ays are obtained. The results generalize and improve some known results.

generalized Emden-Fowler functional differential equations; oscillation criteria; damping terms

2016-06-15.

广东省高等教育教学改革项目(GDJG20142396)；广东省高等学校特色创新项目(2014GXJK125)；广东省自然科学基金资助项目(S2013010013372)．

林文贤(1966-)，ORCID：http://orcid.org/0000-0002-4984-6774，男，教授，主要从事泛函微分方程理论及其应用研究，E-mail:linwx66@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.004

O 175.13

A

1008-9497(2017)03-270-04