分析数形结合思想在高中数学解题中的应用

王博

【摘 要】对高中数学知识体系进行分析可知，函数部分内容既是学习中的重点，也是学生学习过程中的“拦路虎”。函数知识较为复杂、多变，在学习过程中，学生只有掌握正确的解读思路和方法才能有效解决不同形式的函数问题。数形结合思想作为一种将函数知识与几何知识紧密结合起来的教学思想被学生广泛的应用到高中数学解题中。本文围绕数形结合思想应用于高中数学解题中的有效方式进行分析，以期为其他同学高效运用数形结合思想成功解题提供参考和帮助。

【关键词】数形结合思想 高中 数学 解题

【中图分类号】G634.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）06-0113-02

无论课程怎样改革、变化，函数知识与几何相结合的内容一直都是高考试卷重点考察的内容。对于作为高中生的我们来说，对这部分知识的掌握情况直接影响高考数学成绩。所以，在解题过程中应用数形结合思想具有非常重要的意义。因此，在高中数学课堂学习过程中，应当注意加强对数形结合思想的培养，为其核心素养的培养奠定坚实的基础。

一、在高中数学解题中运用数形结合思想的概述

数形结合方法是一种能够让复杂的问题简单化、让抽象的问题具体化的解题方法，其思想是一种非常重要的数学思想。学生若想提升自己应用数形结合思想解题的能力，就需要在解题中先做到联系数形结合思想，逐步理解数形结合思想、运用数形结合思想，直到掌握数形结合思想。

高中数学的理论知识主要可以分成三个部分：其一，“数”方面的知识，包括实数、代数式、方程、方程组、不等式、不等式组、函数等内容；其二，“形”方面的知识，包括平面几何、立体几何等内容；其三，“数形结合”方面的知识，如解析几何等内容。

在高中数学解题过程中，最为常见的三种方式是以“数”化“形”、以“形”变“数”、“形”与“数”的互变。

（一）以“数”化“形”

“数”和“形”存在着对应关系，一些数量较为抽象，我们难以充分把握，而“形”较为形象、直观，可以有效的调动形象思维，在高中解题中发挥出重要作用。所以，我们在解题过程中可以将“数”对应的“形”找出来，借助图形来解决“数”的问题。我们可以从给出问题中识别出满足问题目标的某种熟识的“模式”，即“数”与“形”的特定关系或特定结构。这类将数的问题转化成图的问题，并借助对图的分析、推理最后获得正确结果的方法就是图形分析法。圖形分析法的应用通常有三种方式：运用平面几何知识、运用立体几何知识、运用解析几何知识实现以“数”化“形”（图1）。利用以“数”化“形”来解决数学问题的基本思路是，首先，明确题目中给出的条件和最终希望得到的结果，从题目给出的已知条件或结论出发，通过观察分析，明确其与以往所学的基本公式、定理或图形表达式相似或不相似，然后，根据以往所学知识绘制出与题目相适合的图形，最后，借助所绘制图形的性质、几何意义等，结合题目最终希望得到的结果来解题。

（二）以“形”变“数”

尽管“形”较为形象、直观，但其在定量方面仍需要借助“数”来运算，尤其是针对复杂、难懂的“形”而言，既需要将“形”数字化，也需要仔细观察“形”的几何特性，从而获得题中隐藏的条件，再借助“形”的特性或几何意义，将“形”转化为“数”的形式，开始运算。利用以“形”变“数”来解决数学问题的基本思路是，首先，明确题目给出的条件和最终希望得到的结果，通过观察分析所给的条件和最终希望得到的结果的特点、性质，认识到所给条件或最终结果在“形”中的几何意义，然后，利用所学知识将题目中给出的图形用代数的形式表达出来，结合已知条件与最终结论的联系，充分利用相关的代数公式或定理等解题。

