新型橡胶隔震支座临界行为理论模型研究

孙新阳， 杨维国， 王 萌

(北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044)

新型橡胶隔震支座临界行为理论模型研究

孙新阳， 杨维国， 王 萌

(北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044)

橡胶隔震支座在地震作用下同时受到巨大轴力与剪切变形，易发生稳定性问题进入临界状态，现行设计方法及计算理论不能准确计算临界力及临界位移，严重威胁隔震结构安全。提出计算橡胶支座临界行为新型理论模型，根据支座进入临界状态时受力规律，以两层竖向弹簧模拟支座转动性能，非线性水平弹簧模拟剪切性能，建立力学模型对支座临界行为进行分析。通过与试验结果进行对比，表明建立的理论模型能够准确模拟橡胶支座的临界行为，解决了现存分析模型中需要依靠试验校正系数以及误差过大的问题，为隔震结构设计提供有力工具。

橡胶支座；水平刚度；稳定性；临界力；力学模型；有限元分析

结构隔震技术是一种发展较快的结构震动控制技术，近年来已在高层及超高层建筑中得到广泛应用[1-2]。橡胶隔震支座作为隔震体系中重要的隔震构件，不仅能够提供较大的竖向刚度[3]，并且在地震作用下，橡胶层产生剪切变形，有效延长结构的水平周期，从而减小结构的惯性力[4]。

当结构遭遇罕遇地震时，支座在上部结构重力及地震倾覆力矩作用下，受到巨大压缩荷载；同时，支座橡胶层产生较大剪应变，顶部剪切变形往往超过支座直径。随着剪应变不断增加，支座水平刚度逐渐退化，当水平刚度降为0时，支座发生失稳进入临界状态(如图 1所示)。临界行为是支座的一种重要受力特征，支座的稳定性是隔震结构设计及支座设计时需要考虑的重要环节[5]，准确的预测支座的临界位移与临界力对于揭示支座受力规律具有重要意义。

图1 橡胶支座临界行为Fig.1 Critical behavior of rubber bearings

因此，为了能够模拟支座临界行为下受力状态，一些学者进行了广泛研究，建立理论模型并推导了支座临界力公式。Nagarajaiah等[6](1999)最早提出了能够模拟支座临界力的理论模型，该模型在双弹簧模型(如图 2所示)基础上引入非线性，并通过临界力试验验证了模型能够有效模拟出临界力随位移增大而减小的特征，但模拟精度有所不足。Iizuka[7]同样对双弹簧模型进行改进，建立分析模型，较准确的模拟了竖向力与剪应变对剪力的影响，然而模型中非线性参数需经过试验校正且对数值变化非常敏感[8]，增加了工程应用时的局限性。Han等[9](2014)总结上述模型并建立新型支座力学模型，模型很大程度上对模型进行了简化，且提高了模型分析结果的准确性，但与支座进入临界状态时对角受拉受力状态不符，理论性不足。以上研究对于推进支座精确理论模型发展及揭示支座受力规律具有重要意义。

图2 双弹簧模型Fig.2 Two-spring model

为了研究叠层橡胶支座在临界状态下的受力规律，提出能够准确模拟支座临界行为的理论模型，解决现存理论模型中需要依靠试验校正系数以及误差过大的问题：本文首先根据现行临界力计算方法，确定了基于有效面积模型的支座临界力公式；然后从支座进入临界状态时受力机理入手，采用ABAQUS软件建立支座非线性数值模型，通过对国外典型压缩、剪切及临界状态试验模拟，验证了模型的精确性和实用性，从而指导理论模型建立；在此基础上，综合现有学者理论模型，建立了能够有效模拟支座临界状态下受力规律的力学分析模型，并与试验进行验证，为支座受力进一步分析及工程应用奠定有力基础。

1 支座临界状态理论

目前对于橡胶支座临界力的计算方法，多基于小变形及橡胶线性假定，根据Haringx理论算得[10]，当支座顶部无剪切变形时，可以得到支座临界力为

(1)

式中：Pcro为支座初始临界力；GAs为支座剪切刚度，其中As=Abl/Tr，Ab为橡胶剪切面积，Tr为橡胶层总厚度；PE为欧拉荷载，PE=π2EIs/l2。

由于橡胶支座中PE≥GAs，式(1)简化为式(2)的形式

(2)

地震荷载作用下，隔震层上部与基础间发生相对位移，支座剪切变形增加，临界力不断减小。目前国内外采用的设计方法及规范中多根据图3所示的有效面积模型计算，规定当顶部剪切位移为ucr时，临界压力Pcr为

(3)

