X2+1和梅森素数

段贵军

一、X2+1素数

1.X2+1素数概念

在X2+1数中，当X为偶数（1是唯一特例）时，例如：12+1=2； 22+1=5； 42+1=17；……中的2、5、17、……皆为素数，这种素数是否有无穷个？此为X2+1素数猜想。

2是偶数中唯一素数，故本文只讨论求解X为偶数时的X2+1素数个数问题。

X÷2为X2+1奇数个数，也是项数，用N表示。

2.X2+1奇数因子

因所有奇数除以4均余1和3，故奇数可表示为y=4a+1和y=4a+3两种形式（a为0、1、2……整数），并各占奇数集合总量的1/2。据题意，可做如下假设。

假设①：X2+1=4a+1（4a+1为奇质数）。X2=4a+1-1=4a，得出a= X2÷4，当X为偶数时，设X=2k，a=（2k） 2÷4= k2，本式成立。

假设②：X2+1为合数，则X2+1=（4b+1）（4c+1）=16bc+4b+4c+1=4（4bc+b+c）+1（其中4b+1和4c+1均为奇质数）。设4bc+b+c=k，则原式等于4k+1，此与4a+1是同一种数，同理可证，X2+1=（4b+1）（4c+1）……（4n+1）。

假设③：X2+1=4a+3（4a+3是奇质数）。则a=（X2-2）÷4= X2÷4-2÷4。设X=2k，则原式等于4k2÷4-2÷4= k2-1÷2。因k2是整数，则a无整数解。故本式不成立。

综上，X2+1奇数要么为4a+1类型奇质数；否则为由1至n个4a+1式奇质数相乘积的合数，是4a+1奇数集合的一部分。

3.X2+1奇数因子的分离排除周期规律计算

X2+1奇数数列符合自然数素数分布与个数计算公式原理。

X2+1值差：指X12+1 到X22+1之間的变化差值，设X2= X1+c（c为偶数），即（X22+1）-（X12+1）= X22 -X12 = c（2 X1+c）。

分离排除周期计算：设奇质数因子4a+1=m，因（X22+1）-（X12+1）= c（2 X1+c），根据自然数素数分布规律和个数计算公式，当c÷m=g和（2 X1+c）÷m=f（g和f均是整除最小整数）时就可以求出奇质数因子分离排除周期。

①完整分离排除周期（c÷m=g整除）：因c为偶数，m为奇质数，所以，g必为偶数，则g的最小值是g=c÷m=2时为一个奇质数m的一个完整分离排除周期，2m为从X1 到X2的值差。例如X1 =8，m=5时， X1 到X2 之间的差为c=2m=2×5=10，即X2 -X1=18-8=10，则奇质数m=5的分离排除周期内的奇数项数为5个，意为每五项有一项被分离排除掉。即X1 =8，此后是10、12、14、16，此为一个完整分离排除周期，自18开始则进入下一个分离排除周期。

②周期内分离排除 （2 X1 +c）÷m=f（f为最小整数）：因2 X1 和c都为偶数，m为奇质数，故f也必是偶数。因X1 和m皆已知，因此决定能否整除的因素是c值变化，如当X1 =8，m=5时，只要c=4时，f=4是整除最小整数。即c+ X1=4+8=12，即在上面8、10、12、14、16中的12处也可以分离排除，因8<12<16，所以，也可称作是周期内排除。

据以上计算可知，在同一周期（五项）内分离排除两次。

设X2+1奇数为N个，则经过奇质数因子m=5分离排除掉N×（2÷5）个，剩余N×（5-2）÷5=N×3÷5个；其它奇质数因子也同理计算。

4.X2+1 素数个数计算公式

把4a+1奇质数分离排除因子从小到大依序进行分离排除，称为优先分离排除法，如5、13、17、……

设M和N为X2+1 奇质数总个数和奇数总个数，据自然数素数个数计算公式原理得：M=N×3/5×15/17×……1155/1157……×（k-2）÷k+t（k为X2+1奇质数，也包括非X2+1形式的4a+1奇质数形成的合数，如1157=13×89，k≤X2+1；t为因分离排除而减少的X2+1奇质数，N=X÷2）。

