悬浮石墨烯薄膜的压力敏感特性建模与仿真分析

代 岳， 刘冠军， 邱 静， 张 勇

(1. 国防科学技术大学 机电工程与自动化学院， 湖南 长沙 410073；2. 国防科学技术大学 装备综合保障技术重点实验室， 湖南 长沙 410073)

悬浮石墨烯薄膜的压力敏感特性建模与仿真分析

代 岳1,2， 刘冠军1，2， 邱 静1，2， 张 勇1，2

(1. 国防科学技术大学 机电工程与自动化学院， 湖南 长沙 410073；2. 国防科学技术大学 装备综合保障技术重点实验室， 湖南 长沙 410073)

针对悬浮式石墨烯压力传感器设计缺乏定量分析方法的问题， 本文采用有限元建模仿真方法， 建立了矩形、 方形和圆形等3种不同形状悬浮石墨烯薄膜的压力敏感特性模型， 仿真得到了其压力-应变关系， 然后进行了不同条件及与实测值的对比分析. 对比分析结果验证了有限元建模仿真的准确性， 表明3种形状薄膜中矩形薄膜的中心形变位移和应变最大， 且二者随薄膜尺寸的增大而增大. 上述结果为悬浮式石墨烯压力传感器的结构与性能优化设计提供了有效指导.

石墨烯薄膜； 压力传感器； 压力敏感特性； 应变； 有限元建模与仿真

0 引 言

石墨烯自2004年被发现以来， 就因其独特的力学、 电学等性能成为了材料领域的研究热点. 单层石墨烯仅为约0.335 nm的单原子厚度[1]， 其杨氏模量高达1 TPa[2]， 最大可承受约25%的应变[3]. 实验表明， 石墨烯对于SiO2基底具有很强的吸附性[4]， 且气体分子(包括氦原子)不能穿透[5]. 此外， 石墨烯还具有良好的压阻效应[6]. 这些特性使得石墨烯有望成为新型敏感材料， 在高性能压力传感器领域具有广阔的应用前景[7-11].

悬浮式石墨烯压力传感器作为石墨烯压力传感器的一种， 是应用悬浮石墨烯薄膜压力-应变-电阻变化的关系作为敏感特性， 从而实现对压力的测试. 近年来， 研究人员试制了悬浮式石墨烯薄膜压力传感器原型样机， 例如， 瑞典皇家理工学院的A.D.Simth等人总结前人工作， 提出并试制了悬浮式石墨烯压力传感器， 进行了初步测试， 测得其灵敏度为3.95 μV/V/mmHg， 是传统MEMS硅膜压力传感器灵敏度的20～100倍[12]. 但目前的悬浮石墨烯压力传感器设计、 制造和试验过程中， 对于传感器的敏感特性等机理还缺乏研究， 传感器只是根据前人经验选取的单一尺寸， 其设计尚处于经验摸索阶段， 还需构建科学的模型， 以有的放矢地指导传感器设计， 避免盲目试错.

本文针对该情况， 采用有限元方法， 针对悬浮石墨烯压力传感器传感特性中的核心——石墨烯压阻效应模型中的压力-应变关系， 进行建模和仿真分析， 得到指导悬浮石墨烯压力传感器尺寸和结构设计的模型和规律.

1 悬浮石墨烯薄膜压力-应变关系有限元建模与仿真

1.1 模型建立与参数设定

图 1 悬浮式石墨烯压力传感器示意图Fig.1 Schematic of pressure sensor based on suspended graphene

由于石墨烯对于SiO2基底的强吸附性， 建模时可认为石墨烯与SiO2基底的接触部分固支. 悬浮式石墨烯压力传感器的设计原理就基于这两种性质： 如图 1 所示， 利用石墨烯将SiO2/Si基底上刻蚀的空腔密封， 空腔内预存一定压力的气体； 当内外压差不相等时， 空腔上方的石墨烯受到压力作用， 由于石墨烯的压阻效应， 石墨烯的电阻将发生变化. 这样， 通过检测电阻的变化， 就可以检测出外部压力的变化. 悬浮式石墨烯压力传感器中， 敏感部分是空腔上方的石墨烯， 所以在力学建模和仿真时， 可将模型简化， 选取对应空腔形状、 产生形变的石墨烯薄膜单独研究. 也就是说， 在本文的建模过程中， 石墨烯薄膜的形状就是空腔的形状. 此外， 表征压阻效应的重要参数是应变系数(Gauge Factor)， 其大小是电阻变化率与应变的比值[13]， 因此在建模和仿真过程中， 不仅要得到薄膜的中心形变位移， 还要计算出薄膜的最大应变.

