高认知水平数学任务的案例分析与教学启示——以“斐波那契数列”为例

四川师范大学(610068) 王琳 潘亦宁

高认知水平数学任务的案例分析与教学启示
——以“斐波那契数列”为例

四川师范大学(610068) 王琳 潘亦宁

数学任务是数学课堂教学的推动力,是学生学习数学有利环境的基础.常规的数学评课主要从教学目标、教学内容、教学方法、师生互动等方面对课堂进行综合评价,却很少从数学任务的角度对课堂进行评价,这样难以揭露学生课堂活动实际操作的思维水平和类型.美国比兹堡大学Stein博士等在“QUASAR”(QuantitativeUnderstanding:Amplifying Student Achievement and Reasoning)项目的研究过程中构建了一个用于分析教学、帮助教师设置高认知水平数学任务的理论——数学任务框架,可以很好地的关注学生课堂活动参与的实际认知水平.对于数学任务的定义,“QUARSA”项目研究者明确指出,数学教学任务位于教与学的相互作用之中,数学教学任务不仅是课本上或教师授课计划中出现的问题,而且是围绕教师和学生组织和实施那些问题所进行的课堂活动1.其中,把数学任务按照学生的认知要求进行分类,分为低层次认知要求与高层次认知要求,低层次认知要求又细分为记忆型与无联系的程序型,高层次认知要求细分为有联系的程序性与做数学.对一个数学任务究竟属于哪一个水平,可参照“任务分析指南”对数学任务的认知特征进行判定,从而理解课堂教学的本质及课堂教学与学生学习的关系.

1.研究对象选取

本文研究对象为笔者实录课“斐波那契数列”,录课时间为2016年4月,录课地点为成都市某重点中学,是该校第30届“核心素养培育”教学研讨会中的一堂数学课,执教人Y教师为该校另一校区具有丰富经验的优秀教师,Y教师希望课堂充分体现学生的主体地位,培养学生的思考、推理、问题解决、数学交流和探究力,故授课内容选自于北师版课后阅读材料“斐波那契数列”.Y教师授课对象的选取为授课前三天随机抽取的一个高一班级,该班级共40个人,班级学习氛围浓厚,学习成绩优秀,学生乐于学习,思维活跃,男生的推理与探究能力略高于女生,学生在上课前一天被告知学习内容,有提前预习课后阅读材料“斐波那契数列”的相关知识.

2.案例分析

2.1 研究结果

Y教师将全班分为8个小组,每个小组5人呈圆形模式围绕大课桌坐下,便于小组内部交流.笔者反复观看录像带,罗列出课堂上两个主要的数学任务.表1为“数学任务1:报数游戏活动”,表2为“数学任务2:性质探究”,通过表格纵观整个课堂教师对数学任务的设置及学生对数学任务的实施.

表1

表2

2.2 任务分析

任务1的报数游戏取材于2009年福建省数学高考理科试题中的填空压轴题,Y教师为了降低任务难度,保证课堂的顺畅,将一个任务分解为2个子任务,用子任务11提示学生思考对象,加之PPT按规律呈现数字,学生只需要按照老师的步骤,跟着老师的思维,便可以顺利解决问题.任务1的设置看似十分“热闹”,调动了全班的学习积极性,实则从学生的认知参与程度来看,因教师“好心”搭建的子任务,任务1由高认知要求中的有联系的程序型降低为低认知要求中的无联系的程序型,教师“包办”学生的思维和推理,并告诉他们解答的程序,而一个低水平的任务不可能产生高水平上的参与与思考.对于Y教师设置的子任务12,学生也只需要对已经介绍过得游戏规则进行重述再现,属于记忆型任务,与所学知识无任何联系.

