浅谈中学物理中的数学知识及思维方法

庞 芳 崔虹云 马 佳

(佳木斯大学理学院物理系，黑龙江 佳木斯 154007)

浅谈中学物理中的数学知识及思维方法

庞 芳 崔虹云 马 佳

(佳木斯大学理学院物理系，黑龙江 佳木斯 154007)

在中学物理教学中，应渗透数学知识和思维方法，以提高学生分析和解决物理问题的能力，本文结合教学实例，予以说明.

物理教学；数学知识；数学思维方法

无论是科学家们探索和建立物理学的历程，还是中学生学习物理的过程，都离不开数学.运用数学知识和思维方法解决问题是物理教学的内容之一.《普通高中物理课程标准》中明确要求：“通过物理概念和规律的学习过程，了解物理学的研究方法，认识物理实验、物理模型和数学工具在物理学发展过程中的作用.”因此，有必要梳理中学物理教学中常见的、对学生解决物理问题有重要作用的典型数学知识和思维方法，以下结合实例说明其在高中物理中的应用.

1 中学物理教学中所用到的重要数学知识

1.1 三角形知识及三角函数

(1) 三角形知识

在初中数学学习阶段，学生已经对于三角形有了一定程度的了解.在高一阶段，力的合成与分解大量运用了三角形知识，这恰恰也为学生整个高中三年的物理学习奠定了基础.

例1:以下的选项中三力可以平衡的有( ).

A. 1N，1N，3N B. 5N，3N，4N

C. 6N，8N，10N D. 3N，5N，9N

分析：本题四个选项中不存在三力在同一条直线上的情况，根据三角形定则的学习，学生很容易将三力平衡问题转化为三边能否构成一个封闭三角形问题，通过初中三角形知识：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.稍加运算，即可得出正确选项为B、C.

(2) 三角函数

三角函数知识在高中物理学习中运用广泛，下面主要举例分析其在平抛运动中的运用.

例2:如图1所示，一个做平抛运动的物体在某一时刻某一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，求α、θ两角正切值之间的关系.

图1

1.2 不等式法

例3:如图2所示，电源电动势E=3V，内阻r=1Ω,滑动变阻器的总阻值R总大于电源内阻，现将开关S闭合，试问当R为多少时电源的输出功率最大？

图2

1.3 函数法

函数的应用几乎贯穿整个高中物理的学习过程.必修1中匀变速直线运动中速度与时间的关系呈一次函数关系，位移与时间的关系则呈二次函数关系，物体所受合力和加速度呈正比例函数关系，必修2的曲线运动与轨迹方程联系紧密，选修3-2中交变电流则用正余弦函数呈现函数关系.

一次函数关系在高中物理中常常出现，在做匀速直线运动物体的位移-时间图像中，一次函数图像的斜率代表了物体的速度.在做匀加速直线运动物体的速度-时间图像中，函数图像的斜率体现了物体的加速度大小，从图像也可以看出物体的速度增减情况.

例4:从倾角为θ的斜面顶点将一小球以v为初速度水平抛出(假设斜面足够长)，求小球与斜面的最大距离？

如图3建立平面直角坐标系，求出小球运动轨迹的二次函数表达式，通过顶点坐标公式来求小球离斜面的最大距离.

图3

2 中学物理教学中所渗透的主要数学思维方法

许多数学中常用的思维方法对于中学物理教学以及物理问题的分析都有很大帮助，教师应当注意对学生进行有针对性的思维训练，对学生的物理学习起着重要的作用.

2.1 数形结合

我国著名数学家、中国科学院院士华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”数与形是传统数学中的最基本的两个研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.学生在中学数学课程的学习中主要以数和形为研究对象，数与形之间存在着关联，而这个联系则称之为数形结合.作为一种数学思维方法，数形结合一般有两种应用：其一是利用精确的数字来阐明形的属性，二是借助形的几何直观性来表明数之间关系.

