基于B-S模型金融衍生品可转债定价的研究

张 祎 朱家明

(1.安徽财经大学 金融学院，安徽 蚌埠233030；2.安徽财经大学 统计与应用数学学院，安徽 蚌埠233030)

基于B-S模型金融衍生品可转债定价的研究

张 祎1朱家明2

(1.安徽财经大学 金融学院，安徽 蚌埠233030；2.安徽财经大学 统计与应用数学学院，安徽 蚌埠233030)

作为一种新型的融资渠道，可转债近几年在资本市场上有了飞速发展，针对可转债的价值组成，将其分成纯债券、转换和期权价值三部分，并分别介绍了三种价值的度量方法，利用最小价值原理和B-S定价公式对选取的9只上市可转债理论价值进行估计，发现计算出的结果普遍比市价低，最后基于这个发现讨论产生这种偏差的原因.

B-S期权定价模型；可转换债券；最小价值原理；t检验

资本市场的深入发展使得可转债这种新型的融资工具也取得了令人瞩目的影响.可转债既具有债券的特征又有期权的属性.因为投资人若未在规定时间内实施转换权，则发行方需要对剩下的债券按期支付利息，到期日支付本金，这是债券性质的体现，并且可转债具有转股权、回售权、向下调整转股价等权利.投资人在规定的期限内既能实施转股权将可转债转换为一定数量的正股股票，也能选择不行使这个权利.一方面，可转债持有人拥有是否实施转股权的权利，但是需要承担可转债低利率的成本；另一方面，发行方具有在规定的情形下赎回可转债的权利，但是要为此付出更高的利率的成本.这种制度设定限制了债券持有人与发行人的风险与收益.由于利率低于普通企业债券利率和税盾效应，对于发行方而言，它是一种很好的降低融资成本的产品；针对可转债投资方，它是一种良好的避险工具.

1 文献综述

可转债的利率通常低于企业普通债券的利率，并且由于我国的税盾效应，使得其不仅可以降低发行者的融资成本，也可以让投资者通过选择是否行使转换权来规避风险.对于这样一种债券，为了顺利地进行转换和发行，需要有一个合理的定价.对于可转债的定价也因此成为这方面的热点话题.国内外学者对此提出了众多的理论，如违约风险结构理论、单因素和双因素模型等.闻岳春[1]等使用蒙特卡罗数值方法对可转换债券价值进行研究；王婧[2]利用B-S模型计算上市的14只可转换债券价格，计算出的结果普遍比市价低并提出一些理论以解释这种现象；汤洁[3]利用GARCH模型计算正股价格波动率并接着用B-S公式计算期权价值，结果拟合效果较好.

本文的特点是基于我国特色的向下调整转股价制度，在假设转股价与正股价同比例变动的前提下，由于投资者只会在正股价高于转股价时进行实施转股权，通过证明得出转股权可以近似看成欧式看涨期权的结论，继而利用近9个月的历史股票价格数据计算股价连续收益率波动率，并求出上市的9只可转债的理论价格，与实际价值进行比较，阐述存在差异的原因.

2 模型原理、指标选取及数据来源

2.1 可转债定价模型原理

可转换债券是一种兼具债权性和期权性的金融衍生品，其价值的最小值来自于纯债和转换价值的较大者，还有一部分来源于隐含的期权价值，依据最小价值原理和期权价值原理，推导到可转债的价格如下：可转换价值=max(纯债券价值，转换价值)+转换权[4].本文利用上述公式对上市可转债价格进行理论上的计算.

2.2 指标选取

在现金流贴现模型中，对于无风险利率的计算，已有不少学者提出各种方法.考虑到期限匹配的问题，本文以与可转债到期日接近的国债到期收益率的均值作为相应期限的无风险利率的估计；在估计股票价格波动率时很多学者都采用股票发行以来的所有股价进行计算，但是事实上并不是数据越多，估计的数值越准确，股价等金融变量具有时变性特征.因此，我们选取2016年2月至今的收盘价作为历史数据估计股价的波动率；在B-S模型的股价波动率的研究中，目前有如下几种估计、方法：第一，直接使用到期时间相近的国债的YTM.第二，在国债YTM之上再加一定幅度的信用风险溢价.第三，将到期日相差不大的企业债券到期收益率均值作为贴现率的估计[5-9]，本文中我们直接采取国债到期收益率进行可转债的估价.

2.3 数据来源

本文所选取的可转债价格及相关数据，均来自于和讯网和新浪财经，所使用的股票价格数据，选取2016年2月1日至2016年11月4日这段期间，数据均来自于通达信金融终端.

3 实证分析

3.1 纯债价值

⑴ 纯债价值的公式：

定义1 纯债价值即投资者未在规定的期限内实行转换权，相当于持有一只债券所实现的价值，其公式为：

其中，B为债券的理论价格，Ci是第i期支付的利息，M是债券的面值，r为贴现率，T是剩余年限.

