对一“易错点分析”的再分析

兰诗全

[摘 要] 对一本教学参考书给出一例的解答和它的“易错点分析”进行再分析，并引发若干思考，旨在击中要害，揭示本质.

[关键词] 易错点；问题思考；再分析

问题缘起

一本教学参考书给出以下一例的解答并做了易错点分析.

题目：在△ABC中，已知a=6，b=5，A=2B，求c的值.

解答：因为=，A=2B，所以=，解得cosB=.

在△ABC中，由余弦定理得25=36+c2-2·6c·，即5c2-36c+55=0，

解得c=5或c=.

检验：当c=5时，c=b，则C=B. 又因为A=2B，所以2B+B+B=π，解得B=，所以cosB=，这与cosB=矛盾，所以c=5舍去，所以c=.

易错点分析：通过余弦定理建立方程，解方程求三角形的一条边是余弦定理的常见应用，其解的个数要进行检验.即使方程有两个正根，三角形也不一定有两个解，还要结合条件，利用三角形内角和定理，大边对大角等进行检验，以防增根混入. 在本例中，如果不加验证，就会得到c=5这一增根. 在问题“已知△ABC中，a=8，b=7，B=，求c的值”中，由余弦定理建立方程可解得兩个正根c=5或c=3，经检验可以断定，c=5和c=3都是该问题的解，故该问题有两解.

思考：以上问题中的易错点分析精准到位吗？它揭示问题本质了吗？

与问题有关的一个命题

命题：已知三个正实数a，b，c，且a≤b≤c，角C∈（0，π），若满足cosC=，则a+b>c.

证明：因为0

所以a>0，b>0，c>0，

所以a2+b2-c2<2ab，a2+b2-c2>-2ab，

所以（a-b）2c2，所以a+b>c.

所以不难有结论：若三边满足余弦定理，则这三边一定能构成一个三角形.

由问题引发的几点思考

思考一：通过余弦定理建立方程，解方程求三角形的一条边是余弦定理的常见应用，其解的个数不要进行检验. 即方程有两个正根，三角形也一定有两个解；若只有一个正根，则三角形只有一个解；若没有正根，则不存在满足条件的三角形.

以上易错点分析问题“已知△ABC中，a=8，b=7，B=，求c的值”中，由余弦定理建立方程可解得两个正根c=5或c=3.“经检验可以断定，c=5和c=3都是该问题的解，故该问题有两解”是多余的，无须检验！因为结合条件，利用三角形内角和定理，大边对大角等进行检验，此时检验的目的是三边能否构成三角形. 但“若三边满足余弦定理，则这三边一定能构成一个三角形”. 这一点必须清楚，要深思悟透，才能准确地解答与余弦定理有关的问题.

思考二：问题缘起中的题目“在△ABC中，已知a=6，b=5，A=2B，求c的值”的解答为什么会产生增根呢？从哪里产生的增根？此时为什么要检验？

细心研究解答中：因为=，A=2B，所以=，先解得cosB=. 但由cosB=会保证A=2B一定成立吗？当cosB=时，可得=，

所以=. 又因为=，所以sinA=sin2B. 所以0

再利用余弦定理得25=36+c2-2·6c·，即5c2-36c+55=0，解得c=5或c=. 此时求出的c只能保证cosB=，而不能保证A=2B，因为也可能A+2B=π，所以要检验！在检验中：当c=5时，c=b，则C=B，也正是满足A+2B=π这种情况，所以c=5是增根. 以上增根产生的根本原因是条件不等价转化（A=2B？圯cosB=，但cosB=推不出A=2B）造成的，而不是由应用余弦定理而产生的. 这点要明白！

思考三：通过分析反思，探索研究，应领悟出数学解题的内在规律. 解题要充分关注条件转化是否等价.已知条件的相互转化要尽可能保证满足等价性，弱化了条件（如以上分析cosB=只是A=2B的必要不充分条件）往往会产生增根，要检验！强化了条件往往会遗根，要找回.