数学思维在解题过程中的培养

林勇兵

【摘要】心理学家认为：培养学生的数学思維品质是培养和发展数学能力的突破口。几年的教学实践使我认识到思维能力的培养在数学教学中非常重要，一个学生是否具有良好的思维能力，是运用数学知识分析和解决问题的关键。

【关键词】数学思维；思考；灵活

心理学家认为，培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。在学生学会知识的过程中也要学会思考，学会思考的重要性不亚于学会知识，它将使学生终身受益。数学是思维的体操，学生思维的发展是我们数学课堂教学的灵魂，教数学一定要教思维。 但是不能空洞地、形式地教思维，而要以数学知识为载体教思维，学数学也一定要学思维，学生学会了“数学方式”的理性思维，将受用无穷。

几年的教学，我发现学生的思维缺乏灵活性，解题方法比较单一，欠缺思维迁移能力，解题过程缺少举一反三的能力，思维比较狭窄，因此在平时的教学中，我也比较注重学生思维的培养。锻炼他们思维的广阔性，下面就我在培养学生数学思维方面的几点感悟作个初步探讨：

一、启迪学生多角度、多途径解题，做到思维起点灵活

在平时的解题过程中，学生对相似的问题往往会用固定的方法去解，这不是一种好现象，会给学生造成解题思维窄，不思考的问题，导致学生分析题目时走不出思维的沼泽区。因此，教师在教学时可从多角度、多方面进行分析，促使学生朝多思维的方向发展，逐步培养学生的思维能力。

我在教学八年级上册时碰到这样一题：

如图，已知AB//CD，猜想∠ABE，∠BED，∠EDC三者间的数量关系。

学生初看此题无从下手，条件只有一个，就是两直线平行，结论是什么？那我们如何启发学生呢？

我们可以引导学生看已知条件，

师：题目已知什么？

生：AB//CD

师：从已知条件——平行，你能联想到什么呢？

生：同位角、内错角相等，同旁内角互补。

师：那这里有这些吗？

生：没有。

师：那我们怎么办呢？可以构造吗？

这样自然而然可以把学生调动起来了，思维也一下子活跃起来了。

一生：我们可以添加平行线。

师：不错。

接下来是启发学生如何添加平行线了。

有生说：

思路一：如图1，过点E作AB的平行线EF，将∠BED看作∠BEF与∠DEF的和，一生上台板演。

师：除了这种方法，还有其他的方法吗？

思路二：如图2，可以过点D作BE的平行线，那么∠EDC可以看作∠EDF与∠DFB的和。生上台板演。

师：还有吗？

生：连接BD。

思路三：如图3，连接BD，学生一看明白了，∠ABD和∠CDE分别被分成了两个角，而且还用到了三角形的内角和定理，生上台板演。

这时学生的思路纷纷打开了。

师再说，还有其他的方法吗？大家也可以讨论一下。

师：可以延长吗？

生：延长CD和BE，生板演。

师：你们认为这些方法哪种方法简单，易懂？

生：都差不多。

小结：其实我们回过头来看这些思路，这道题归根结底就是利用了平行线的性质。

通过这道题的解答，使学生思维起点灵活多了。我们教师在教学过程中有时不应轻易地否定某一种方法，应因势利导，让学生在讨论和对比中自己去认识不同方法的优劣。同时，也体验了解决问题方法的多样。

再如，我们可以将这题变一变。

变式一：将点E移到图乙的位置，但仍保持AB//CD， 那么∠B，∠D，∠BED之间也有这样的关系吗？如没有，那它们有什么关系呢？

像这样一个好问题的一题多解胜过多题一解，既能使学生巩固知识，活用知识，激发兴趣，而且还能培养学生思维能力和创造能力。像中考中的一些考题，大多数是课本练习题的变式或组合，变换问题的条件或结论、转换问题的形式内容，但无论怎么变，问题的本质始终不变。

二、要求学生克服思维定式，及时调整策略，使思维过程严密

对于一道比较熟悉的题目，学生会用已有的解题思路去思考问题，不管题目所涉及的条件是否改变，他都会一如既往的按原先思考的思路去分析，这样的结果往往使学生形成一种思维定式，题目稍有变化，解题就会出现问题。对于这种情况，我们应该引导学生跳出定势，调整解题策略，从不同的角度去分析问题，有助于学生树立正确的解题方法。

例：如果关于x的方程（ m-2）x2-2x+1=0有解，那么m的取值范围是（ ）

A. m<3 B. m≤3

C. m<3且m≠2 D. m≤3且m≠2

一看此题，学生直观感觉就是利用根的判别式去求出m，马上求出选B。

师：还有同学有不同意见的吗？

生：还要求m-2≠0，所以选D。

师：一个比一个考虑周到，都很不错。

师：还有同学有不同意见的吗？

学生有些茫然。

师：根的判别式适合于一元二次方程，请同学们再读题目。

师：有什么新的发现吗？

生：这没说是一元二次方程，有可能是一元一次，要分类讨论。

这一问，学生恍然大悟，这样能使学生及时地调整策略，使解题思路及时得到纠正.

