利用带形状参数的有理势函数构造基于Metaball的过渡曲线

李军成, 宋来忠

(1. 湖南人文科技学院 数学与金融学院, 湖南 娄底 417000; 2. 三峡大学 理学院, 湖北 宜昌 443002)

利用带形状参数的有理势函数构造基于Metaball的过渡曲线

李军成1, 宋来忠2

(1. 湖南人文科技学院 数学与金融学院, 湖南 娄底 417000; 2. 三峡大学 理学院, 湖北 宜昌 443002)

利用现有势函数构造基于Metaball的过渡曲线,此过渡曲线无法兼具拟高阶连续性与形状可调性. 针对这一问题, 巧妙地从一种带形状参数的曲线模型出发, 构造一类带形状参数的有理势函数, 并研究该势函数的性质. 所构造的有理势函数具有统一的数学模型, 不仅能使过渡曲线在端点处达到拟Ck连续, 而且还可通过修改形状参数的值调整过渡曲线的形状. 实例表明,通过调整有理势函数的次数及形状参数的取值可构造出满足不同拟连续性且形状不同的过渡曲线, 以满足实际应用需要.

势函数; 形状参数; Metaball技术; 过渡曲线; 形状调整

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(3):307-313

在计算机辅助几何设计(CAGD)中, 曲线造型一直以来都是重要的研究课题. 随着几何造型工业的发展, 人们往往需要改变曲线的形状以满足实际工程的需要. 因此, 带形状参数的曲线造型方法逐渐成为研究热点. 这些方法的主要目的是在曲线模型中引入形状参数, 并通过修改形状参数的取值实现对曲线形状的调整. 例如, 带形状参数的Bézier曲线[1-2], 带形状参数的B样条曲线[3-4], 带形状参数的三角曲线[5-6]等.

在曲线造型中, 过渡曲线的构造在许多实际工程问题中有着十分广泛的应用[7-9]. 为满足过渡曲线的设计要求, 李凌丰等[10]提出了一种基于势函数与Metaball技术构造过渡曲线的方法, 该法采用WYVILL等定义的六次多项式势函数构造能光滑连接2条曲线的过渡曲线, 虽然对被连接曲线的种类没有限制, 但所构造的过渡曲线在端点处的连续性较低，且其形状无法调整. 为解决此问题, 高晖等[11]构造了2类势函数: 第1类为可使过渡曲线在端点处达到拟Ck连续的多项式势函数; 第2类为可使过渡曲线在端点处达到拟C1连续且具有形状可调性的混合三角势函数. 文献[11]构造的第1类势函数，虽然提高了过渡曲线在端点处的拟连续性, 但仍然无法调整其形状; 构造的第2类势函数，虽然过渡曲线的形状可调, 但在端点处的拟连续性较低. 另外, 2类势函数构造过程较为烦琐，且均无统一的数学模型, 因此需要重新构造满足不同情形的势函数. 与文献[10-11]类似, 刘华勇等[12-14]研究了基于调配函数的过渡曲线构造与连续性问题, 并给出了可使过渡曲线在两端点处满足拟Ck(k=0, 1, 2)连续的调配函数. 注意到为了使过渡曲线在满足一定连续性的条件下同时具有形状可调性, 文献[12-14]将2条被过渡曲线取为带形状参数的曲线模型. 由于所选取的2条被过渡曲线均带有形状参数, 所以所构造的过渡曲线在不改变几何连续性的情形下，可通过其所带的形状参数进行形状调整. 然而, 在大量实际过渡曲线构造问题中, 2条被过渡曲线的模型往往并不特定. 为此, 李军成等[15]构造了一类带参数的多项式势函数, 并研究了该势函数在构造过渡曲线中的应用. 虽然文献[15]提出的方法对2条被过渡曲线的种类没有限制, 而且还可利用势函数所带的参数对过渡曲线的形状进行调整, 但所构造的过渡曲线在两端点处仅能满足拟C2连续, 不适合连续性要求更高的场合.

为满足更高要求的过渡曲线设计, 本文在文献[15]的基础上, 巧妙地从一种带形状参数的曲线模型出发, 构造一类带形状参数的有理势函数, 该势函数不仅具有统一的数学模型, 而且可使过渡曲线同时具有拟Ck(k≥1)连续性和形状可调性.

