高速电主轴角接触球轴承刚度及其对电主轴临界转速的影响分析

黄伟迪， 甘春标， 杨世锡， 徐立晖

(浙江大学 机械工程学院，杭州 310027)

高速电主轴角接触球轴承刚度及其对电主轴临界转速的影响分析

黄伟迪， 甘春标， 杨世锡， 徐立晖

(浙江大学 机械工程学院，杭州 310027)

针对高速电主轴角接触球轴承高转速的特点，建立角接触球轴承的拟静力学模型，分析径向力与电主轴转速对轴承滚珠与轴承沟道的接触角、接触力的影响；根据轴承与滚珠的受力平衡条件，研究角接触球轴承刚度受电主轴转速与预紧力的影响；基于Timoshenko梁理论，建立轴承-主轴的有限元模型，分析不同预紧力下角接触球轴承对电主轴临界转速的影响。结果表明：径向力与电主轴转速将改变轴承滚珠与轴承沟道的接触角与接触力，减小预紧力与升高转速会导致轴承的刚度降低，进而降低电主轴的临界转速；需要综合考虑角接触球轴承离心力、内圈膨胀和预紧力等影响因素，才能有效保障电主轴的安全运行。

角接触球轴承；轴承刚度；电主轴；临界转速；预紧力

高速数控机床是高端装备制造业的技术基础和发展方向之一，而电主轴单元是高速数控机床的核心部件，其轴承技术将直接影响整台机床的加工精度和生产效率。角接触球轴承由于其低摩擦、低能耗、可以承载轴向力与径向力等特性，在精密数控机床电主轴支撑部件中得到广泛应用。为此，众多学者对角接触球轴承开展了大量的研究工作。Harris[1]提出了一类轴承沟道控制理论，建立了角接触球轴承的拟静力学模型。Li等[2]建立了轴承热-机耦合模型，研究了轴承布局方式对角接触球轴承以及轴承-转子系统的影响。Chen等[3]研究了轴承滚珠在轴承沟道中滚珠与沟道接触区域的运动状态。Jiang等[4]研究了陀螺力矩、轴承预紧力以及沟道波纹等对轴承力学特性的影响。Hernot[5]通过测试轴承预紧力与轴承-转子模型变形量之间的关系，分析轴承预紧力与对角接触轴承非线性刚度和轴承寿命的影响。曹宏瑞等[6]考虑了离心力、陀螺力矩和轴承软化效应，研究了主轴-轴承系统内部的高速效应。李松生等[7]研究了高速电主轴轴承在运行中的动态刚度变化。

然而，针对高速电主轴的角接触球轴承的特点，国内外的研究尚不够充分。随着电主轴转速的升高，轴承内圈将会产生很大内圈膨胀，这将引起轴承滚珠与轴承沟道接触应力与变形的变化，进而影响角接触球轴承刚度和滚珠运动状态；并且在角接触球轴承安装的过程中，需要对轴承进行预紧，轴承预紧力的大小也将会影响轴承刚度，进而影响电主轴的临界转速。因此，对高速电主轴的角接触球轴承内部参数和轴承刚度变化的研究是非常有意义的。本文基于角接触球轴承的拟静力学模型，应用Newton-Raphson方法，对角接触球轴承模型的非线性方程组进行求解；分析径向力和电主轴转速对轴承滚珠与轴承沟道的接触角、接触力影响；根据轴承与滚珠的受力平衡条件，研究了电主轴转速与预紧力对角接触球轴承刚度的影响；建立轴承-主轴的有限元模型，研究了高转速下角接触球轴承对电主轴临界转速的影响。

1 高速电主轴角接触球轴承的拟静力学模型

角接触球轴承拟静力学模型是用于研究轴承在外载荷和惯性效应等条件下的运动学和力学问题，Jones[8]最早建立了球轴承的拟静力学分析模型，并提出轴承沟道控制理论。De Mul等[9]改进并完善了角接触球轴承的拟静力学模型。本节考虑高转速下角接触球轴承滚珠受到离心力和内圈膨胀效应等因素，建立高速电主轴角接触球轴承的拟静力学模型。

1.1 角接触球轴承滚珠运动学分析

角接触球轴承的几何模型及受力模型如图1所示，当没有受到外力和力矩且静止的情况下，角接触球轴承滚珠与轴承沟道的接触角称为初始接触角，且此时内、外圈沟道的曲率中心和轴承滚珠的中心在同一直线上。Oi、Oe分别表示内、外圈沟道的曲率中心，其距离可以表示为

