数学归纳法在几何中的应用

吴方跃

摘 要：本文介绍了数学归纳法的定义，并举例说明了我们在使用数学归纳法时应注意的问题，告戒我们不能盲目的归纳，避免得出错误的结论，本文还重点介绍了我们在使用数学归纳法解题时应注意的步骤，还介绍了数学归纳法推理的常用技巧，并通过在几何中应用实例的分析，启发人们在解题中更好地使用数学归纳法。

关键词：数学归纳法；归纳假设；归纳推理

数学归纳法的应用比较广泛，可以讲凡是关系到自然数的结论都可以用它来验证.学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力、观察能力、数学化能力、逻辑思维能力和解决综合性问题能力.另外，它也是每年高考中必不可少的内容，而且是得分点，同时也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带。下面我介绍数学归纳法及在几何中的应用。

1数学归纳法

1.1数学归纳法的定义

[n=1]正确时，若在[n=k]正确的情况下，[n=k+1]也是正确的，便可递推下去。虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上，这种递推就已经把所有自然数都验证了，这种方法就是数学归纳法。

1.2运用数学归纳法证题的步骤：

（Ⅰ）验证当[n=]1时，某命题是正确的；

（Ⅱ）假设[n=k]时，命题也是正确的，从而推出当[n=k+1]时，命题也是正确的。因此，命题正确。

容易悟错的是：既然[k]是任意的自然数，[n=k]是正确的，那么[k+1]也是正确的。即[n=k]与[k]应该表示同一个意思。何必还要证明呢？这很容易理解，[k]虽然是任意假设的自然数，但是，一旦假定了[n=k]时，[k]就是一个固定的自然數了，换句话说，[k]就是一个有限的数。因而，能否从n=k时命题正确，推出[n=k+1]时命题也是正确的，这就不一定。如在[n=k]时正确，推出了[n=k+1]也是正确的，这时，问题就出现了一个跨越，发生了本质的变化，从[k]到[k+1]，便是由有限变化到无限的过程，这正是数学归纳法之精髓。

在比较复杂的情况下，数学归纳法的两个步骤都要有一些相应的变化，下面有两种变形。

数学归纳法在很多学科方面都有很广泛的应用.要很好的运用数学归纳法解题，就需要熟练的掌握数学归纳法的原理和数学归纳法的几个步骤.

参考文献：

[1]（苏）L.I格拉维娜 I.M雅格洛姆著，姚时宗、童增祥《数学归纳法在几何中的应用》，莫斯科米尔出版社，1979年.

[2]华罗庚.数学归纳法[M].上海：上海教育出版社，1963.

[3]洪帆.离散数学基础（第二版）[M].武汉：华中理工大学出版社，1997.

[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（第二版）.