1 问题的描述

在解决大量实际工程问题的过程中, 常常需要将数段零散的曲线段连接成一个整体, 且要求不破坏曲线段的光滑度, 基于 Metaball 的过渡曲线构造就能满足这一要求[10]. 文献[10-11]描述了基于Metaball构造过渡曲线的问题: 给定平面上相交于点C的2条参数曲线P(t)与Q(t), 2条曲线的端点分别记为A与B, 如图1所示, 希望构造1条能光滑连接A和B点的过渡曲线R(t).

图1 构造基于Metaball的过渡曲线Fig.1 Construction of transition curves basedon Metaball technique

针对上述问题,文献[11]给出了过渡曲线的方程：

(1)

其中，0≤t≤1,f(t)为势函数.

由式(1)可知,为使所构造的过渡曲线在2个端点处达到拟Ck连续,势函数f(t)(0≤t≤1)在端点处须满足

(2)

由于构造过渡曲线R(t)的目的是使曲线P(t)连续平滑地过渡到Q(t),因此过渡曲线R(t)在靠近曲线P(t)处应与P(t)具有相似的形状,而在靠近曲线Q(t)处则应与Q(t)具有相似的形状.由式(1)可知,当给定曲线P(t)与Q(t)时,过渡曲线R(t)的形状完全由势函数f(t)决定,故势函数的选取是构造过渡曲线的关键.本文的主要目的就是构造一类同时具有多种特性的势函数,并将其用于构造基于Metaball的过渡曲线.

2 势函数的构造及其性质

2.1 势函数的构造

构造势函数的主要思想:首先选取一种恰当的带形状参数的曲线模型,然后利用曲线模型在端点处满足性质来构造具有某种特定要求的势函数.

文献[16]构造了一种带5个参数k,ωi,αi(i=1,2)的曲线,其表达式为

(3)

其中，0≤t≤1,Vi∈Rd(d=2,3;i=0,1,2,3)为给定的控制顶点,bi(t)(i=0,1,2,3)为调配函数,满足

(4)

其中,

R(t)= (1-t)k+1+ω1(1-t)k+1t+

ω2(1-t)tk+1+tk+1,

整数k≥1,实数ωi>0(i=1,2),α1∈[0,1),α2∈(0,1].

由式(3)定义的曲线在端点处满足

(5)

其中，1≤i≤k,Ai是与i,ω1,α1有关的常数,Bi是与i,ω2,α2有关的常数.

显然,式(3)对应的函数可表示为

f(t)=b0(t)y0+b1(t)y1+b2(t)y2+b3(t)y3，

(6)

其中,bi(t)(i=0,1,2,3)为由式(4)定义的4个调配函数,yi∈R(i=0,1,2,3).

由式(5)可知,式(6)定义的函数在端点处满足

(7)

为了使所构造的过渡曲线在2个端点处达到拟Ck连续,由式(2)和(7)则可得

(8)

由式(8)可得

(9)

将式(9)代入式(6),并令ω1=ω2=ω,可定义如下一类带形状参数的有理势函数.

定义1 对于整数k≥1,实数ω>0,称关于变量t(0≤t≤1)的函数

(10)

为带形状参数ω的有理势函数.

2.2 势函数的性质

带形状参数ω的有理势函数fk(t)具有如下性质：

性质1 端点性:势函数fk(t)在端点处满足

fk(0)=1,fk(1)=0,

证明 由势函数fk(t)的构造过程可知,端点性显然成立.

注1 由性质1及式(1)可得R(0)=P(0),R(1)=Q(1).此即表明,在端点A处,仅曲线P(t)对过渡曲线R(t)有影响;而在端点B处,仅曲线Q(t)对过渡曲线R(t)有影响.

另外,由性质1和式(1)并经简单推导可得R(i)(0)=P(i)(0),R(i)(1)=Q(i)(1),i=1,2,…,k.表明势函数fk(t)可使过渡曲线R(t)在两端点处达到拟Ck(k≥1)连续.例如,使过渡曲线在两端点处分别达到拟C1,C2,C3连续的势函数为

性质2 中点性:fk(0.5)=0.5.