式中：Ae为橡胶支座发生剪切变形时重叠区域面积；A为无剪切变形时橡胶层截面积。

图3 橡胶支座有效面积模型Fig.3 Effective area model of rubber bearing

由式(3)可以看出，支座临界力随着剪切位移增加而减小，式(3)中，当变形Ae=0时，临界力减为0。

2 有限元模型验证

随着剪切变形增加，橡胶支座水平刚度不断退化，在进入临界状态时出现零刚度现象，表现出强烈的非线性，支座应力状态复杂。普通的有限元方法难以有效地模拟支座的临界受力行为，需要建立能够准确模拟橡胶支座压缩、剪切以及大震作用下进入临界状态的有限元模型，为建立理论模型提供必要条件，同时为进一步分析提供有力工具。

为验证所建立的有限元模型能够准确模拟橡胶支座的实际受力情况，选取国外典型试验进行验证，选取文献[11] (支座A0)中Test 8及Test 26验证支座压缩及剪切工况，同时选取文献[12] (支座A0)及文献[13](支座A1)验证支座的临界行为。试验中支座参数，如表1所示。

表1 橡胶隔震支座参数

2.1 有限元模型建立

采用ABAQUS软件建立有限元模型，如图 4所示，以杂交实体单元C3D8H模拟橡胶层，避免采用普通实体单元模拟橡胶材料产生体积自锁，以单层非协调实体单元C3D8I模拟夹层钢板及端板，避免完全积分时一阶单元产生剪切自锁[14]。夹层钢板及橡胶层之间采用共用节点进行连接，避免采用接触或耦合表面造成模型收敛困难与计算误差。

图4 支座有限元模型Fig.4 Finite element model of bearings

为保持有限元边界条件与试验一致，同时为方便加载，分别在模型上下端面形心建立参考点，并将该表面自由度与参考点进行耦合。考虑实际试验工况定义模型边界条件，约束模型顶部参考点x向平动及转动自由度，并固结下部参考点。有限元的加载过程与试验一致：首先在顶部参考点施加z向荷载，模拟上部结构自重；考虑水平加载过程中支座剪切刚度不断退化，因此以位移方式进行水平加载，通过施加y向位移，模拟隔震层在地震作用下产生的剪切变形。

2.2 本构模型选取与网格划分

支座模型中钢结构部分采用线弹性模型，材料弹性模量为200 Gpa，泊松比为0.3。由于橡胶材料是各向同性不可压缩的超弹性体，故选取有限元软件中用于模拟此类材料的超弹性本构模型，以应变势能(U)来表示橡胶材料的力学性质。选取能够较好的模拟橡胶材料在压缩及剪切状态下的受力特征Neo-Hookean本构模型进行模拟[15]，若已知橡胶剪切模量G与体积模量K，则Neo-Hookean本构模型应变势能表达式为

(4)

由于橡胶材料不可压缩(泊松比ν=0.5)，体积在荷载作用下保持不变，在轴力与剪力共同作用下，橡胶材料产生较大变形，网格易产生畸变影响计算结果，因此需要对模型网格尺寸进行敏感性分析，确定合适的网格尺寸。

在对支座进行网格划分时，为了保证单元在平面内长宽比近似为1，避免单元形状影响计算结果，径向单元尺寸根据式(5)进行划分。

(5)

式中：b为径向连续两个单元长度比；Nr为径向单元数；D0与D分别为支座内外半径。得到当有限元模型周向划分40份、径向10份、厚度方向划分4份可使计算误差在2%以下，支座模型的尺寸示意如图 4所示。

2.3 有限元与试验计算结果对比

支座A0有限元计算的荷载—位移曲线与压缩、剪切试验曲线对比如图 5所示，数值模拟结果与试验结果基本一致，数值模型能够较为准确地模拟出橡胶支座的压缩及剪切特性。加载结束时，图 5中支座刚度计算值与试验值相差在5%以内，说明所建立的有限元方法能够准确模拟橡胶支座压缩与剪切刚度。

图5 支座A0压缩及剪切试验有限元与试验结果对比Fig.5 Comparison of rubber A0 between FE model and test results

不同预压力P作用下，支座A0剪力-位移曲线数值模拟与试验结果对比如图6所示，数值模拟结果与试验曲线吻合良好，有限元方法能够有效模拟出支座在轴力与剪力共同作用下进入临界状态，并能够较准确地预测出支座到达临界状态时的水平剪力与临界位移。图7为支座A0与A1临界位移-临界荷载曲线，可以看出，随着顶部荷载增加，支座临界位移减小，有限元模型同样可以模拟出此现象。

图6 支座A0临界状态试验有限元与试验结果对比Fig.6 Comparison of rubber A0 between FE model and test results

