让“解题”变得流畅起来

沈百梅

摘 要：解题习惯的养成能够让学生形成良好的“题感”。教学中，基于学生的“最近发展区”，教师可以通过“审题”“计划”“执行”和“反思”等解题环节与活动培养学生的解题习惯。解题习惯可以让学生在解题中“少卡壳”“少走弯路”“多走捷径”，可以让“解题”变得流畅起来。

关键词：小学数学；解题习惯；培养策略

“好的习惯是一辈子用不尽的利息，坏的习惯则是一辈子偿不尽的债务。”（叶圣陶语）数学解题同样存在着习惯问题。在儿童数学学习中，笔者经常看到一些学生在数学解题中心不在焉而导致漏看、错看符号、数字，看到一些学生计算粗心大意，看到一些学生分析题目“蜻蜓点水”、思维浮于表层，看到一些学生粗枝大叶、顾此失彼……凡此种种，都可以归结为解题习惯的缺失。波利亚说：“什么是数学，数学就是解题。掌握数学就意味着要善于解题。”

■一、审题：解题习惯培养的首要环节

美国著名教育心理学家布鲁纳曾经这样说，“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动”。根据美国著名数学教育家波利亚的“解题表”，解题的首要环节是“审题”。所谓“审题”，就是对题目进行理性考量，弄清题目的意思，用数学化的符号、手段科学表征数学问题。在“审题”中，一要引导学生从题目中提炼出有用的数学信息；二要引导学生自己推敲题目中的字、词，抓住关键句；三要引导学生发掘出隐含条件，排除一些冗余条件、迷惑条件等。这里，学生经历的是一种“数学化”过程，包括“横向数学化”和“纵向数学化”。所谓“横向数学化”，即将生活问题提炼成数学问题，所谓“纵向数学化”，即联结题目中的条件和问题、已知和未知，在数学符号世界里的模型。

例如教学《比的基本性质》（苏教版小学数学教材第11册）后，遇到这样的习题：把4∶15的前项加上4，要使比值不变，后项应加上（ ）。显然，这样的习题相比较于例题已经发生了一些变化——此处是“加上”，解题已经不能单纯依赖于模仿。教学中，教师可以适度运用提示语，引导学生观察，引导学生自我发问，找寻习题与例题之间的微妙变化。如“这一道题的已知条件是什么？问题是什么？条件和问题之间有无直接联系？没有直接联系怎么办？有没有巧妙的转化方法？”等等。

师：看到这一题，你想到了些什么？

生1：我想到了“比的基本性质”，比的前项和比的后项同时乘或者同时除以相同的数，比值不变。

生2：如果是同时乘或同时除以，那这儿就应该填上4，但这儿的前项是加4。

师：能够注意到习题与已学知识的细微差异，很好！

生3：我们可以先将前项算出来，再看看前项扩大几倍。

师：能够将题目中的相异信息进行转化是一种良好的解题品质。

生4：这样，就可以利用“比的基本性质”进行解题了。

……

大部分学生在遇到一个新问题时，总是想用熟悉的题型、模式、定理等直接去“套”，其實，这是不良的解题习惯。良好的解题习惯要求学生在审题中能够超越“惯习”，从多个视角对题目进行审视，这才是真正意义上的“审题”。那种机械地表征、模仿、套用公式定理的解题模式在培养学生解题习惯的过程中教师要有意识地引导儿童摒弃。只有对数学思想方法理解透彻及融会贯通时，才能在审题过程中产生新视角、形成新思想。

■二、计划：解题习惯培养的必要路径

按照波利亚的见解，解题的关键环节和核心内容在于制定解题计划。教学中，笔者观察到：一些学生在解题时缺少计划性，往往是“脚踩西瓜皮，滑到哪里是哪里”。由此导致学生“写了擦，擦了写”，页面上涂涂改改，很是“邋遢”，有时甚至擦出了“小洞洞”。笔者在教学中鼓励学生运用简洁的语言表述解题思路。首先引导学生努力找寻已知和未知之间的关联，这是一种“知识识别”的过程。其次，如果学生找不出直接关系，教师引导学生自觉对原来的问题或条件做出一定的变更和必要的修改。用波利亚的话来说，就是“回到定义”“回到基础”上去，重新表征问题、重新考虑相关问题、重新运用数学思想和方法展开思考。这里需要的是解题者的思路变换、视角变换，用通俗的话来说就是不能“吊死在一棵树上”。可以引导学生自我发问，如“我遇到过类似的问题吗？这一个问题和哪一个问题似曾相识？”等。教学中要引导学生列出“解题提纲”，从条件出发，运用“综合法”，或者从问题出发，运用“分析法”。

例如学习《三角形的面积》（苏教版小学数学教材第9册）后，出现这样的习题：一块三角形地的面积是0.4公顷，它的底是200米，高是多少米？许多学生受到“三角形面积公式”中“除以2”的影响，用面积除以底再除以2。教学中，教师首先让儿童明晰解题思路，是运用方程还是运用算术？运用方程思路解题，解题程序有哪几个步骤？运用算术思路解题，要注意什么？