三、要求学生学会总结，朝思维的正迁移灵活地学习

在平时学习中，解决相似问题就是学会在已知的数学关系中找到新的数学关系，促使学生学会掌握解决问题的方法.在解决过程当中，学生可能在思考问题中会有所偏差，这是不利于解决问题的。因此，我们可以采取多样的解决方法，譬如可以发挥迁移学习的优势，在学习小组中，让学生出声思维，集体讨论，不讨论怎样解题，而讨论怎样去思考，并由小组同伴及时点拨，使思维得到很好的训练，努力提高解决问题的能力。

例：解方程组

学生刚接触此题，不知怎么办才好，无头絮，那我们可以提问，

师：对于这题，你哪些是熟悉的，哪些是陌生的？

生：熟悉的——这是方程，有两个方程，含有两个未知数；不熟悉的——含有两个求和数的方程不知如何解？

师：如果转变成一个方程，一个未知数，你会不会解？

生：会。

师：那我们如何去掉一个未知数，转化为一元一次方程呢？

可以让学生分组交流，通过学生分组交流会让学生得到很多解决问题的方法。

如有些学生说把两个方程相加，那我們看看，两个方程相加，可以得到一个方程，但还是有两个未知数，你会吗？接下去有些学生反应，那把两个方程相减，哎，不错，一个方程，同时也少了一个未知数了，行了，哈哈。

我们再回过头来看看这道题的解决方法，其实这就是我们数学中的消元思想，这是利用消元思想来解方程组。

譬如，我们可以将这种方法应用到解三元一次方程组中，这时我们无须花多大的功夫，自然会灵活地运用了。

四、启发学生挖掘隐含条件，抓住问题的实质，灵活地转化并解决问题

在学生解题过程中，一些条件往往被巧妙地隐藏在题设的背后，学生往往发现不了这个隐含条件，给解题带来很大的困难。因此，如何启发学生找隐含条件是关键。首先要求学生学会仔细分析题意，尽可能挖掘题意所涉及的条件。

例：化简

一学生板演：原式=

师：为什么不把绝对值去掉。

生：不知道x的取值范围，无法去掉。

师：题目其实已经告诉你了，你仔细找找。

另一生：有，因为有意义，所以x-3>=0。

这样问题就得以解决了，像这样挖掘隐含条件的过程，往往是寻求解题思路的过程，隐含条件一旦暴露，便为解题提供了新的信息和依据，因而我们可以从挖掘隐含条件入手，寻求解题的突破口，打开解题之门。

例如，当x= 时，分式的值为0。

像拿到这样一题，看到分式的值为0，马上想到分子等于0，从而得到x=5或x=-5。结果快速地出来了，那这个结果正确吗？学生把结果代到分母中试试，发现x=5不行，所以当x=-5时，分式的值为0。

解得结果后把结果代入原题目中，检验解答过程是否适当。

再如，已知关于x的方程x-7=k+1与4k-x=1-2x有相同的解，就k的值。

师：你对这题是如何理解的？你认为这道题解题的关键在哪里？

生：相同的解。

师：那你是怎么理解相同的解呢？

生：就是x的值相同。

师：对了，那x的值怎么样去解呢？

接下去让学生小组交流解决此题。

数学学习中要使学生的思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样才有利于培养学生的正确思维方式。通过一题多解（证）的训练和隐含条件的挖掘，提高发散思维能力等，还得要学生善于思考，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。

以上几点是本人在教学过程中对数学思维能力培养的点滴体会，当然数学思维的培养方式远不止这些，在日常教学过程中，还会出现新的问题，那就要求学生用新的思维方法去解决新的问题。数学思维的培养是一个不断探索，不断学习的过程。

【参考文献】

[1]仲春.数学思维与数学方法论[M].高等教育出版社.

[2]波利亚.怎么解题：数学思维的新方法[M].上海科技教育出版社.

[3]家燕.中学数学思维训练[M].杭州出版社.