多塔斜拉桥竖弯基频估算实用公式

陈恒大, 邬晓光, 王希财

(1. 长安大学 桥梁与隧道陕西省重点实验室, 陕西 西安 710064; 2. 山东公路设计咨询有限公司, 山东 济南 250102)



多塔斜拉桥竖弯基频估算实用公式

陈恒大1, 邬晓光1, 王希财2

(1. 长安大学 桥梁与隧道陕西省重点实验室, 陕西 西安 710064; 2. 山东公路设计咨询有限公司, 山东 济南 250102)

为方便快速计算多塔斜拉桥的竖向自振频率,有效解决多塔斜拉桥概念设计阶段有限元软件模拟的工作量较大的问题,基于最简单的多塔斜拉桥形式----三塔斜拉桥,应用Rayleigh法,求得了主梁竖向自由振动的振型函数和主塔纵向自由振动的振型函数,推导了三塔斜拉桥竖弯振动频率公式,并通过与规范解及有限元解的对比,验证了该公式的可行性.研究结果表明,给出的能量法得到的竖弯基频计算值与有限元值误差比规范解与有限元值误差小.则认为本文公式能满足斜拉桥概念设计阶段的要求,且该公式适用于三塔斜拉桥的振动基频快速估算.

桥梁工程; 三塔斜拉桥; 竖弯频率; 估算; 实用公式

随着跨海大桥的兴起与桥梁结构形式的多样化,三塔斜拉桥应运而生,在三塔斜拉桥设计过程中,需要快速了解结构动力特性及掌握桥梁结构参数变化对动力特性的影响,而有限元模型的建立又需要耗费大量的时间,实用估算公式的提出就会大大的提高设计效率,也可以作为有限元模型结果正确性的依据.因此,建立满足工程精度要求的振动基频简化计算公式具有较大的应用价值.国内外有关学者对独塔或双塔斜拉桥在概念设计阶段的动力特性估算已经开展了研究[1-4].《公路桥梁抗风设计规范》中的双塔斜拉桥的基频估算公式是以双塔漂浮体系为基础,找出影响斜拉桥振动特性的主要设计参数,根据现有斜拉桥振动特性资料进行回归分析或者曲线拟合,由于统计样本在数量及规格上的不足,大跨度、超大跨度斜拉桥估算频率值与真实频率值存在较大差异[5-8];李国豪将斜拉桥看作一种在纵向稍作浮动的弹性支承连续梁,提出单质点振子模型估算漂浮体系斜拉桥的1阶频率,需要将桥面质量及塔架自重等效换算后堆聚塔顶存在误差较大的问题[9];袁万城等针对文献[9]单质点模型计算精度不足的缺陷,采用分开考虑主塔、主梁的双质点振动模型,提高了漂浮体系斜拉桥基本周期的估算精度[10];张杨永根据主塔塔顶的抗推刚度与主梁的等效摆动刚度的差异,对文献[10]提出的估算公式进行修正[11];文献[12]将漂浮体系斜拉桥比拟为多跨连续弹性地基梁,利用Rayleigh法给出了漂浮体系斜拉桥1阶竖弯频率近似计算公式;文献[13]同样是将斜拉桥简化成多跨连续弹性地基梁模型,并对其进行修正;文献[14]考虑了斜拉桥主塔偏位对竖弯基频的影响,对文献[12-13]提出的估算公式进行完善和修正;申林、鞠小华等采用Rayleigh法分别推导了半漂浮体系斜拉桥和单跨悬索桥的近似竖弯基频表达式[15-16];文献[17-21]采用Rayleigh法针对多塔悬索桥的竖弯振动频率进行了推导,并提出了精度较高的修正公式.综上所述,独塔和双塔漂浮体系的斜拉桥已有相关的竖弯基频近似计算公式,相比传统独塔或双塔斜拉桥,三塔斜拉桥的中间塔两侧既没有辅助墩和过渡墩又没有端锚索,缺少了对主梁和索塔刚度的有效帮助,使已经是柔性结构的斜拉桥柔性更大,且在诸多文献中均未对三塔斜拉桥的竖弯基频近似计算公式有相关的讨论,对该结构的竖弯基频还停留在定性认识的基础上,对其定量计算公式上基本处于盲区.为此本文对三塔斜拉桥的振动基频进行研究,采用Rayleigh法推导其竖弯基频估算实用公式可供初步概念设计.