本文利用COMSOL软件进行仿真研究. 由于软件自带的材料库中并不包含石墨烯材料， 故需自定义石墨烯材料的参数. 根据文献， 取石墨烯的杨氏弹性模量E=1.0×1012Pa=1.0 TPa； 泊松比ν=0.16[14]； 密度与石墨的密度相同， 即ρ=2 200 kg/m3[14]. 建模过程中， 将石墨烯视为各向同性的线弹性材料， 利用二维模块中的板(plate)接口， 取单层石墨烯的厚度为t=0.335 nm. 石墨烯薄膜边缘为固定约束， 并考虑初始预应力， 据文献可设为0.1 N/m[4]. 由于石墨烯的厚度远小于其形变位移， 故需考虑薄膜变形时的几何非线性， 否则仿真结果会出现较大的偏差.

1.2 3种形状悬浮石墨烯薄膜受压变形的有限元仿真

根据力学理论推导计算可得到： 对于矩形、 方形和圆形3种形状的薄膜， 受面压力后， 垂直于薄膜平面方向上的薄膜最大形变位移发生在中心处， 最大应变发生在过形状中心、 沿边长方向的截面内， 即圆形最大应变发生在过圆心的截面内， 方形最大应变发生在过中心、 沿边长方向的截面内， 矩形最大应变发生在过中心、 沿短边长(垂直于长边)方向的截面内， 计算截面与薄膜相交的截线在施加载荷前后的长度变化， 即可得到薄膜的最大应变

式中： Δl表示截线长度的变化值；l′表示施加载荷后截线的长度；l表示未施加载荷时的长度.

3种薄膜的截线及矩形薄膜截线长度变化(另外两种类似)如图 2 所示. 故在本文中， 定义3种形状的薄膜“同一尺寸”指的是未施加载荷的薄膜上述截线长度l相等， 即矩形薄膜的短边长、 方形薄膜的边长和圆形薄膜的直径相等. 下文中l也为薄膜的尺寸.

图 2 3种薄膜的截线及矩形薄膜截线长度变化Fig.2 Cut lines of membranes in three shapes and the deformed cut line of rectangular membrane

图 3 圆形薄膜的有限元仿真结果Fig.3 The finite element simulation result of circular membrane

仿真得到中心形变位移的结果后， 先将COMSOL中这条截线的z方向位移随截线长度方向变化的坐标数据导入MATLAB中， 利用曲线拟合出截线变形后的形状， 为多阶抛物线， 然后利用曲线积分算出长度区间内的曲线长度， 即是加载后的截线长度， 可用于式(1)计算应变. 下面的仿真中， 取各形状薄膜的尺寸都为6 μm， 受压力差为0.05 MPa.

1.2.1 圆形石墨烯薄膜受压形变的有限元仿真

直径为6 μm的圆形石墨烯薄膜在0.05 MPa 的压力下产生的中心形变位移为0.150 4 μm， 有限元仿真结果如图 3 所示. 在中心处做一条直径方向的截线， 计算圆形薄膜的应变. 利用曲线积分， 可算得其长度为6.010 5 μm， 故其应变ε=(6.010 5-6)/6×100% =0.175%.

必须指出的是， 有限元仿真时划分的网格密度会影响仿真结果. 但当网格划分密度达到一定程度以后， 仿真结果趋于一个定值. 以圆形薄膜为例， 直径6 μm， 施加压力为0.05 MPa， 采用不同的网格划分密度， 结果如表 1 所示.