当N和k→∞时， M=N×3/5×7/9×11/13×……×[（k-2）÷k]（k≤X2+1），M极缓慢递增，在相同区间范围内，N×3/5×15/17×……1155/1157……×（k-2）÷k（k≤X2+1）>N×3/5×7/9×……×（k-2）÷k（k≤X2+1），虽然分离排除因子越来越多，使X2+1 奇质数会变得越来越稀，分布密度却趋向于恒定变化，但会永远不断出现，所以，X2+1 奇质数总个数必缓慢递增→∞个。

二、梅森素数

1.梅森素数概念

梅森数指2n-1（n≥2）形式的数，其中的素数称为梅森素数。

2.2n-1奇数因子计算

由（2n-1）÷4=（2n-4+4-1）÷4=（2n-4）÷4+3÷4看出，（2n-1）÷4均余3，即2n-1奇数集合是y=4a+3奇数集合的重要组成部分。

据自然数素数分布规律及以上X2+1素数计算过程，易得以下结论。

2n-1奇数（梅森数）要么是y=4a+3式奇质数；其余为y=4a+3式合数。其合数分为两种：一种是由奇数个y=4a+3奇质数相乘积形式的合数（因为偶数个y=4a+3式奇质数相乘积仍是y=4a+1式奇数形式）；另一种是由y=4a+3与y=4a+1两种形式的奇质数相乘积的形式（因为这两种形式的奇质数相乘积仍是y=4a+3式奇数，但y=4a+3奇质数为奇数个）。虽然其中含有m个y=4a+1奇质数，但这种数不参加分离排除，只起辅助作用，此由y=4a+3奇质数的性质所决定。

三、2n-1（梅森数）奇数的奇质数分离排除周期规律

2n-1奇数由A1到A2的差值，设A1=2n-1，A2=2m-1，其中m=n+c，则差值ΔA=A2-A1=（2m-1）-（2n-1）=2n（2c-1）。

设y为某4a+3奇数，则ΔA÷y=2n（2c-1）÷y，以此计算式可求得奇质数的分离排除周期。式中2n是1至n个2相乘积的偶数不可能整除任意奇数。若能整除只能是（2c-1）÷y=g可进行整除，g为奇数，且g为最小整数时是奇质数的分离排除基本周期。而最小g值是（2c-1）÷y=g=1，即2c-1=y，所以，其中的c代表该y值的分离排除周期数，而y= 4a+3是奇质数或奇数合数。故而，梅森素数的分离排除过程是在项数（幂序列）上进行的，和自然数素数分布规律及计算方式相同，而不用在2c-1奇数数列中进行。

根据计算结果可知：当n=1时，21-1=1不计；当n=2时，22-1=3，即当n为偶数时的唯一素数，此后的2j（j为≥2的整数）项数如第4、6、8……项皆为合数，因子中必含有3这个因子；当n=3时，23-1=7，即当n为3j（j为≥2的整数）项数如第6、9、12……项皆为合数，因子中必含有7这个因子……如此可知当n为素数时才可能是梅森素数，n为合数或偶数时不可能为梅森素数。

四、2n-1素数（梅森数）计算公式

设M和n为2n-1的奇质数总个数和奇数总个数，k为1到n范围内最大奇质数因子。据自然数合数因子分布规律原理和自然数素数个数计算公式原理，可得如下梅森素数个数计算公式：M=n×（1÷2）×（2÷3）×……×[（k-1）/ k]+w个，其中k≤n，w为因奇质数在分离排除过程中减少的梅森素数个数。又因为n×（1÷2）×（2÷3）×（3÷4）×……×（k-1）/ k=n×1/ k=1，当n→∞时，而M=n×（1÷2）×（2÷3）×（4÷5）×（6÷7）×（10÷11）……×（k-1）/ k+w越来越大于n×1/ k，故，梅森素数有无穷个。

2n-1数是kn-1数中特例，2n-1（n为奇数）数中含有众多素数，其它kn-1数（k≥3）时只能有1个或没有素数。

以上两个问题的计算结果不可避免会出现误差，但其原理没有问题，所计算代表的素数个数变化趋势是正确的，就足矣。