1 基于Rayleigh法计算振动频率

当系统进行固有振动时,如果不考虑阻尼力消耗能量,其动能和势能会反复交换,对于保守系统,其结构总能量是守恒的.可知,频率ωb的近似公式为

(1)

式中:ωb为与此对应的频率;EI(x)为弯曲刚度;m(x)为质量分布值;φ(x)为满足桥梁位移边界条件的近似振型函数.

为方便表述,对下文中的符号作如下说明:EGIG,ETIT为主梁、主塔的抗弯刚度;η,ξ,ηci为主梁、主塔及拉索的振型函数;mG,mT,mci为主梁、主塔及拉索的线均布质量;Eci,Aci为拉索的弹性模量及截面面积;αci,Lci为拉索的水平倾角及长度.

1.1 结构体系的势能

斜拉体系在铅垂平面内发生一阶竖向振动时,其势能为主梁、主塔(中间主塔及边塔)和拉索势能之和.

主梁的势能为

(2)

主塔的势能为

(3)

图1 拉索与主梁的变形协调

Fig.1 Deformation compatibility of cable and main girder

拉索的势能为

(4)

(5)

于是,整个斜拉体系的势能为

(6)

1.2 结构体系的动能

斜拉体系在铅垂平面内发生一阶竖向振动时,其动能为主梁、斜拉索和主塔动能之和.

主梁的动能为

(7)

斜拉索的动能为

(8)

主塔的动能为

(9)

则整个斜拉体系的动能为

(10)

1.3 斜拉体系的竖弯基频

将式(6)、式(10)代入式(1),可得到斜拉体系的竖向振动频率的计算公式为

(11)

李国豪在文献[9]中指出,在结构的势能中,拉索的势能是主要的,主梁、主塔及拉索的二次能是次要的,可以忽略不计.结构动能中,主梁的动能是主要的,拉索、主塔的动能是次要的,亦可以忽略.于是可得该结构的竖弯频率理论近似公式:

(12)

由式(12)可知,基频ωb仅与结构的计算参数Eci,Aci,MG和振型函数η(z,t)有关,与其他因素无关.求解三塔斜拉桥的振动基频,获得其基本振型函数η(z,t)是前提.

2 三塔斜拉桥竖弯基本振型

根据文献[3]及三塔斜拉桥的结构特点,可得到其1阶反对称和正对称的竖弯振型,如图2、图3所示.

图2 1阶反对称竖弯振型

图3 1阶正对称竖弯振型

由图2、图3分析可知,其振型函数η(x,t)与四跨连续梁竖向自由振动的振型函数η(x,t)类似.由于拉索和主梁满足变形协调条件,故只需确定满足边界条件的主梁的振型函数η(x,t)即可.由此,只要找到能满足其竖向自由振动的振型函数η(x,t),即可计算出三塔斜拉桥的1阶竖弯振动频率ωb,具体推导如下文.

3 一阶反对称竖向弯曲频率计算公式

主梁一阶反对称的振型关于中间支座反对称,如图4所示.

图4 主梁1阶反对称竖弯振型

对于满足1阶反对称竖弯自由振动,设其满足边界条件的主梁振型函数为

第1跨主梁振型曲线可表示为

(13)

第2跨主梁振型曲线可表示为

(14)

第3跨主梁振型曲线可表示为

(15)

第4跨主梁振型曲线可表示为

(16)

由于主梁振型曲线在各桥塔处是连续的,即满足变形协调条件,可得:

即:

(17)

于是可得:

(18)

(19)

将式(18)和式(19)代入式(12)可得:

(20)

4 一阶正对称竖向弯曲频率计算公式

主梁一阶正对称的振型关于中间支座对称,如图5所示.