以上从“极端粗化”到“极端细化”为COMSOL默认的9个级别的网格划分尺寸. 根据对比可知， 随网格划分密度的增加， 仿真得到的结果趋于一个定值. 特别地， 当网格划分比“细化”更密集时， 可认为结果不再显著变化， 更多的网格会导致更大的计算量、 更长的计算时间. 所以， 为提高仿真效率并保证得到足够精确的仿真结果， 本文的有限元仿真中网格划分选为“较细化”.

表 1 不同网格密度的仿真结果

1.2.2 方形石墨烯薄膜受压形变的有限元仿真

边长为6 μm的正方形薄膜， 受压力载荷0.05 MPa， 仿真结果如图 4 所示， 其中心形变位移为0.166 0 μm. 在正方形中心处与边长平行方向做一条截线， 计算方形腔的应变. 利用曲线积分， 可算得其长度为6.013 3 μm， 故其应变ε=(6.013 3-6)/6×100%=0.222%.

图 4 方形薄膜的有限元仿真结果Fig.4 The finite element simulation result of square membrane

1.2.3 矩形石墨烯薄膜受压形变的有限元仿真

矩形薄膜的长宽比会影响仿真结果， 此处利用有限元仿真加以验证. 取不同长宽比(短边长都为6 μm) 的矩形腔， 得到如表 2 所示的仿真结果.

表 2 矩形不同长宽比时的仿真及计算结果

通过分析可知， 当长宽比大于或等于2.5时， 得到的仿真结果趋于常值、 不再变化， 即长宽比只要大于或等于2.5， 矩形的中心形变位移与长宽比无关.

仿真时不妨取矩形薄膜的尺寸为6 μm×40 μm. 在压力为0.05 MPa下， 有限元仿真结果如图 5 所示， 得到其中心形变位移为0.200 2 μm. 在中心处做一条沿短边方向的截线， 计算矩形腔的应变. 依旧利用曲线积分， 算得其长度为6.017 7 μm， 故其应变ε=(6.017 7-6)/6×100%=0.295 3%.

图 5 矩形薄膜的有限元仿真结果Fig.5 The finite element simulation result of rectangular membrane

2 悬浮石墨烯薄膜压力-应变关系有限元建模与仿真的对比分析

2.1 不同条件下有限元仿真结果的对比

进行对比时采用控制变量法， 利用有限元模型， 分别研究腔体形状和尺寸对仿真结果的影响， 即在“相同尺寸、 不同形状”与“相同形状、 不同尺寸”两种条件下分别进行仿真， 通过对比仿真结果得到所需结论.

2.1.1 相同尺寸， 不同形状

对于尺寸都为l=6 μm的矩形薄膜、 方形薄膜和圆形薄膜， 分别施加一系列压力0， 0.1， 0.2， 0.4， 0.8， 1.2， 1.6， 2.0， 2.4和2.8 MPa， 进行有限元仿真， 得到相应的中心形变位移和最大应变， 将数据利用MATLAB一起绘出进行对比， 如图 6 所示.

图 6 相同尺寸不同形状薄膜的中心形变位移和最大应变仿真结果Fig.6 The finite element simulation result of central deformation displacement and strain for membranes in same size but different shapes

由以上比较可知， 两种对应关系中， 3种形状薄膜的压力—中心形变位移曲线和压力—最大应变曲线形状和变化趋势大致相似. 矩形薄膜的短边长、 方形薄膜的边长和圆形薄膜的直径相同时， 在相同压力差下， 矩形薄膜的中心形变位移和应变最大， 方形次之， 圆形最小， 故矩形薄膜对压力的反应最为显著和灵敏. 而且明显可以看出， 矩形薄膜两条曲线的斜率最大， 即变化率最大. 同时， 在压力较小时(0～0.1 MPa左右)， 3种形状薄膜压力—中心形变位移曲线的斜率较大， 对应的中心形变位移变化较快； 压力大于0.1 MPa后， 3种腔形的压力—中心形变位移曲线变化趋于为线性关系. 而3种形状石墨烯薄膜的压力—应变曲线在整个压力范围内变化都较为平稳. 当压力较大时， 3种形状石墨烯薄膜的线性度更好， 适合于压力测试.