生1：我用方程解题。第一步设未知数，高为h米；第二步写等量关系，200h÷2=4000；第三步解方程；第四步写答语。

生2：我用算术思路解题。三角形的面积公式是“底乘高除以2”，要求高，运用倒推法，倒推时顺序相反、符号相反，因此高等于面积乘2除以底，列式为4000×2÷200=40（米）。

师：在这一题中，不管哪一种思路，都要注意什么？

生：单位的统一，要将公顷改写成平方米。

……

著名数学家华罗庚曾经这样说，“解题要想得清楚、说得明白、写得干净”。在数学解题教学中，教师引导儿童主动、积极地思考，洞察问题和条件的数学本质。引导儿童找寻数学解题的优化思路、宽畅思路、高速思路，让学生努力变化条件和问题，让数学解题具有创造性。

■三、执行：解题习惯培养的重要步骤

“执行”是解题的中心，解题是一门实践性的学问。许多学生在学习中常常是“听懂了”，但是一到自己解决问题，往往是手忙脚乱、不知所措。究其本质，是因为“听懂了”并不能代表“会做了”。宋代词人陆游有诗云：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。所谓“懂”，是指能够理解别人的思维过程，甚至只是理解了别人的思维成果。所谓“会”，是指自己能够独立发现问题、分析问题、解决问题，能够独立地建构已知条件和问题之间的关系。在数学教学中，教师要有意识地引领学生从“懂”迈向“会”，其中重要的步骤就是学生的解题实践。适度展开解题练习，能够让学生真正把握数学知识的本质，灵活学生的数学思维。

“执行”是学生解题思路、脉络打通后具体实施信息资源的逻辑配置。优秀的学生在执行解题时往往是“及时回头看”，步步为营、小心翼翼。教学中教师要引领学生自我发问：上一解题步骤有没有什么问题？我能确定这个解题步骤是正确的吗？下一步应该怎么办？解题实践中，学生必须具备清晰的解题思路、方向、目标。例如教学《圆锥的体积》（苏教版小学数学教材第12册）后，对于这样的习题：已知圆锥形麦堆底面周长为12.56米，高1.2米，如果每立方米小麦重500千克。这堆小麦重多少吨？在学生明晰了解题思路，制定了解题计划后，笔者放手让学生解题，充分尊重学生的主体性，让学生在解题中获得真实而深刻的体验，诸如先解决什么问题、后解决什么问题。在学生解题后，引导学生全班交流，展示解题过程，让学生“渔鱼兼得”，不仅“知其然”，而且“知其所以然”。

在解题实践中，教师可以加强习题的变式训练、联想训练，这是提高学生解题能力的有效途径。教学中，教师要教给学生解题方法，包括数学思想方法（如类比法、化归法、转化思想、对应思想等）和一般性解题策略（如数学观察、数学猜想、验证等），拓宽学生解题思路，提高学生解题应变力，努力达到“解一题、学一法、会一类、通一片”的教学效果。

■四、反思：解题习惯培养的充要条件

著名数学家、教育家波利亚认为，即使是相当好的学生，当他得到问题解答、写下论证后，合上书本，他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。显然，波利亚在这里指的就是“解题反思”。所谓“解题反思”，是指学生在数学学习完成阶段性任务前、中、后对自己的解题思路、实践、方法等的认知。教学中教师可以引导学生自我发问：我能检验这个结果吗？这样的解题策略如何？还有更优化更简洁的方法吗……当学生能够自觉地对解题过程展开反思时，学生解题的元认知意识和能力就能得到充分的发展。

例如教学《分数除法应用题》（苏教版小学数学教材第11册）后，学生遇到这样的习题：修一条60千米的公路，前4天修了计划的，照这样的速度，修完这条路一共需要多少天？絕大部分学生这样解题：60÷60×÷4=20（天）。基于此，笔者将公路全长改变为120米、300米等，让学生再次解决问题。学生惊讶地发现：无论公路变为多少米，计算的结果都是20天。由此，学生展开自觉的解题反思：公路全长具体数量可否看作单位“1”？如何运用分数应用题思路解题？在学生反思的基础上，一部分学生这样解题：1÷÷4，另一部分学生这样解题：4÷。学生的解题思路在解题反思中渐趋简洁、澄明、敞亮。

在解题反思中，学生解题经验得以升华，学生由此真正实现从“懂”到“会”的转变。在解题过程中，教师要相机渗透数学的思想、解题的策略、解题的原则与意识等。因为学生只有不仅在实践层面，而且在观念层面把握问题的数学本质，才能建立有效的解题心理图式，形成成熟的“题感”。

儿童的数学解题习惯不仅影响着教师教学效度，而且影响着学生良好思维品质的形成。学生良好的解题习惯当然也包括打破自身思维惯性的习惯。良好的解题习惯能够让学生在解题时“少卡壳”“少走弯路”“多走捷径”。基于学生的“最近发展区”，教学中教师要引导学生经历发现问题、提出问题、分析和解决问题的全过程，以促进儿童良好解题习惯的形成。