BD=(fe+fi-1)Db

(1)

式中：Db为轴承滚珠的直径；fi=ri/Db、fe=re/Db分别表示内、外圈轴承沟道与轴承直径的比值。ri、re分别表示轴承内圈、外圈沟道的曲率半径。

图1 角接触球轴承模型Fig.1 The model of angular contact ball bearing

当角接触球轴承运行时，由于轴承滚珠受到离心力的作用，轴承的内、外圈沟道的曲率中心与轴承滚珠的中心将不在同一条线上。在轴承安装过程中，外圈固定在轴承座上，故假设轴承外圈沟道的曲率中心固定不变，内圈沟道的曲率中心在外载荷的作用下产生位移，轴承滚珠受到离心力的作用，滚珠的中心也将发生变化。轴承内圈曲率中心、轴承滚珠中心受载前后的变化如图2所示。

根据图2轴承内圈曲率中心和滚珠中心受力前后的变化示意图，建立轴承滚珠与轴承内、外圈沟道的变形方程。Vj、Uj分别表示轴承在受力后第j个滚珠处轴承内、外圈沟道曲率中心之间在轴向和径向的距离，V、U分别表示轴承滚珠中心在受力后与轴承外圈沟道曲率中心在轴向和径向的距离，δij、δej分别表示轴承滚珠与内、外圈沟道的Hertz接触变形量，αo、αij、αej分别表示轴承的初始接触角，以及当轴承受力后轴承滚珠与轴承内、外圈沟道的接触角。受力后，轴承滚珠中心与内、外圈沟道曲率中心的距离分别为

lij=(fi-0.5)Db+δij

(2)

lej=(fe-0.5)Db+δej

(3)

图2 轴承内圈曲率中心变化图Fig.2 The variation diagram of the center of curvature of the bearing inner ring

轴承在高速运行过程中，角接触球轴承受到外力的作用，同时轴承滚珠受到离心力的作用，轴承内圈受到上述力的作用后，产生轴向、径向位移和转动位移，分别表示为δa、δr和Φ；同时，轴承内圈受到离心膨胀的作用，产生的位移用uc表示。变形后，轴承内、外圈沟道的曲率中心之间在轴向距离和径向距离分别表示为

Vj=BDsin(αo)+δa+ΦDpcos(ψj)

(4)

Uj=BDcos(αo)+δrcos(ψj)+uc

(5)

式中：ψj为轴承的第j个滚珠接触方位角；Dp为轴承节圆直径，轴承内圈的离心膨胀产生的位移可以表示为

(6)

式中：Di为角接触球轴承的内径；ρ为轴承内圈材料的密度；E为轴承内圈材料的弹性模量；v为轴承内圈材料的泊松比；Ω为电主轴转速。

根据图2中的几何关系，滚珠与内、外圈沟道的接触角可以表示为

(7)

根据式(7)，从而有

(8)

(9)

1.2 滚珠受力分析

轴承滚珠在运行过程中，与轴承内、外圈沟道相互接触，同时受到内、外圈沟道对轴承滚珠的作用力，以及轴承滚珠因自身运动引起的离心力的作用。由于轴承滚珠受到离心力的作用，轴承滚珠与轴承内、外圈沟道的接触角不再相同，其受力模型如图3所示。Qij、Qej分别表示轴承的内圈和外圈沟道在滚珠上的作用力。其作用力大小与变形量之间的关系可以表示为

(10)

(11)

式中：Kij和Kej为与轴承的几何参数相关的参数，可以根据Hertz接触理论通过下列公式计算得到[10]

(12)

根据轴承滚珠的受力平衡条件，建立轴承滚珠的受力平衡方程

(13)

式中，轴承滚珠离心力Fcj可以表示为

(14)

式中，ωm为轴承的公转的转速，计算公式分别为

(15)

(16)

图3 轴承滚珠受力图Fig.3 The force diagram of the bearing ball

式中Ω为轴承内圈的转速，也是电主轴的转速。

(17)

方程的迭代过程可以表示为

(18)

1.3 角接触球轴承受力分析

由于轴承外圈固定在轴承座中，轴承内圈相对于轴承外圈的位移表示为：δ=[δxδyδzγxγy]T，表示轴承内圈在三个方向的平动位移和两个方向的转动位移。轴承内圈受到的外力表示为：F=[FxFyFzMxMy]T，表示作用在轴承内圈上的力和力矩。当角接触球轴承在运行时，轴承内圈处于受力平衡的状态，单个滚珠在运动过程中，作用在内圈的力可表示为Qj=[QrQzM]T，对于角接触球轴承，轴承滚珠作用在内圈上的力矩M为零。在该力的作用下，轴承内圈产生的位移可以表示为uj=[uruzθ]T。