⑵ 现金流贴现模型的参数估计

由于我国对于公司发行债券有严格审批过程并且具有特色的派息向下调整转股价的规定，因此，市场上可转债的转股性较强，近似将利率设为常数.由于上市交易的国债可以被认为是以利率为标的资产的衍生证券，其价值中已经包含了人们对于未来利率波动的预期，而到期收益率可以代表未来即期利率变动的均值，因此本文中不再考虑其波动性.

因为本文中所采用的可转债的剩余期限包括2年、3年、4年、5年，因此利用和讯网搜集到的国债到期收益率，我们选择与可转债到期日相近的国债，并对其YTM取均值，作为无风险利率的估计，得到的各个时期的无风险利率见表1.

表1 各时期的无风险利率

剩余期限/年2345到期收益率/%27827527952788

运用以上分析的结果，得到纯债券的价值见表2.

表2 可转债的纯债券价值

名 称广汽转债歌尔转债洛钼转债吉视转债民生转债格力转债航信转债白云转债江南转债债券价格92811472134451114011819964292791039211

3.2 转换价值

定义2 转换价值指的是可转债按正股股价将持有的债券转换成股票所实现的价值，其公式为：转换价值=100/转股价格×目前股价

转换价值与正股股价同向变动，所以转换价值的变化本质上就是标的股票价格的变化.利用公式得到可转债的转换价值，见表3.

表3 可转债的转换价值

名 称普通股票市价面值最新转股价转换价值广汽转债2481100217911386歌尔转债3033100262311663洛钼转债3811008784349吉视转债45510012033782民生转债91610081011302格力转债6101007308402航信转债220610043055124白云转债1468100125611688江南转债86910076311386

3.3 最小价值原理

以上分析看出，根据无套利定价原理，可转债拥有的价格底线是纯债券价值和转换价值的最大值，前者是由可转债中的债券性质决定的，后者是由可转债的股性决定的.可转债最小价值=max(纯债券价值，转换价值).

3.4 期权价值

由于影响可转债中包含的期权种类较多，如：转换权、回售权和派息向下调整转股价等等，因此对于可转债的定价比较复杂，考虑到这些条款，可转债的价格表达式为：

可转换债券的价值=max(纯债价值，转换价值)-发行人美式看涨期权价值+投资者美式看跌期权价值+投资者美式看涨期权价值，根据有关文献的实证分析表明，对可转债价值影响最大的是转股权，在此结论的基础上，我们仅对转股权的价值进行计算.

⑴ 转股权是美式还是欧式的判断

期权是美式或是欧式的判断对可转债的价格确定至关重要.对于存续期间产生现金红利的美式看涨期权而言，持有者有可能提前行权.由于我国大多数上市的可转债在正股派息的会将转股价相应地向下调整，因此我们近似将其视作欧式期权，详细推导过程如下：

假设转股价不随红利派发而改变，投资者在t时刻转股(假定到转债时起至到期日T正股只派发一次红利)，则T时的回报为：100ST/X+Der(T-t)，ST为T时刻正股的价格，X为行权价，D为正股派发的红利，r为无风险利率.若持有人持有到期，则回报为：max(100ST/X,P1)+I,P1为T时刻赎回价，I为t到T期的债券利息的终值，则提前转股的一个前提条件是：D>Ie-r(T-t)；由于转股价会随着派息而调整，则持有到期的回报为：

⑵ 运用B-S模型进行期权的计算

B-S模型的假设条件：

①股票价格遵循几何布朗运动，即:dS=μSdt+σSdz，其中μ,σ是常数；②允许卖空股票；③不存在交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；④在衍生产品有效期内标的物没有现金流；⑤不存在无风险套利机会；⑥证券交易是连续的，价格变动也是连续的；⑦在衍生产品有效期内，无风险利率不变.

其中，r为连续复利的无风险利率；此时，期权的价格是到期时的期望值以r贴现得到的结果，即：C=e-r(T-t)E(max(ST-X,0))，股价满足的对数正态分布为：

进而得到标的不产生红利的欧式看涨期权的价格为：

c=SN(d1)-Xe-r(T-t)N(d2)，

N(x)反映标准正态分布的累积分布函数，S代表当前的股价，X是当前期权的执行价格.

我们对股价是否服从对数正态分布进行检验，如图1—图4所示：

从图中可以看出，4种债券的正股股价都可近似看成服从对数正态分布，运用同样的检验可以得到所有的债券的正股股价都服从对数正态分布，因此可以用B-S期权定价公式进行定价.

图1 广汽集团的QQ检验

图2 歌尔集团的QQ检验

图3 洛阳钼业的QQ检验

图4 吉视传媒的QQ检验

⑶B-S模型的股价波动率的估计

假设n为样本个数，Si为第i个时间的股价，令μi=ln(Si/Si-1)，μi为第i个时间段的连续复利收益率，则连续复利的标准差估计值为：

综上，可转债的转换价值见表4.

表4 可转债的转换权价值

名 称广汽转债歌尔转债洛钼转债吉视转债民生转债格力转债航信转债白云转债江南转债价格95612500380171953961306482662

3.5 可转债的价格及其与市值的偏差

通过上述计算过程，可以得到可转债的价格和市价及两者的偏差.见表5.