图7 支座A0与A1临界状态试验有限元与试验结果对比Fig.7 Comparison of rubber A0 and A1 between FE model and critical test results

国际标准《建筑隔震支座》[17]及我国规范《橡胶支座》[18]对天然橡胶支座内部橡胶材料拉伸性能做了限值规定，要求其拉伸强度≥12 MPa。《建筑抗震设计规范》[19]规定：隔震支座在大震作用下的最大水平位移应满足下列要求

umax≤0.55D

(6)

umax≤3Tr

(7)

式中：umax为隔震支座最大水平位移；D为支座直径。图 8为A0支座顶部压力为10 MPa且位移达到临界位移(u=103 mm)时竖向S33应力，图中正值为受拉，负值受压。可以看出，当支座进入临界状态时，即使顶部受到压力作用，支座右上及左下角仍出现出拉应力区，拉应力大小约为8.5 MPa，剪切位移达到规范限值u=0.55D(83.6 mm)时，角部拉应力为6.7 MPa，均未达到橡胶极限抗拉强度，但拉应力明显。支座拉应力区的出现是支座临界状态的一大受力特征，确定拉应力大小可有效指导理论模型的建立及进一步分析。

图8 P=10 MPa, u=103 mm时A0支座竖向应力云图Fig.8 Bearing A0 vertical stress contour for P=10 MPa at u=103 mm

3 橡胶支座力学模型

3.1 模型描述

根据以上橡胶支座的受力特征，建立如图 9所示的力学模型。模型包含一根刚性柱、一个剪切弹簧及上下两组竖向弹簧组成，其中刚性柱长为l，剪切弹簧刚度为Ks，竖向弹簧本构模型定义为双线性：压缩向及拉伸屈服前刚度为Ec，屈服后进入塑性。

图9 橡胶支座力学模型Fig.9 Mechanical model of rubber bearings

刚性柱顶部在轴力P与剪力F的作用下，支座产生转角为θ，剪切弹簧变形为s，柱顶端水平位移为u，顶部在弯剪变形共同作用下竖向位移为v，则柱顶位移u及v可由s及θ表示为

u=scos(θ)+lsin(θ)

(8)

v=ssin(θ)+l[1-cos(θ)]

(9)

考虑模型在变形状态下受力平衡，则有

Qs=Fcos(θ)+Psin(θ)

(10)

Ms=Pu+F(l-v)

(11)

式中：Qs为剪切弹簧变形为s时内力，Ms为刚性柱底部所受外力弯矩。采用文献[7]中逐步增量法对式(8)～式(11)进行求解，根据文献[6]研究，剪切弹簧受力关系为

(12)

式中：Go为橡胶初始剪切模量；Tr为支座中橡胶层总厚度；Ab为橡胶剪切面积；Cs为无量纲常数。文献[20]对不同支座进行研究，得出两支座Cs分别为0.282 1及0.325时模拟结果较好，为方便计算，本模型中取Cs=0.3模拟剪切弹簧中非线性关系。

两排竖向弹簧内力由外力计算得到，根据受力平衡条件有

(13)

(14)

式中：σsj为模型中剪切弹簧变形为s时下部第j根弹簧中应力，Aj为第j根弹簧截面积，dsj为第j根弹簧截面中心与支座截面中心距离，竖向弹簧变形关系为

(15)

式中：x为中性轴与第1根弹簧中心距离；εsj为第j根弹簧应变；ls为弹簧未发生变形时长度。

为保证理论模型中初始转动刚度与原支座相同，竖向弹簧长度ls需满足

(16)

式中：Ec为橡胶材料压缩模量；E为支座抗弯模量，有E=Ec/3；I为支座截面惯性矩；Tr为橡胶层总厚度，不同截面形状支座压缩模量根据橡胶初始剪切模量与一次形状系数计算得到[21]。

竖向弹簧本构关系如式(17)所示，根据支座进入临界状态时支座角部受拉区拉应力值确定理论模型中模型中屈服强度，得到σy=8Go时能准确反映支座受力关系。

(17)

3.2 模型参数确定

理论上当模型上下两侧竖向弹簧足够多时，模型可模拟支座实际受力状态，但竖向弹簧过多，会增加模型的复杂程度与计算时间，故选取A0支座进行模型弹簧数量n参数研究，确定能够准确模拟支座临界行为的最小弹簧参数，同时为了减小由于支座失稳而使支座到达临界状态至剪力为0区段产生震荡，对此区间曲线进行光滑化。