为了实现所有轴承滚珠对轴承内圈的作用力转化为轴承内圈整体的作用力，需要将轴承滚珠的局部坐标系转成角接触球轴承的整体坐标系。转化之后，轴承滚珠位移和力与轴承内圈的位移和力的关系可以分别表示为

uj=[Rj]δ

(19)

(20)

式中，n为滚珠的数量，Qj是第j个轴承滚珠对角接触球轴承内圈的作用力，表示为

(21)

传递矩阵[Rj]为

(22)

式中：zp为轴承滚珠中心与轴承内圈沟道中心的轴向距离；rp=Dp/2+(fi-0.5)Dbcos(αo)为轴承中心到轴承内圈沟道曲率中心的距离。

根据式(20)和(21)，以及轴承受外力和力矩后的平衡条件，可以列出角接触球轴承的受力平衡方程

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

1.4 角接触球轴承刚度矩阵

考虑角接触球轴承高速转动情况下，轴承滚珠离心力和轴承内圈膨胀效应，根据轴承变形与作用力的关系，轴承变形与作用力之间的关系可以表示为

Kbδ=F

(28)

其中，Kb为5×5的Jacobi轴承刚度

(29)

角接触球轴承刚度矩阵的计算公式可以表示为

(30)

其中，

(31)

雅可比矩阵Jb可以通过对轴承内、外圈沟道受力方程(13)求导得到，求得雅可比轴承刚度矩阵为

Jb=Je+Ji

(32)

其中，Je、Ji分别表示为

2 高速电主轴有限元模型

角接触球轴承作为高速电主轴的支撑单元，其受力特性与刚度将直接影响电主轴系统的动力特性，为研究角接触球轴承对高速电主轴动力特性的影响，本节建立了高速电主轴的有限元模型。

图4(a)为典型高速电主轴的结构示意图，根据Timoshenko梁理论以及有限元建模方法，对电主轴转轴进行离散化，把转轴划分为n个单元，共有n+1个节点，每个单元都有两个节点，前后两个单元共用一个节点，每个节点有5个自由度：3个平移自由度和2个旋转自由度,如图4(b)所示，节点位移向量可表示为q=[uvwθxθy]。

(a) 高速电主轴示意图

(b) Timoshenko 梁单元图4 高速电主轴有限元模型Fig.4 The finite element model of high speed motorized spindle

应用广义哈密顿原理推出方程

(33)

式中：T和V是梁单元的动能和势能；W表示力对梁单元所做的功。

单元的总动能包括平移动能与转动动能。梁单元的总动能表示为[11]

(34)

梁单元的总势能包括梁的弹性弯曲势能、切变形势能和梁的轴向压缩形变势能，总势能方程表示为

(35)

外力做功表示为

(36)

由式(34)～(36)代入式(33)，电主轴-角接触球轴承系统的动力学微分方程可以表示为

(37)

式中，[K]=[Ks]+[Kp]+[Kb]-Ω2[Mc]，[M]为电主轴转轴质量矩阵，[G]为转轴的陀螺反对称矩阵，[K]为电主轴-角接触球轴承系统的刚度矩阵，其中，[Ks]为转轴的刚度矩阵，[Kp]为轴向力引起的刚度矩阵，[Kb]为角接触球轴承刚度矩阵，可以由式(29)求得，[Mc]为考虑离心力效应的附加矩阵。[F]为作用在梁单元节点上的外力，Ω为电主轴转轴的转速。

由电主轴-角接触球轴承动力学微分方程可以看出，在电主轴的质量、材料与几何等参数不变的情况下，角接触球轴承的刚度与电主轴的转速是影响电主轴动态特性的重要因素。而角接触球轴承在实际的运行过程中，受到预紧力、径向力和电主轴转速的影响，轴承滚珠与轴承内、外圈沟道的接触角、接触力会发生变化，这将影响轴承刚度的变化，进而影响电主轴系统的临界转速。