对于满足1阶正对称竖弯自由振动,设其满足边界条件的主梁振型函数为:

图5 主梁1阶正对称竖弯振型

第1跨主梁振型曲线可表示为

(21)

第2跨主梁振型曲线可表示为

(22)

第3跨主梁振型曲线可表示为

(23)

第4跨主梁振型曲线可表示为

(24)

由于主梁振型曲线在各桥塔处是连续的,即满足变形协调条件,可得:

经简化可得:

即

(25)

于是,可得:

(26)

(27)

将式(26)和式(27)代入式(12)可得:

(28)

5 算例验证

为验证文中解与有限元解的计算精度,下面选取洞庭湖大桥、台北淡水河桥及济南建邦黄河大桥3座三塔斜拉桥对上述公式加以验证,其中算例1、算例2和算例3的主梁截面形式均为π形截面,且皆无辅助墩,实桥结构计算参数如表1所示.

表1 实桥结构计算参数

表2 实桥一阶竖弯基频频率对比

根据表1、表2计算的数据分析可知,本文推导的竖弯基频能量表达式与有限元数值结果误差1最大为5.87%,而规范解与有限元解之间的误差2最大为19.67%,误差大小皆能满足概念设计阶段的要求;一阶反对称的估算值与有限元值之间的误差比一阶正对称的估算值与有限元值之间的误差相对要大,原因在于其振型函数更趋近于简支固端梁的振型函数;本文推导的竖弯基频能量表达式仅适用于塔梁固结、墩支承的三塔斜拉桥的竖弯频率估算,不适用于其他斜拉体系的竖弯频率估算.

6 结 论

(1) 主梁的支承条件对斜拉桥竖弯频率的影响较大,计算频率时不可忽视支承条件,应充分考虑.

(2) 三塔斜拉桥振动基频与拉索的弹性模量及截面面积有关,与拉索截面形式无关.

(3) 通过假设主梁的基本振型函数,推导了其一阶竖弯正对称和反对称的能量表达式,其结果与有限元数值结果吻合较好,可以适用于三塔斜拉桥竖弯频率初步概念设计阶段的估算中.

(4) 本文竖弯频率实用计算公式适用于三塔斜拉体系,对其他体系斜拉桥应另做专门研究,《公路桥梁抗风设计规范》中的斜拉结构的竖向弯曲的基频估算公式不适用于塔梁固结、墩支承的三塔斜拉体系的竖弯频率的估算.

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【责任编辑: 赵 炬】

Estimation Practical Vertical Bending Fundamental Frequency Formula for Vibration of Cable-Stayed Bridges with Three Towers

ChenHengda1,WuXiaoguang1,WangXicai2

(1. Key Laboratory for Bridge and Tunnel of Shaanxi Province, Chang’an University, Xi’an 710064, China; 2. Shandong Highway Design Consulting Co., Ltd., Jinan 250102, China)

In order to calculate fundamental frequency of the cable-stayed bridges with multi-tower conveniently, effectively solving the problem of the large simulation workload in conceptual design phase of multi-tower cable-stayed bridge by finite element software, based on the simplest multi-tower cable-stayed bridge, three-tower cable-stayed bridge, using the Rayleigh method, the vibration mode function of vertical free vibration of main girder and the free vibration mode of main tower are obtained, the formula of vertical bending vibration frequency of three-tower cable-stayed bridge is deduced, and the feasibility of the formula is verified by comparison with normal solution and finite element solution. The results show that the fundamental frequency calculated by the recommended method has a smaller error compared with the finite element method (FEM) result, which meets with the requirement of conceptive design. The presented theoretical formula could be applied to estimate frequency for vibration of cable-stayed bridges with three towers.

bridge engineering; cable-stayed bridges with inclined three towers; vertical bending fundamental frequency; estimation; practical formula

2016-11-24

陕西省交通运输厅科技资助项目(13-25k); 中国电力建设股份有限公司科技专项资金资助项目(2014-38).

陈恒大(1989-),男,山东滕州人,长安大学博士研究生; 邬晓光(1961-),男,湖北黄冈人,长安大学教授,博士生导师.

2095-5456(2017)02-0146-07

448.27

A