表5 理论值与实际值的比较

名 称理论价格市场价格理论价与市价的偏差/%广汽转债1234212179132歌尔转债1281313528-550洛钼转债1348313055317吉视转债11157100181020民生转债1201411966040格力转债1003812200-2150航信转债1057611300-680白云转债1217013199-845江南转债1204812179-110

由上面的计算过程可以看出，产生的偏差均值为-3.15%.得出理论价格与实际价格的趋势，如图5：

图5 理论与市场价格

计算过程中出现偏差较大的，可能是由于各个可转债的行权条件不同，导致对于期权的价值估计存在较大误差，鉴于此，我们在使用模型进行估值时，应充分涉及其自身的独特因素，这样的估值才会更贴近现实.为了进一步说明两者是否有显著性差异，对理论值与实际值做两总体均值的假设检验，令H0∶μ1>μ2，H1∶μ1μ2，μ1表示市场价格，μ2表示理论价值，利用MATLAB编程，见表6.

h=0表示不可以拒绝原假设，而sig为假设成立的概率，说明原假设在82.4%的情况下是成立的，所以可以初步判断可转债价值在市场中理论值低于实际值.

表6 总体均值的t检验

统计量hsig数值00824

4 结束语

通过上述的实证分析结果表明，使用B-S期权定价公式对可转债的理论价值确定与市价稍有偏差，经过分析，有以下几个原因：

⑴ 正股股票对可转债市价的影响会有一个滞后效应.

当正股股票价格上涨很快并且转换期权处于实值时，短期内可能出现可转债市价上涨速度小于股价上扬速度，但是由于偏离幅度不大且存在交易成本，并不能产生无风险套利机会，市价会随着交易日的延续回归正常，可以看出证券市场对可转债的价值估计已经较为合理，不像早期那样低估其价值，同时也表现了市场有效性仍不足，可转债市价还无法充分反映基准股票的相关价格信息.

⑵ 模型中并没有考虑诸多附加权利

可转债中有很多附加条款，如派息向下调整转股价、回售权等，这些权利会使得对可转债价格的确定更加复杂，而B-S公式中的期权只考虑了简单化的转换权，造成了理论值与实际值的偏差.

⑶ 我国的市场非有效

证券市场的弱势有效性是使用B-S模型进行期权定价的必要条件，但是目前我国的市场有效性不能达到要求，因此影响可转债的价值；同时缺乏做空机制使得套利行为无法实现，可转债的价格无法通过这一途径达到均衡，从而理论与实际的价格产生偏差.

总体来说，观测时期的模型平均理论价值略低于实际市场平均价格，这一方面是由于现在股市表现不佳，波动较大，使得有固定收益的证券产品受到投资者的青睐；另一方面，债券的价格不像以前那样被低估，也反映了投资者对可转债这种新型的金融衍生工具有了更深的了解.

[1]闻岳春，邱小平.我国可转债定价模型探讨[J].商业经济与管理,2009(8):63-68.

[2]王婧.基于B-S模型的我国可转债定价研究[D].北京:对外经济贸易大学,2009.

[3]汤洁.B-S模型在可转换债券定价中的应用研究[J].时代金融,2015(2):146-147.

[4]赖其男，姚长辉，王志诚.关于我国可转换债券定价的实证研究[J].金融研究,2005(9):105-121.

[5]李妍.运用Black-Sscholes模型对我国可转换债券价值的实证分析[D].北京:首都经济经济贸易大学,2015.

[6]章冬斌.B-S模型在我国上市公司可转换债券估值中的应用[J].山东财政学院学报,2005(1):50-53.

[7]郁梦丹.基于Black-Sscholes模型的可转换债券定价的实证研究[D].镇江:江苏科技大学,2015.

[8]郭玉聪.我国可转换债券的定价分析[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2015.

[9]张胜堂.中国可转换公司债券的定价研究[D].北京:首都经济经济贸易大学,2015.

(责任编辑 鲁越青)

On Convertible Bond Pricing Based on B-S Model

Zhang Yi1Zhu Jiaming2

(1.School of Finance, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu, Anhui 23303; 2.School of Statistics and Applied Mathematics, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu, Anhui 23303)

As a new financing way, convertible bonds have developed rapidly in the capital market in recent years. In the view of the value of convertible bonds, which are divided into pure bonds, transformation, and the option value, the paper introduces three measures of value respectively, then estimates the theory of convertible bonds value for selected 9 listed bonds through the principle of minimum value and B-S pricing formula, and find that the calculated result is generally lower than the market price. Finally the reasons for the deviation are discussed on the basis of the findings.

B-S option pricing model; convertible bond; principle of minimum value; t test

10.16169/j.issn.1008-293x.k.2017.07.012

F224

A

1008-293X(2017)07-0068-06

2016-12-24 基金项目：国家自然科学基金项目“3-流猜想，Fulkerson覆盖及相关问题”(11601001).

张 祎(1996- )，安徽铜陵人，安徽财经大学金融学院在读，研究方向：金融工程.

朱家明(1973- )，安徽宿州人，安徽财经大学统计与应用数学学院副教授，研究方向：概率 统计与数学建模.