Y教师在引出斐波那契数列的概念后,让学生自主探究性质,再小组交流,最后教师使用投影仪让学生上台向全班陈述所得性质.探究过程之初,学生们不知如何处理这类问题,转而询问老师,然而,Y教师没有向学生提示任何解决问题的方向,而是暗示学生观察斐波那契数列的定义,思考等差等比数列的性质讨论.再过了几分钟有学生开始动笔想到了探索方向,这充分调动了学生“创新”的欲望,学生要完成任务,就必须运用发散性思维、批判性思维、创造性思维等高层次数学思维,学生主动探索,自我发现,自我纠正,从不同角度,用不同的知识与方法处理实际问题、完善问题的解决途径,把握斐波那契数列实质,揭示规律.

在学生上台投影小组所得性质时,Y教师不断要求学生解释说明他们是如何思考的,促进学生更深层次的意义理解,同时,也启发其他学生进一步思考,如生2、生5、生7都是在上一位同学的陈述中获得思路,进一步探讨完善或从其他角度寻找新的数列性质.

Y教师设置的任务2属于复杂的、非算法化的思维,要求学生探索和理解数学观念、过程的本质,任务包含了多种可获得的答案,不同答案体现了不同的数学思想和观点,如生1运用了观察法从特殊到一般,生4用代数法证明猜想,生5用几何直观证明性质,体现了“几何直观”的数学核心素养,生6运用了极限的思维方式去发现黄金比等重要结论.在有能力的学生示范了高水平的解答行为,及Y教师给学生的思维和推理搭建的脚手架,同学们所发现的性质由浅入深,层层递进.数学任务2所显示的种种特征都说明了任务2属于高认知水平中的做数学,是创造性的数学任务.

3.教学启示

Y教师把课堂交给了学生,学生也回馈给老师们意想不到的惊喜,获得专家老师的一致好评.通过“斐波那契数列”案例分析结合我国数学教学特点,可以获得如下教学启示.

(1)淡化形式,注重实质

新课程倡导合作学习,小组交流,笔者曾经听过一堂课,某数学老师为了强调合作学习,在一节课里安排同桌(或小组)交流的次数竟然高达20多次,这样的交流明显只是流于形式,并未有高层次的数学思考.教师应根据学生学习目标来配置相应的数学任务,并提供给学生足够的思考时间,适当给学生的推理和思维搭建脚手架,如教师可以通过评论、提问等方式维持学生对证明、解释或意义的强调,超越任务的表面特征,从任务所要求的思维类型去判断任务的认知水平.

(2)对教材给定内容进行调整与创新

根据学生的“最近发展区”,创造性的使用教材.如教材上的斐波那契数列出现在课后阅读材料中,书上仅介绍了兔子数列,进而引出“斐波那契数列”的概念,未做性质探究及通项公式的探讨,Y教师为了培养学生的问题解决、推理和数学探究的能力,对教材内容进行重整改进,使这堂课生动饱满,每个学生都得到了不同的收获与发展.

(3)适当增加高认知水平的数学任务,开放思维

在中国,会听到这样的声音:某个知识,理解了的,你可以去做,没理解的,只要记住了,你也可以去做,在做的过程中会逐步理解.这就是所谓的记忆型理解——先记忆后理解.现需转变这样的数学观念,从学生可持续发展的角度思考,教师在课堂上应减少记忆性的学习,多增加一些复杂的,非常规性的、抽象的、开放性的、创造性的数学任务,这些任务需要学生相当大的认知努力才能完成,克服思维定势及思维固着,开放学生思维.

(4)加强教学反思

无论是对听课者还是授课者,数学任务框架都是一个很好的教学实践透镜.它真正关注了学生在课堂上实际做些什么、想些什么及学到些什么,教师从认知要求的角度来分析自身的教学,有利于教师对教学进行改进,更好的发挥高认知水平数学任务的作用.

[1]M.Stein.实施初中数学课程标准的教学案例[M].李忠如译.上海:上海教育出版社,2001:3-30.

[2]袁志玲,陆书环.高认知水平教学任务的特征分析[J].数学教育学报.2006,15(4):26.

[3]姚静,李德梅.创造性数学任务的特征与实例——与新课程实施者的对话[J].数学通报.2006,45(6):15.