画数学，为学生提供可视化的思维路径

夏忠

数学的抽象性与小学生思维的直观形象性是数学学习的一大矛盾，是导致学生怕数学、学不好数学的主要原因。如何有效处理这一矛盾？实践证明，化抽象为直观，即把抽象的数学变成可视化的直观图，为学生的思维提供一个形象化的支撑，是一种行之有效的方法。教学中，笔者坚持引导学生把数学问题画出来，抽象问题直观教、复杂问题直观教，由浅入深、循序渐进，遵循学生的思维规律，课堂教学深得学生喜欢，教学效益事半功倍。

一、画算理，为学生提供可视化的思维路径

算理是计算的道理，是学生理解为什么这样计算的原理，是计算教学的重点和难点。以分数乘分数的计算来说，要让学生理解分子与分子相乘的积作分子，分母与分母相乘的积作分母，可借助长方形图，引导学生把算理画出来。比如， × ，先画一个长方形表示单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，如图： ；再把其中的 平均分成2份，取1份，如图： ；最后引导学生观察直观图，把一个长方形平均分成8份，涂双层阴影的部分占3份，所以 × = 。借助直观的长方形图，为学生理解抽象的分子与分子相乘的积作分子，分母与分母相乘的积作分母，提供了可视化的思维过程，使数学算理变得看得见，摸得着，不仅难点得以突破，更增进了学生对数学的理解力和亲近感。

二、画推理，为学生提供可视化的思维路径

推理在数学中无处不在，许多概念、法则、公式、定律等都是经过归纳推理概括出来的。以平面图形的面积公式推导来说，它既是教学的重点，又是教学的难点，有经验的教师在引导学生通过动手操作，推导出面积公式后，不止步于此，而是让学生把推导过程画出来，并且边画边用自己的语言叙述推导过程。比如，圆面积的推导过程，学生是这样画的，如图1：

借助推导过程的直观图，学生是这样表述的：把圆转化成一个近似的长方形，长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=圆周长的一半×半径，用字母表示S=πr×r。从中我还发现，圆转化成长方形是等积变形，面积不变，但周长变了，长方形的周长比圆的周长多了两条宽，也就是两条半径。学生把圆面积的推导过程画出来，并且用自己的语言把这一过程描述出来，不仅进一步理解了圆的面积公式的由来，还从中发现了等积变形的两个图形，面积不变，而周长变了。一旦学生有了画推导过程的经验积累，当遇到“把一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的长是12.56厘米，圆的面积是多少平方厘米？”或“把一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，周长比原来多了6厘米，圆的面积是多少平方厘米？”这样的习题时，便能自如地还原圆面积的推导过程，再根据所给的条件，找到两种图形的对应关系，正确解答。

三、画意义，为学生提供可视化的思维路径

凡是意义，均是抽象的，以分数的意义来说，分数有量、率双重身份，对学生的学习来说，这始终是个难点。如何突破这个难点？经验丰富的教师是这样做的：在引导学生抽象出分数的意义后，再把它具体化、可视化。比如，用尽可能多的直观图来表示 的意义，学生的表示如下：

1.用一个图形表示的：

2.用一个计量单位表示的：

3.用一个整体表示的：

经常性地让学生把抽象的意义画出来，意义在学生的脑子里就不再是抽象的，而是直观的、鲜活的。当学生一见到分数 ，就不会看成是一个静止的分数，而是可以表示一个物体的 ，又可以表示一个整体的 ，还可以表示一个计量单位的 等； 既可以表示单位“1”的 ，又可以表示3的 。正是有了分数意义的多样化理解、表示，抽象的意义在学生的眼里，便不再是枯燥的、静止的，而是直观的、灵动的。

四、画题意，为学生提供可视化的思维路径

解决问题是小学教学教学的难点，难就难在对题意的理解、数量关系的分析上。因此，引导学生养成把题意画出来的习惯，可以有效突破这个难点。如被除数除以除数的商是3，余数是6，已知被除数、除数、商、余数的和是75。被除数、除数分别是多少？对于四年级的学生来说，这是一道相当有挑战性的问题，学生思维的障碍点是第一个条件“被除数除以除数的商是3，余数是6，”条件中没有出现含有倍的句子，不知从何入手画图。因此，理解题意的关键是引导学生把这个条件转化成“被除数是除数的3倍还多6”，再结合第二个条件，学生画图如下：

借助直观的线段图，学生不难分析出75-6-3-6的结果正好是4个除数，先求得除数，再求被除数。列式：75-6-3-6=60，1+3=4，60÷4=15，15×3+6=51，即被除数是51，除数是15。

把题意画出来，抽象的文字变成可感的直观图，为学生分析数量关系提供了观察对象，难题就不再难了。若缺少这一直观图，单从抽象的层面来分析，多数学生很难理解为什么75减去6还要再减去6，因为条件中只有一个6，另一个6是哪里來呢？笔者多次教学这道题，如果仅从抽象的层面来理解，学生对这个算式的难点始终都难以真正理解，而借助直观图，学生认知的难点便不攻自破。

把题意画出来，不仅能直观地看出数量之间的关系，还有利于学生变通解题思路、创新解题方法。如，一个长方形菜地长40米，宽是25米，现因扩建，长和宽同时增长5米。增加的面积是多少平方米？引导学生把题意画出来，如下图：

有了直观图的依托，学生很容易想到用大面积减去小面积等于相差面积的常规解法。列式：（40+5）×（25+5）-40×25=350（平方米）。如果教学就此结束，显然是不够的，习题的功能并没有得到充分开发。教师顺势借助直观图，抛给学生一个问题，转化学生的思维路径：同学们，这道题除了用大面积减去小面积的常规思路外，还可以怎样算增加部分的面积呢？是不是可以在增加的面积处分一分呢？一石激起千层浪，有的学生把增加部分的面积分成了甲、乙、丙三块，如下图：

列式：40×5+5×5+25×5=350（平方米）

有的学生把增加部分的面积分成了甲、乙两块，如下图：

列式：45×5+25×5=350（平方米）；

40×5+30×5=350（平方米）。

还有的学生受直观图的启发，直接把分成的甲、乙两块拼成一个长方形，如下图：

列式：（45+25）×5=350（平方米）

把题意画出来，借助直观图为学生的思维打开了一条绿色通道。反之，若不借助直观图，有的学生就把增加部分面积直接算成5×5=25（平方米）。正是因为有了直观图的感知，避免了学生的直觉错误，用大面积减去小面积等于相差面积的常规思路才呼之欲出。同理，若没有借助直观图的分与拼，就没有学生思路的多样化，也正是借助直观图的分与拼，才有了学生把不规则图形转化为规则图形的多种解法。把题意画出来，题目中蕴含的转化思想才有了渗透的土壤，学生的思维才有了由繁到简的过程。因此，把题意画出来，是学生年龄特点的需要，是教师教学的需要，是解决复杂问题的需要，更是提高学生解决问题能力的需要。

总之，把数学画出来，化抽象为具体，有利于促进学生对所学知识的理解，有利于避免学生的直觉错误，有利于促进学生分析数量关系，有利于学生从不同的角度思考问题，突破常规，创新解法。把数学画出来，为学生提供可视化的思维过程，是让学生爱上数学的秘密武器，是让学生体会思考是快乐、数学是好玩的密码，是大面积提高教学质量的催发剂、润滑油。

参考文献

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[2] 俞正强.种子课——一个数学特级教师的思与行[M].北京：教育科学出版社，2015.

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[4] 钱阳辉，等.学会数学地思维——小学数学教学案例解读[M].南京：江苏教育出版社，2001.

[责任编辑：陈国庆]