在数学教学中，以数解形、以形助数、数形结合的思维方法为解决问题提供了极大的方便.而物理之所以常被学生评价为“晦涩难懂”，其中一个原因就是物理虽贴近生活，但由于用文字描述而显得缺乏直观性，不同的问题描述的物理图景不同，让学生难以寻得“捷径”.而图形恰恰就是物理学习中的“捷径”，物理图形的设立不仅有利于学生的理解，而且有利于物理模型的建立.

数形结合的思维方法在物理教学中已经被大量应用，如在高中运动学部分，教师经常会要求学生画出v-t图像、s-t图像，以帮助分析运动过程，动力学部分更是要养成画出受力分析图的习惯，在磁场的学习中，常见微粒射入变化的电场、磁场中，求轨迹半径、周期等计算题，有的学生遇到此类问题，往往觉得无从入手.此时若能引导学生分析微粒受力情况并画出轨迹图，学生必能轻松发现解决问题的突破口.

例5:一个正六边形ABCDEF处于匀强电场中，A、B、C点的电势分别为1V、2V、3V，下列选项中正确的有( ).

A. UAF=0

B. UCF=0

C. 电场方向从C指向A

D. D、E、F三点电势为3V、2V、1V

分析：学生遇到此类习题，往往觉得无从入手，这时作图就显得尤为重要.启发学生作图，先画出题中所要求的正六边形，如图4所示，连接AC，找出中点，通过电势的计算可以得到这个中点应该和B在同一个等势面上.引导学生回忆等势面的特点：等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直.而且，学生在中学数学中已经学习了多边形的基本性质，稍加运算即可得出AC与BE相互垂直.这样一来，学生可以画出所求匀强电场的电场线.画出了电场线的分布，一切问题就迎刃而解，通过简单的计算，可以判断各选项的正误.

图4

2.2 逆向思维

学生在物理学习中习惯于正向思考，从已知条件开始，循序渐进地推导出结果.但在数学的证明过程中有时会采用逆推思维，从最后的结果出发，逆向推理直至解出问题.逆向思考的思维方法运用到物理教学中也会产生出其不意的效果.例如匀减速直线运动，如果看成反方向的匀加速直线运动来解题，思路更加清晰.

例6:一小物块以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点，已知物体由a到e的时间为t0,则它从e经b再返回e所需时间为( ).

2.3 矢量分析

学生初入高中，运动学部分就介绍了速度和位移都是矢量.而部分学生没有习惯矢量的运算方式，将在初中学习的速度和路程与之混淆，形成思维障碍.高中物理学习常常要运用到矢量的计算，平行四边形定则、三角形定则是研究力学的基本工具，其运算过程中遵循矢量运算法则，熟练运用矢量法解决物理习题十分重要.

例7:a、b、c是三个完全相同的绝缘金属小球.现将三个小球如图5放置在等边三角形的三个顶点上，使c球恰好处于xOy坐标系的原点O上.已知a、c小球带正电，b球带负电，a球所带电荷量比b球所带电荷量少.关于c球受到a和b对它的静电力的合力方向，下列判断正确的是( ).

A. 从原点指向第一象限

B. 从原点指向第二象限

C. 从原点指向第三象限

D. 从原点指向第四象限

图5

分析：在本题中画出c球受力示意图，再通过三角形定则做出矢量合成图，利用矢量图分析，很容易得到c受到合力的方向.

中学物理教育目的在于提高全体学生的科学素养，科学素养不仅仅是科学知识，更多的是注重科学过程、科学方法和科学精神.因此，让学生学会用数学知识和思维方法来解决物理问题，应该作为中学物理教学的一项重要目标.

[1] 林威.挖掘三角函数问题的隐含条件[J].中学生天地，2012,(10)：26-29.

[2] 李玉荣.悄然兴起的“用形辅数”中考题[J].中学数学月刊，2010,(3)：26-27.

[3] 姜建平.浅析数形结合思想在解析几何中的运用[J].理科考试研究(高中版)，2012,(12)：25-26.