证明 由式(10)可得

注2 由性质1及式(1)可得

表明在t=0.5处,曲线P(t)与Q(t)对过渡曲线R(t)有相同的影响.

性质3 对称性:fk(t)+fk(1-t)≡1.

证明 由式(10)可得

(11)

故由式(10)与式(11)易得

fk(t)+fk(1-t)≡1.

性质4 单调性:固定k与ω时,势函数fk(t)关于变量t单调递减.

证明 令

固定k与ω时,由式(10)经计算可得

(12)

其中，

(13)

当k≥1,ω>0时,由式(13)可得

(14)

图2 ω=2时的势函数fk(t)(k=1,2,3)Fig.2 The potential function fk(t)(k=1,2,3) with ω=2

注3 由性质4及式(1)可知,随着t(0≤t≤1)的增大,曲线P(t)对过渡曲线R(t)的作用逐渐减小,而曲线Q(t)对过渡曲线R(t)的作用则逐渐增大.

性质5 形状可调性:固定k,当0≤t≤0.5时,势函数fk(t)关于参数ω单调递减;当0.5

证明 令

固定k与t,由式(10)，计算得

(15)

图3 参数ω取不同值时的势函数f1(t)Fig.3 The potential function f1(t) with different values of the parameter ω

注4 由性质5知,可通过修改参数ω(ω>0)的值调整势函数fk(t)的形状.于是,由式(1)知,当曲线P(t)与Q(t)保持不变时,过渡曲线在两端点处满足拟Ck(k≥1)连续的情形下，可通过修改参数ω的值对其形状进行调整.

综上所述,本文所构造的有理势函数fk(t)不仅与文献[10-15]中的势函数或调配函数性质完全相同,而且还具有以下特性:

(1)可令过渡曲线在两端点处达到拟Ck(k≥1)连续.

(2)具有统一的数学模型.

相对于文献[10-15]给出的势函数或调配函数,本文构造的有理势函数fk(t)具有如下优势:

(1)文献[10]所采用的势函数虽然结构简单,但所构造的过渡曲线在端点处仅满足拟C1连续,且无法调整过渡曲线的形状.而有理势函数fk(t)不仅可令过渡曲线在端点处达到拟Ck连续,而且过渡曲线的形状还可通过所带的形状参数ω进行调整.

(2)文献[11]所构造的2k+1次多项式势函数虽然可令过渡曲线在端点处达到拟Ck连续,但无法调节过渡曲线的形状,且满足不同连续性要求的势函数都需要通过求解方程组重新获得.而有理势函数fk(t)不仅具有统一的数学模型,而且在令过渡曲线在端点处达到拟Ck连续的情形下仍可通过修改形状参数ω的值实现对过渡曲线形状的调整.

(3)文献[11]所构造的几类三角混合势函数虽然可令过渡曲线具有形状可调性,但过渡曲线在两端点处仅满足拟C1连续.而有理势函数fk(t)不仅可实现过渡曲线的形状可调,而且还令过渡曲线在两端点处达到拟Ck连续.

(4)虽然文献[12-14]所构造的调配函数可令过渡曲线同时具有形状可调性和在两端点处满足拟Ck(k=0,1,2)连续性,但都是将两被过渡曲线取为特定的带形状参数的曲线.而利用有理势函数fk(t)构造过渡曲线时,不仅实现了形状可调和拟Ck连续,而且两被过渡曲线可取为任意参数曲线.

(5)文献[15]所构造的多项式势函数，不仅对两被过渡曲线的种类没有限制,而且还可通过势函数中所带的参数调整过渡曲线的形状,但过渡曲线在两端点处仅满足拟C2连续.而有理势函数fk(t)不仅对两被过渡曲线的种类没有限制,而且在令过渡曲线在两端点处达到拟Ck(k≥1)连续的情形下还可通过势函数所带的参数对其形状进行调整.

3 应用实例

给出以下几种情形下,利用有理势函数fk(t)构造基于Metaball过渡曲线的实例.

(1)直线与直线间的过渡曲线

设两直线P(t)与Q(t)的方程分别为

形状参数ω取不同值时,分别利用有理势函数fk(t)(k=1,2,3)构造满足拟Ck(k=1,2,3)连续的不同形状的过渡曲线，如图4所示.