模型取不同竖向弹簧数量时支座剪力—位移曲线如图 10所示，由图 10可知，弹簧数目增加，剪切位移相同时水平剪力减小，临界位移减小。以上下两侧分别有20根弹簧计算结果近似为精确解，考察模型中弹簧数量对于分析结果的影响，计算各不同弹簧数各加载工况下水平剪力与临界位移平均误差(如表2所示)。可知当n取10时，可保证当支座到达临界状态时，水平剪力与临界位移误差小于2%。因此，后续分析中取n=10进行模拟。

图10 不同竖向弹簧数量时A0支座F-u曲线Fig.10 Shear force-lateral displacement results of bearing A0 for different vertical springs number

弹簧数目误差/%213.563.8101.3200

3.3 模型验证

根据上述模型，支座A0的剪力-位移曲线与试验曲线对比如图11所示，由图可知，所建立的理论模型能够较准确的模拟出支座水平刚度随变形增大而减小的特性，力学模型曲线与试验曲线吻合较好。由于理论模型中剪切弹簧非线性受力关系假定对实际支座剪切性能的简化，使得当剪切变形较大(u>0.5D)时，理论模型曲线与试验曲线没有完全重合；同时，由于模型中竖向弹簧本构模型屈服后部分对于支座转动性能的简化，使支座顶部压力较大(P>10 MPa)时，支座进入临界状态后水平刚度与试验值产生一定误差。

图11 支座A0 F-u曲线理论模型与试验结果对比Fig.11 Comparison of F-u for rubber A0 between mechanical model and test results

支座A1与A2临界力与临界位移分析结果与试验结果对比如图 12所示，理论模型结果与试验结果吻合较好，随着临界力增加，支座临界位移减小。我国《建筑抗震设计规范》规定：直径小于300的橡胶隔震支座最大压应力设计值不宜大于10 MPa。当支座顶部压力大于10 MPa时，理论模型仍然能够较准确的反映临界力与临界位移关系，与试验相比，最大误差均控制在20%以内，所建立的理论模型能够准确分析支座在轴力与剪力组合作用下进入临界状态。现行计算方法(图中曲线)虽能反映临界力-临界位移变化趋势，但在相同临界位移下，过于低估临界力大小，不能准确预测支座临界特性。

图12 临界力-临界位移曲线理论模型与试验结果对比Fig.12 Comparison of critical load-lateral displacement between mechanical model and test results

4 结 论

为了模拟橡胶隔震支座在轴力与剪力组合作用下的临界行为，本文建立能够准确模拟支座临界力与临界位移大小的支座理论模型。模型以非线性水平弹簧模拟剪切性能，以两排竖向弹簧模拟转动性能。结合国外典型临界试验，验证了所提出的力学模型的准确性和有效性，并与现行设计中临界状态计算方法进行对比，得到以下结论：

(1) 随着剪应变增加，支座临界压力减小；随着顶部压力与剪切位移增加，支座水平刚度不断退化，并在临界位移处出现零刚度现象。所建立的理论模型能够准确的模拟出此现象。

(2) 与现有学者所提出的模型相比，本文建立的理论模型中，所有参数均不需试验校正，并与实际支座进入临界状态时对角受拉受力特征相符，为工程设计了提供便利条件。

(3) 现行支座临界力计算设计方法过于保守，严重低估了支座的临界力。小震(ε<100%)作用下，临界力试验值约为计算值1.5倍，大震(ε>150%)作用下，试验值约为计算值3倍。

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New theoretical model of rubber bearings for simulating critical behavior

SUN Xinyang, YANG Weiguo, WANG Meng

(School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

Rubber seismic isolation bearings are usually subjected to large axial loads and lateral displacements at the same time during earthquakes, and they are prone to turn into critical state. The current design methods and calculation approaches cannot calculate the critical forces and corresponding displacements with enough accuracy, which poses a direct threat to the isolated structures. Therefore, a new theoretical model that could simulate the critical behaviors of rubber bearings was proposed. According to the mechanics regularity of bearings in critical state, the rotational behavior of rubber was represented by two groups of vertical springs, the shear behavior was modeled by a nonlinear horizontal spring, and then a mechanical model was established to analyze the critical behaviors of rubber bearings. By comparing with test curves, the results show that the model has the ability to simulate the critical behaviors of rubber bearings with ideal accuracy. It can tackle the problems of the necessity of relying on experimentally calibrated parameters and the appearance of considerable errors by existing models, and it is able to provide a powerful tool for isolated structures design.

rubber bearing; horizontal stiffness; stability; critical load; mechanical model; finite element analysis

国家自然科学基金资助项目(51578046;51408031)

2016-02-14 修改稿收到日期： 2016-04-11

孙新阳 男，博士生，1990年生

杨维国 男，博士，教授，博士生导师，1973年生

E-mail：wg_yang@263.net

TU352.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.002