3 实例分析

本文选用型号为7008C，采用油润滑的角接触球轴承作为研究对象，研究轴承预紧力、径向力以及电主轴转速对角接触球轴承的影响。角接触球轴承具体参数如下：

轴承滚珠直径：Db=7.90 mm；轴承节圆直径：Dp=54 mm；轴承滚珠数量：N=16；初始接触角：αo=15°；内圈沟道曲率系数和外圈沟道曲率系数：fi=fe=0.52，其中f=r/Db，r为轴承沟道的曲率半径；轴承滚珠与滚道材料的弹性模量：E=206 GPa，泊松比υ=0.3，主轴单元尺寸参数如表1所示。

表1 主轴单元尺寸

角接触球轴承运转过程中轴承主要承载径向载荷，由式(7)和(13)可以求得轴承滚珠与轴承沟道的接触角与接触力，图5给出了轴承在500 N预紧力、电主轴转速为20 000 r/min的情况下，轴承分别受到0 N、100 N、150 N和200 N径向力的作用下，不同位置处轴承滚珠与轴承内、外圈沟道接触角和接触力的变化情况。由图5(a)和图5(b)可知，轴承滚珠与内圈沟道的接触角在0°位置为最小值，180°位置为最大值，轴承滚珠与外圈沟道的接触角变化相反，在0°位置为最大值，180°位置为最小值；在90°和270°位置处，轴承滚珠与轴承内、外圈沟道的接触角并不受径向力的影响，与径向力Fr为0 N时滚珠与内、外圈沟道的接触角相同；轴承的径向力越大，轴承滚珠与轴承内、外圈沟道的接触角变化值越大，并且接触角都成周期变化。由图5(c)和图5(d)可知，轴承滚珠与内、外圈沟道的接触力在0°和180°位置分别达到最大值或最小值；在90°和270°位置处，轴承滚珠与轴承内、外圈沟道的接触力不受径向力的影响，与径向力Fr为0 N时滚珠与内、外圈沟道的接触力相同，且轴承径向力越大，轴承滚珠与内、外圈沟道接触力的变化范围也越大，并且接触力成周期变化。

图5 径向力对滚珠与轴承沟道的接触角及接触力的影响Fig.5 The influence of radial force on the contact angle and contact force between the ball and the bearing race

此外，考虑电主轴转速将会引起滚珠离心力的增加，图6给出了角接触球轴承在500 N预紧力、200 N径向力的情况下，电主轴转速分别为10 000 r/min、15 000 r/min、20 000 r/min时，不同位置处轴承滚珠与轴承内、外圈沟道接触角和接触力的变化情况。在图6(a)和图6(b)中看到，随着电主轴转速的升高，轴承滚珠与内圈接触角增大，与外圈接触角减小，并且接触角的变化范围增大；由图6(c)和图6(d)中看到，随着电主轴转速的升高，轴承滚珠与内圈接触力减小，与外圈接触力增大。轴承滚珠在0°时接触力达到最大值，相比于电主轴转速为10 000 r/min时，电主轴转速达到15 000 r/min和20 000 r/min轴承滚珠与内圈接触力分别下降了2.29%和4.22%，而轴承滚珠与外圈接触力分别增加了7.77%和19.97%，由此可见当电主轴转速升高，由于内圈膨胀与滚珠离心力等原因，轴承滚珠与外圈接触力急剧增加，由1.4节可以看出，当滚珠与内外圈接触角与接触力发生变化时，轴承刚度会随之改变。

图6 电主轴转速对滚珠与轴承沟道的接触角及接触力的影响Fig.6 The influence of rotor speed on the contact angle and contact force between the ball and the bearing race

由式(29)、(30)可以求出角接触球轴承的刚度矩阵，图7给出了轴承在不同预紧力的情况下，电主轴转速对轴承刚度的影响。从图中可以看出，轴承的径向刚度和角刚度随着电主轴转速的变化表现出非线性改变，在转速增加时，轴承的刚度一开始变化较小，在一定转速内急剧下降，当转速较高时，轴承的刚度趋于稳定。根据不同预紧力下的轴承刚度变化曲线可以看出，当轴承的预紧力越大，初始刚度增加。在电主轴转速升高至22 000 r/min，预紧力为100 N时，轴承的径向刚度和角刚度分别下降了75.01%和48.21%；预紧力为300 N时，轴承的径向刚度和角刚度分别下降了65.92%和47.07%；预紧力为500 N时，轴承的径向刚度和角刚度分别下降了53.12%和37.57%；由此可见轴承的预紧力越大，轴承刚度下降的趋势越慢，且在轴承转速较高的情况下才开始下降。

图7 不同预紧力下轴承刚度随电主轴转速的变化Fig.7 The change of bearing stiffness with the spindle speed for different preloads

