建构数学模型 提升数学素养

洪云贵+薛佳茵

数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。小学阶段数学模型具体表现为一系列概念、算法、数量关系、定律等。数学本质上就是在不断抽象概括模式化的过程中发展和丰富起来。因此，我们在教学中要注重引导学生建构数学模型，提升数学素养。

一、联系实际，感知数学模型

数学模型源于生活。培养小学生数学模型思想首先要充分挖掘生活中的数学原型，让学生初步感知数学模型。教学“分段计费问题”，课前笔者引导学生搜集生活中分段计费的实例。在授课时，笔者先让学生交流收集到的分段计费的信息。在交流中，学生谈到水费、电费、出租车收费、固定电话收费等问题均涉及分段计费。在学生交流信息时，笔者继续问：“你们能举例具体说明如何分段计费吗？”学生便出示了一组数据：阶梯电价一档0～200度，0.4893元/度；二档201～400度，0.5483元/度；三档401度以上，0.7983元/度。当学生说出这些信息后，笔者又问：“如果我家六月份用电350度，该付费多少元呢？今天我们就一起来研究分段计费问题。”这样学生通过多种方法搜集到生活中分段计费信息，初步感知分段计费中“总费用=首段费用+后续费用”的数学模型，为数学模型的建构做好充分准备。

二、自主建构，形成数学模型

自主探索、动手操作、合作交流是数学学习的重要方式，是建构数学模型的重要方法。数学教学中，要让学生经历数学模型的建构过程，引导学生经历观察、思考、分析、抽象、概括等过程，逐步形成数学模型，从而有效地建构数学模型。

1. 自主探索中建模。

自主探索是学生建模的关键。学生只有通过自主探索，才能充分经历建模过程，牢固掌握数学知识，培养数学能力，提高数学素养。教学“植树问题”例1：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共要栽多少棵树？教学中，笔者先引导学生尝试完成例题，学生的方法大致有3种，方法1：100÷5=20（棵）；方法2：100÷5-1=19（棵）；方法3：100÷5+1=21（棵）。大部分学生是第一种做法。到底哪一种答案正确？接着，笔者引导学生尝试画图分析。学生开始动手画图，感觉要画很多，比较繁琐。此时笔者又问：“有什么好办法呢？”引导学生用“以小探大”的方法去探究，也就是从简单问题中寻找规律，用发现的规律去解决复杂问题。假设路长只有5米，可以怎么栽？棵数和间隔数有什么关系？10米呢？15米呢？从中你发现什么规律？学生在画图、观察、思考、交流中发现在两端都栽的情况下“棵数=间隔数+1”的数学模型。再利用这个数学模型尝试解决例题。学生通过尝试解题、自然生疑、自主解疑、再遇困惑、以小探大、建立模型、应用模型，这样层层深入地自主探究，逐步建立植树问题中两端都栽“棵数=间隔数+1”的数学模型。

2. 动手操作中建模。

数学教学中，要引导学生动手实践，让学生在动手操作中建立数学模型。在教学“平行四边形面积”时，要引导学生动手操作，把平行四边形剪拼成长方形，观察拼成的长方形长、宽、面积与原平行四边形底、高、面积之间的关系，从而发现“平行四边形的面积=底×高”这个数学模型。通过动手操作，学生深刻地经历建模过程，有效地培养学生动手操作能力和建立数学模型的能力。

3. 在模拟演示中建模。

在数学学习中，有些题目的数量关系较为抽象，而小学生的思维发展的基本特点是以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式。但是这种抽象逻辑思维很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有相当程度的具体形象性。所以抽象的数学需要进行直观的模拟演示，才能更加有效地建立起数学模型。教学“相遇问题”时，如何建立“路程=速度和×相遇时间”这个数学模型呢？在读题之后，先引导学生说出：从题中获取哪些数学信息？要求什么问题？接着，请两位学生上台模拟演示，让学生在演示中理解两地、同时、相向、相遇的实际含义，然后深入思考甲速度、乙速度、相遇时间、路程之间的关系，让学生在模拟、观察、思考、交流中建立“路程=速度和×相遇时间”或“路程=甲车所行路程+乙车所行路程”这样的数学模型。

4. 合作交流中建模。

合作交流是数学建模的重要环节，学生通过自主探究、动手操作或模拟演示、观察思考，逐渐把现实情境中的问题抽象成数学问题，并形成自己独特的见解，从而初步形成朦胧的数学模型。接着教师要引导学生进行合作交流，学生在交流中，才能取长补短，建立清晰的数学模型。

三、拓展应用，巩固数学模型

学生通过自主探究、动手实践、合作交流建立数学模型，教师还要引导学生进一步拓展、丰富数学模型，同时要加强数学模型的应用，进一步巩固。

1. 加强联系，拓展数学模型。

每一个数学模型必有许多与之对应的原型。教学中我们从一种原型中探究出数学模型后，应当充分挖掘与之相对应的各种原型，学生才会触类旁通，灵活运用模型解决问题。就如当学生建立起“植树问题”中三種情况（两端都栽、一端栽一端不栽、两端都不栽）棵数和间隔数之间的数学模型后，我们可以出示锯木头问题：把一根粗细均匀的木料锯成5段，每锯一次要用3分钟，一共要用几分钟？引导学生找出锯成的段数和锯的次数之间的关系，从锯的段数找到锯的次数，再用“所锯次数×每锯下一段用的时间”得到总时间。这实际上就是植树问题中两端都不栽“棵数=间隔数-1”模型拓展成“所锯次数=段数-1”。教学中只有不断拓展数学模型，逐步学会将纷繁复杂的现实事物抽象概括为同一数学结构，逐步体验并掌握数学建模思想，才能有效培养学生的抽象概括能力，建构数学模型的能力，从而提高学生的数学素养。

2. 加强实践，应用数学模型。

在实践中应用数学模型，不但能巩固数学模型，同时还能有效地培养学生的运用意识，提高数学素养。当学生建立起“长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2”这个数学模型后，要布置学生量一量房间或教室墙面的大小。学生建立起“长方体的体积=长×宽×高”这个数学模型后，要布置学生回家测量冰箱的体积。学生在一次又一次的数学实践中巩固数学模型，发展应用意识。

数学教学要引导学生充分感知数学模型，自主建构、积极拓展、灵活运用，从而不断提高学生的数学素养。

（作者单位：福建省福清市融西小学）