浅谈初中数学教学中基本数学思想的培养

陈志贤

【摘 要】数学思想是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，因此，我们要有机地利用数学学习过程进行渗透，不断加以归纳，提炼和强化，这就要求教师认真钻研教材，从整体出发，有计划，有目地结合数学知识的学习，进行数学思想的教学。

【关键词】数学思想 基本数学思想 基本特征 教学实践体会

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）07-0108-01

一、数学思想与基本数学思想

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。数学思想是与其对应的教学方法的精神实质与理论基础，数学方法则是实施有关的数学思想的技术与操作程式，中学所用到的各种数学方法，都体现着数学思想，数学思想属于科学思想，但科学思想未必就是数学思想，有的逻辑思想由于其在数学中的应用而被数学化了，也可称之为数学思想，如分类讨论思想。

基本数学思想则体现或应该体现基础数学中的具有奠基性、总结性和广泛的数学思想，它包含有传统数学思想的精化和现代数学思想的基本特征，并是历史地发展着的。

与初中数学教学有紧切联系的基本数学思想，归纳起来主要有四种，即：等价转化思想，数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想，在初中阶段通过四种基本的数学思想的培养，在高中和以后的数学学习中，数学能力才会有大的飞跃，基本数学思想是基础知识的灵魂。

二、四种基本数学思想及基本特征

1、等价转化思想

所谓等价转化思想就是把那些待解决或难解决的问题化归到已有的知识范围内解决问题的一种重要的基本数学思想。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才能保证转化后的结果为原问题的结果。在数学操作中，实施等价转化要遵偱熟悉化、简单化、直观化、标准化原则，即将遇到的问题转化成比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题变成较简单的问題；或者将比较抽象的问题，转化为比较真观的问题，以便准确把握问题的求解过程；或者从非标准型向标准型进行转化。

等价转化思想即灵活又多样，在应用该思想解题时，没有统一的模式进行，它可以在数与数、形与形之间进行转化，还可以在宏观上进行等价转化，也可以在符号内部实施转换，即恒等变形。

【范例】：

例1：已知：如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AB∶BC=6∶5，平行四边形ABCD的周长为110，面积为600。求：cos∠EDF的值。

2、数形结合思想

数形结合思想是借助数的精确性阐明图形的某种属性，利用图形的直观性阐明数与数之间的关系，即：“以数辅形”和“以形助数”。以数辅形，即以数为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质；以形助数，即以形为手段，数为目的，如函数图形来直观地说明数学的性质。

华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”指明了数形结合的特征. 在数学教学和学习中没有任何东西比几何图形更能直观的让我们很好的去理解，特别是初中数学课本各章开头都会有一幅插图，例题习题也辅以图形，在数学教学实践中，我们部分地利用这此图形，结合实例，更好的引导概念，进行知识讲解，学生学习起来会特别有兴趣。

【范例】：

例2：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象，

化简

3、函数与方程思想

函数与方程思想就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系，抽象其数量关系，建立函数关系式，同时用方程的有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想。

函数与方程思想也是把方程问题用函数方法解决，或者把函数问题用方程来解决，或者是两者的结合。函数思想是把给定问题用方程式转化为辅助函数的性质研究，得出所需的结论，方程思想是把对数学问题的认识，归纳为对方程的认识。函数与方程思想常同数形结合，等价转化思想互相融合后才能充分发挥基具体的解题功效。

【范例】：

例3：已知：如图，正方形ABCD的边长为a，△PQA是其内接等边三角形。

求：PB的长。

4、分类讨论思想

分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结纶，最后综合各类结果，得到整个问题的解答，实质上是：“化整为零、各个击破，再积零为整”的数学策略。

分类讨论一般有三个步骤：（1）根据题目需要确定分类讨论的对象；（2）针对讨论对象进行合理的分类讨论；（3）讨论结果归纳合并，综合得出结论。在分类讨论中，每次分类要按同一标准进行，并做到"不重"，"不漏"，保证分类讨论科学性与合理性。

【范例】：

例4.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（ ）

A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33

例5.在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别是 、 ，则∠BAC的度数是 。

参考文献：

[1]钱佩玲 邵光华 主编 《数学思想方法与中学数学 》北京师范大学出版社

[2]解恩泽、徐本顺 主编 《数学思想方法 》山东教育出版社