电主轴在高速运行过程中，角接触球轴承在预紧力的作用下，轴承的刚度随着电主轴转速的增加而降低，轴承刚度的下降将导致转子临界转速下降，图8给出了轴承在500 N预紧力的作用下，电主轴转速对电主轴临界转速的影响。当电主轴转速为22 000 r/min时，前三阶临界转速与静止时相比分别下降了3.61%，3.47%，4.01%。图9给出了轴承在不同预紧力情况下电主轴的一阶临界转速变化。当轴承的预紧力为100 N的时候，转子的一阶临界转速在4 000 r/min开始下降；当轴承的预紧力为300 N的时候，转子的一阶临界转速在10 000 r/min时开始下降；当轴承的预紧力为500 N的时候，转子的一阶临界转速在12 000 r/min时开始下降。当电主轴转速达到22 000 r/min相比静止时，轴承预紧力为100 N的时候，电主轴的一阶临界转速下降了9.21%；而当轴承的预紧力增加到300 N时，电主轴的一阶临界转速下降了5.57%；而当轴承的预紧力增加到500 N时，电主轴的一阶临界转速下降了3.61%。可见，提高轴承的预紧力可以延缓临界转速随电主轴转速下降的趋势。

图8 电主轴前三阶临界转速随转速的变化Fig.8 The change of the first three orders of the critical speeds of the motorized spindle with the spindle speed

图9 不同预紧力下一阶临界转速随转速的变化Fig.9 The change of the first-order critical speed with the spindle speed for different preloads

4 结 论

本文针对高速电主轴角接触球轴承高转速的特点，建立角接触球轴承的拟静力学模型，研究了角接触球轴承径向力和电主轴转速对轴承滚珠与轴承沟道的接触角、接触力的影响；进而给出了轴承刚度随电主轴转速和预紧力影响的变化趋势；最后建立轴承-主轴的有限元模型，研究了不同预紧力下角接触球轴承在高转速下对电主轴临界转速的影响，得到如下结论：

(1)角接触球轴承的滚珠在运转过程中主要受轴承径向载荷，当轴承滚珠方位角为90°和270°时，将不受径向力改变的影响，当方位角为0°和180°时，接触角和接触力会达到最大或最小值，此时受径向力影响为最大。

(2)随着电主轴转速增加，受离心力与内圈膨胀影响，轴承滚珠与内圈接触角增大，与外圈接触角减小，与内圈接触力减小，与外圈接触力增大，并且与外圈接触力的增幅较大。受转速影响，滚珠与轴承沟道的接触角与接触力呈非线性变化，进而将影响轴承刚度的变化。

(3)高速电主轴角接触球轴承的刚度会随着电主轴转速的升高而减小，会随着轴承预紧力的增加而增大，并且增加预紧力可减缓轴承刚度随转速升高而减小的趋势。

(4)角接触球轴承刚度会对电主轴的临界转速产生较大影响，随着电主轴转速升高，电主轴的前三阶临界转速受轴承刚度影响而降低，增加轴承预紧力，可以增加电主轴的临界转速，并且减缓临界转速下降的趋势。

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Analysis on the stiffness of angular contact ball bearings and its effect on the critical speed of a high speed motorized spindle

HUANG Weidi, GAN Chunbiao, YANG Shixi, XU Lihui

(College of Mechanical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

A pseudo-static model of angular contact ball bearings in a high speed motorized spindle was built in full consideration of their high speed rotation characteristics, by which the impacts of the bearing radial force and the speed of motorized spindle on the contact angle and contact force between balls and bearing races were discussed. According to the force equilibrium condition of the bearing and balls, the impact of the bearing preload on the bearing stiffness was studied. Then, the finite element models of the bearing and spindle were set up based on the Timoshenko beam theory, by which the influence of the bearing on the critical speed of the motorized spindle with different preloads was studied. The results show that the radial force and the speed of the motorized spindle may change the contact angle and the force between balls and bearing races. The bearing stiffness degradation will arise as the rotating speed is high and the preload is decreased, and the critical speed of the motorized spindle also decreases. Moreover, to guarantee the safety of the motorized spindle, the effects of the bearing centrifugal force, the inner expansion, and the preload should be taken into account in design.

angular contact ball bearing; bearing stiffness; motorized spindle; critical speed; preload

国家自然科学基金(11172260；11372270)

2016-01-26 修改稿收到日期： 2016-04-12

黄伟迪 男，博士生，1989年生

甘春标 男，教授，博士生导师，1971年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.004