图4 直线与直线间的过渡曲线Fig.4 The transition curve between straight lines

(2)直线与圆弧间的过渡曲线

设直线P(t)与圆弧Q(t)的方程分别为

形状参数ω取不同值时,分别利用有理势函数fk(t)(k=1,2,3)构造满足拟Ck(k=1,2,3)连续的不同形状的过渡曲线，如图5所示.

图5 直线与圆弧间的过渡曲线Fig.5 The transition curve between straight line and arc

(3)圆弧与圆弧间的过渡曲线

设两圆弧P(t)与Q(t)的方程分别为

形状参数ω取不同值时,分别利用有理势函数fk(t)(k=1,2,3)构造满足拟Ck(k=1,2,3)连续的不同形状的过渡曲线，如图6所示.

图6 圆弧与圆弧间的过渡曲线Fig.6 The transition curve between arcs

(4)直线与曲线间的过渡曲线

设直线P(t)与曲线Q(t)的方程分别为

形状参数ω取不同值时,分别利用有理势函数fk(t)(k=1,2,3)构造满足拟Ck(k=1,2,3)连续的不同形状的过渡曲线，如图7所示.

图7 直线与曲线间的过渡曲线Fig.7 The transition curve between straight line and curve

(5)圆弧与曲线间的过渡曲线

设圆弧P(t)与曲线Q(t)的方程分别为

形状参数ω取不同值时,分别利用有理势函数fk(t)(k=1,2,3)构造满足拟Ck(k=1,2,3)连续的不同形状的过渡曲线，如图8所示.

图8 圆弧与曲线间的过渡曲线Fig.8 The transition curve between arc and curve

(6)曲线与曲线间的过渡曲线

设两曲线P(t)与Q(t)的方程分别为

形状参数ω取不同值时,分别利用有理势函数fk(t)(k=1,2,3)构造满足拟Ck(k=1,2,3)连续的不同形状的过渡曲线，如图9所示.

图9 曲线与曲线间的过渡曲线Fig.9 The transition curve between curves

上述实例表明,利用本文提出的带形状参数的有理势函数构造基于Metaball的过渡曲线时,可通过选取势函数的次数及形状参数值获得连续的、形状不同的过渡曲线,过渡曲线形状自然,且均可光滑地连接2条被过渡曲线,能满足不同的实际应用需求.

4 结 语

为了满足更高要求的过渡曲线设计,本文巧妙地利用一种带形状参数的曲线模型，构造了一类带形状参数的有理势函数.所构造的势函数不仅具有统一的数学模型,而且在利用该势函数构造基于Metaball的过渡曲线时,可令过渡曲线达到拟Ck(k≥1)连续,还可通过修改形状参数值调整过渡曲线的形状.

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Construction of transition curves based on Metaball technique using rational potential function with a shape parameter.

LI Juncheng1, SONG Laizhong2

(1.CollegeofMathematicsandFinances,HunanUniversityofHumanities,ScienceandTechnology,Loudi417000,HunanProvince,China; 2.CollegeofScience,ChinaThreeGorgesUniversity,Yichang443002,HubeiProvince,China)

Using the existing potential functions to construct transition curve based on Metaball technique, it can not have both quasi high order continuity and shape adjustability. To solving this problem, a rational potential function with a shape parameter is constructed ingeniously from a curve with shape parameters. Some properties of the rational potential function are studied. The rational potential function is expressed as a unified mathematical model, which can not only make the transition curve achieve quasiCkcontinuity at the end points, but also adjust the shape of the transition curve by modifying the value of the shape parameter. Some examples showed that the transition curves with different continuities and shapes could be constructed by changing the degree and the shape parameter of the rational potential function, which could be used to meet different needs of the practical application.

potential function; shape parameter; Metaball technique; transition curve; shape adjustment

2016-01-26.

国家自然科学基金资助项目(11171181);湖南省教育厅资助科研项目(14B099).

李军成(1982-),ORCID：http://orcid.org/0000-0002-1904-4068，男,博士,副教授,主要从事计算机辅助几何设计及其应用研究，E-mail:lijuncheng82@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.011

TP 391

A

1008-9497(2017)03-307-07