“牛吃草”问题解法的实质

【中图分类号】G4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）07-0088-01

“牛吃草”问题，是英国物理学家牛顿提出的，牛在吃草在长的数学问题。在小学奥数竞赛中常以变形的解决实际的问题出现，我们先来看扩展的例题。

例1.有三块草地，面积分别是5、6、8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天；第二块草地可供12头牛吃14天。那么第三块草地可供19头牛吃多少天？

分析，牛吃多少，草有多少，草长的速度？涉及这三个变量，但很容易知道的基本等式：原有的草量+生长的草量=牛吃的草量

于是我们可以这样解：设每公顷有草x，每公顷草每天长y，每头牛每天吃草a， 根据上面的等式有

第一块： 5x+5×10y=11×10a ……①

第二塊： 6x+6×14y=12×14a ……②

第三块： 8x+8×？y=19×？ a ……③

（假设19头牛吃？天）

有把上面方程中的a看已知数，联合①②解得

x =7a， y=1.5a

把x，y代入③

8×7a+8×？×1.5a =19×？ a

两边同除以a，得？= 8×7÷（19-8×1.5）

=8（天）

其实在上面①②的结果中，很容易看出或证明x、y、a三者之间是倍数关系，这就是它们的实质。因此令a=1，那么可以求出x、y；只要令三个未知数其中任一个为1，那么可以求出另外两个未知数（只需单位一样）。所以为什么有的算术解法可以把其中设为“1”的就是基于它们之间的关系。在各种杂志刊物的和网络看到的种种解法，也仅仅是上面解法的变形而已。

当三块草地同样大小即变成了一块地，则成了“牛吃草”的基本问题。

另外，从上面可以看出5×10y可以写成（5×y）×10，也就是5公顷草地每天长5y，是一个恒量；而6×14y=（6×y）×14，也即6公顷的草地每天长6y的草，也是一个恒量；对同一块地，把这个值重新设置，问题就更简单化。

例2：一片10公顷的草地，每天都匀速的长出青草，这片草地可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么可供21头牛吃几周？

设每头牛每周吃“1”份，这片草地每周长x份（当然也可以每头牛每周吃x份，草每周长“1”份）（如图）：

那么两线段相减得：9x-6x=23×9×1-27×6×1

x=15

原有草量： 23×9×1-9×15=72（份）

于是有21头牛可吃

72÷（21×1-15） =12（周）

显然“10公顷”是一个多余条件，一般就忽约而叙述成“一片草地，一块地”等。实质是牛吃草问题是一种理想化状态。首先牛吃第一天、第二天等后，被它吃过的草也在随着时间在长，总不能要求它又倒回来吃；而草的厚度生长快慢都假想一样，所以说是理想化。但实际生活中，也有这种相对的如匀速前进的车、水流等问题，只是我们没必要纠缠细节，否则简单问题复杂化就会寸步难行，就找不到解决问题的途径。利用例2的方法，可以去解生活中的车站检票、一只水管进一只水管出、某些工程、行程问题等“牛吃草” 变形的数学问题，如

1.某车站在检票前若干分钟就开始排队，设每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候的队伍消失，若同时开4个检票口需要30分钟；同时开5个检票口需要20分钟，为了使15分钟内检票队伍消失，需至少开多少个检票口？（提示，所检的人数=开始排队的人数+又来的人数）

2.快、中、慢三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分钟快车超过了一名长跑运动员，过了2分钟后中车也超过去了，又过了2分钟慢车也超了过去。已知快车每分钟走1000米，中车每分钟800米，求慢车的速度。（提示，三车未出发时，运动员离A有一段距离）

3.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼.已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上.问：该扶梯共有多少级？（提示，把刚上扶梯脚踩的梯级看作一个点，那么人到达扶梯顶端所跑的级数，就是顶端离这个移动的点之间的级数，而这时这个点离扶梯底端也移动过一定的级数）

罗天恩，男，1963年1月，大专（数学系），小学高级教师，全国小学奥数一级教练。

本文主要探讨“牛吃草”问题解法的实质，为什么有的变量可以设为“1”？以及生活中“牛吃草”的变形的数学问题。