2.1.2 相同形状， 不同尺寸

以矩形为例， 对于尺寸l=6, 12, 18和24 μm的矩形薄膜， 分别施加一系列压力0, 0.1, 0.2, 0.4, 0.8, 1.2, 1.6, 2.0, 2.4和2.8 MPa， 进行有限元仿真， 得到相应的中心形变位移和最大应变， 将数据利用MATLAB绘出一起进行对比， 如图 7 所示.

图 7 不同尺寸矩形薄膜的中心形变位移和最大应变仿真结果Fig.7 The finite element simulation result of central deformation displacement and strain for rectangular membranes in different size

通过以上比较可知， 对于满足长宽比条件的矩形薄膜， 在相同压力下， 其尺寸越大， 获得的中心形变位移越大， 最大应变也越大， 即对压力的反应也越显著. 同样地， 通过仿真计算可得到方形薄膜和圆形薄膜有相同的结论. 但值得注意的是， 在传感器设计时， 薄膜的尺寸并不是越大越好， 还受限于石墨烯的质量、 尺寸和工艺， 尺寸越大， 石墨烯越容易皱曲、 被吸附于腔底.

2.2 有限元仿真与实验测量值的比较

结合文献中利用原子力显微镜(AFM)在不同尺寸、 腔体形状和压力差载荷下测得的中心形变位移的实验测试结果， 与将相应条件代入本文建立的有限元模型进行仿真得到的结果进行对比， 对比结果如表 3 所示.

表 3 文献中实验测试结果与有限元仿真结果的对比

通过以上的对比可知， 本文采用有限元建模仿真方法得到的计算结果与实测值结果比较接近. 模型计算结果与实测结果存在差别的可能原因是实际石墨烯薄膜并不全是单层、 结构尺寸存在制造误差或测试过程中气压条件环境的不稳定.

3 结 论

本文通过有限元建模与仿真计算， 研究了不同形状腔体上悬浮石墨烯薄膜的压力敏感特性， 与已有文献实测的压力—中心形变位移数据进行了对比， 验证了本文所提的有限元建模与仿真方法的正确性和有效性.

相同压力和腔体尺寸下， 分析比较了不同腔体上悬浮石墨烯薄膜形变和应变大小， 得到结论为： 矩形腔体上的薄膜形变和应变最大， 圆形腔体上薄膜形变和应变相比最小； 腔体尺寸越大， 薄膜形变和应变也越大. 对于矩形石墨烯薄膜而言， 压力、 短边长度一定时， 应变受长宽比影响， 长宽比越大， 薄膜应变越大， 当长宽比大于或等于2.5时， 薄膜形变和应变趋于最大常值.

本文所提出的悬浮石墨烯薄膜压力敏感特性建模仿真方法和研究结论对于指导悬浮式石墨烯压力传感器的结构尺寸优化设计、 性能指标预计等具有一定的指导意义.

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Modeling and Simulation Analysis on Pressure-Sensing Characteristics of Suspended Graphene Membranes

DAI Yue1,2, LIU Guanjun1,2, QIU Jing1,2, ZHANG Yong1,2

(1. College of Mechatronic Engineering and Automation,National University of Defense Technology, Changsha 410073, China；2. Science and Technology on Integrated Logistics Support Laboratory,National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

In order to solve the problem of lacking quantitative analysis methods for designing pressure sensors based on suspended graphene, the pressure-sensing characteristic models of suspended graphene membranes in three different shapes: rectangular, square and circular are established, using finite element modeling and simulation. After the simulation, Functions between pressure and strain were obtain. Then they were compare and analyze under different conditions, following by contrast with the measured values in the literature. The results of comparing verify the accuracy of finite element modeling and simulation, which shows that among the three shapes, the central deformation displacement and strain of rectangular membrane are the largest, and the two quantities increase with the increase of membrane size. The results above provide an effective guidance for optimizing the structure and performance design for pressure sensors based on suspended graphene.

graphene membrane; pressure sensor; pressure-sensing characteristic; strain; finite element modeling and simulation

1671-7449(2017)01-0001-07

2016-12-11

国家自然科学基金资助项目(51675528)

代 岳(1992-)， 男， 硕士生， 主要从事状态监控与故障诊断的研究.

O411.3； TB321

A

10.3969/j.issn.1671-7449.2017.01.001