例谈垂直关系在几何综合题中的几种运用

陈艳胜

几何综合题的思路获取往往靠的是基本图形、模型图形的积累，应用垂直关系进行计算、证明在中考试题中广泛存在。近些年，一些省市中考的几何压轴题中经常出现图形变换中叠加垂直关系，求解时注意发现、构造应用一些垂直关系模型，往往能快速打开解题思路。因此，善于帮助学生归纳几何的一些基本图形、构造相应数学模型是降低学习难度、提高学生学习效率，培养学习数学兴趣的一种重要手段。下面我们一起来探究有关这一类的问题，从中寻找解决这类问题的方法和规律。

模型一：一个直角的顶点在一条直线上，直角绕该顶点旋转

示例1（2016龙岩第24题）如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的；旋转随即停止

（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP △PCD（填：“≌”或“～”）

（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值。

分析：这道题可分解出的基本图形是：Rt∠MPN绕在一条直线BC上的顶点P旋转，在这种两直角边在直线BC同侧的模型图中始终存在∠BPE+∠CPN=90°。利用这一关系来得到两个三角形的全等或相似，从而解决问题。

处理办法：

（1）根据矩形的性质找出∠B=∠C

=90°，再通过角的计算得出∠BAP=∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；

（2）过点F作FH⊥PC于点H，根据矩形的性质以及角的计算找出∠B=∠FHP=90°、∠BEP=∠HPE，由此即可得出△BEP∽△HPE，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；

（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出S与t之间的函数关系式，令S=4.2求出t值，此题得解.

模型二：兩个直角顶点重合，把其中一个直角绕顶点旋转

示例2（2016漳州第25题）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N。

（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是 ；

（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线的交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？

（4）如图4是点O在正方形外部的一种情况。当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论。（不必说理）

分析：这道题图1可分解出的基本图形是：Rt∠MON绕Rt∠BAD旋转，其中顶点O与A重合，在这种模型图中始终存在∠BAM=∠DAN。利用这一关系来得到两个三角形的全等或相似，从而解决问题。

处理办法：（1）再利用正方形的性质得出：AB=AD，∠ABM=∠ADN=90°，从而△ABM≌△ADN，得出OM=ON；

（2）对于第（2）（3）（4）小题都可以过点O分别作BC、CD的垂线，从而构造出图1模型，利用第（1）小题的方法来解题。

模型三：两个直角相对，两直角边分别相交

对上面示例2的图形（1）（2），如下图，还可以看成Rt∠MON与Rt∠BCD两直角边分别相交于点M、点N。这类模型可看成Rt∠MON与Rt∠BCD是以线段MN为直径的圆的圆周角，即O、M、C、N四点共圆，从而画以线段MN为直径的辅助圆，则∠OCM=∠ANM=∠OCN=∠OMN=45°，所以弦OM与弦ON相等；

对于第（2）（3）小题同样得出O、M、C、N四点共圆，从而逆向思维：从弦OM与弦ON相等得到弧OM与弧ON相等，所以它们所对的∠OCM=∠OCN=45°，最后确定点O在直线AC上移动。

模型四：一个直角与一个锐角的顶点重合，把锐角绕顶点在直角内旋转

示例3 已知：△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A与∠D分别为直角，把点E与点A重合，让∠E在∠A内部再将△DEF绕点A旋转一定角度后，边DE与边EF截△ABC斜边BC，交点分别为M、N，截得三条线段BM、MN、CN，探索MN 2 与BM2 、CN 2有什么关系？

分析：这道题可分解出的基本图形是：∠BAM+∠CAN=45°。利用这一关系来得到两个三角形的全等或相似，从而解决问题。

处理办法：把△ABM绕点A逆时针旋转90°得△ACP，使AB与AC重合，连接PN，则∠ACN+∠ACP=∠ACN +∠B=45°+45°=90°，重新构造Rt△CPN，其中CP=BM、PN=MN，此时利用勾股定理得：MN 2 =BM2 +CN 2

因此，在平时的解题过程中，善于发现、总结某些特殊的模型，再应用这种模型来解决类似的问题，往往会给我们带来事半功倍的效果；也是教师提高课堂教学效率，优化学生解题策略的一种有效手段；更是树立学生对中考几何综合题破解信心的一种重要方法。