（三）“形”与“数”的互变

图形与代数的互变具体是指在一些数学问题中，只依赖以“数”变“形”或以“形”变“数”已经难以有效的解决问题，这时，就需要通过将“形”与“数”进行相互变换来解决问题，学生不仅需要考虑到从直观的图形转化为严密的代数，而且还需要考虑到从严密的代数转化为直观的图形。解决这种问题常常需要兼顾题目给出的已知条件和最终获得的结论，然后通过认真分析明确题目中“形”与“数”的相互转化。基本思路是，见“形”想“数”、看“数”思“形”，即将以“数”化“形”和以“形”变“数”有机结合起来，灵活的使用。

二、在高中数学解题中运用数形结合思想的有效策略

（一）数形结合思想在解题方面的应用

数形结合思想包括“以形辅数”和“以数助形”两个部分，数形结合思想在高中数学解题中的应用大致可以分为两种形式：其一，利用“形”的生动形和直观性来表示“数”之间的联系，例如，借助函数的图像直观的反映出函数的性质；其二，利用“数”的精确性和规范严密性展示“形”的某些属性，例如，利用曲线的方程清晰的展现出曲线的几何性质。在解决数学问题的过程中，学生掌握数形结合法能够利用几何图形对函数参数问题的解题思路进行建构，对于一些简单的问题，通过观察几何图形就能够获得正确的答案。以函数参数问题为例，针对函数 ，对其几何图形进行观察发现有四处与 轴相交，在求解其 值时，利用数形结合法能够快速、准确的求出 值。通过仔细观察函数 的图形发现，其是基于二次函数经过翻折、竖直平移得到的，所以在求解的过程中只需要对函数进行相应的转化，转化成 的形式，然后在直角坐标系中分别绘制函数 和 的图形，将 的图形进行平移，观察 图形与 平移后的图形，在明确二者之间交点个数的情况下，根据参数取值范围需要同时满足交点连线位置的原则，确定参数的取值范围。数形结合思想实质上是实现抽象数学语言与具象图像的有机结合，推动代数问题与几何问题的相互转化，让代数问题几何化，又使几何问题代数化。又如，在解决函数值域问题时，针对“求函数 的值域”这道题，教师可以先指导学生根据题目给出的已知条件画出对应的图像，然后观察图像，将其转化为求斜率范围的问题（图2），可以在图像上设动点 ，定点 ，通过计算PA的斜率能够更为轻松的解决问题，得出的结果为 。因此，在利用数形结合思想分析和解决问题时，应当注意以下几点：其一，应当清晰的了解一些数学概念、运算的几何意义以及图象的代数特征等，不仅需要分析数学题目中条件和结论的几何意义，也需要分析其代数意义；其二，在参数的设置和利用上应当保持合理性，以数推形，以形思数，实现数形的有效转化；其三，保证参数取值范围的正确性。

（二）数形结合思想在简化解题思路方面的应用

高中开设数学课程不只是为了让学生掌握一定的数学理论知识，而是希望学生能够通过数学知识的学习提高自身数学思维能力、问题分析能力以及创新能力等。然而，我们中的大多数并没有明确学习数学的重要意义，仅仅只是将其当作一项任务来完成，这与学习高中数学的本意严重不符[2]。在学习高中数学知识的过程中，学生常常需要运用大量复杂的公示进行数学理论推理，或者做出证明步骤。在这样机械的解题中，很容易产生厌烦的感觉。但是事实上，公式只是解题的一种方法，是一种解决问题的工具。在高中数学学习过程中，学生应当明确数学课程学习的本质，借助数形结合思想理清自己的思维结构和解题思路，进而对思维结构进行创新和优化，使解题思路得到充分简化最终达到能够轻松解决数学问题的目的。

结束语：

综上所述，数学课程是高中学习过程中较为重要的一部分，其内容的逻辑性和实践性比较强，若是学生在高中数学学习过程中未掌握其中的规律，就会觉得数学学习难度大，逐渐丧失学习兴趣，最后变成学困生。为了有针对性的改善函数问题解决难的现状，学生应当善于运用数形结合思想，掌握利用数形结合法解决数学问题的最佳方式，为更快、更准的解决数学问题奠定坚实的基础。

参考文献：

[1]何玉兰.数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].考试周刊，2015（32）：进制50-51.

[2]卢江啸.数形结合思想在高中数学解题中的运用[J].求知导刊，2015（13）：140 -140.