函数的性质 导参的法宝

函数的性质 导参的法宝

■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟

函数问题中求参数的值或参数范围在高考试题中经常出现,也是同学们学习的难点,解这类题时常常用导数的几何意义、函数的奇偶性、函数的单调性、函数的极值、函数图像的对称性、函数的零点导出参数的值或范围。

一、用导数的几何意义“导”参数

(2 0 1 6年高考新课标Ⅱ卷理数)若直线y=k x+b是曲线y=l nx+2的切线,也是曲线y=l n(x+1)的切线,则实数b =_____。

设直线y=k x+b与函数y=l nx+2的图像相切于点P1(x1,y1),与函数y=l n(x+1)的图像相切于点P2(x2,y2),故

又y1=l nx1+2,y2=l n(x2+1),所以

设直线y=k x+b与函数y=l nx+2的图像相切于点P1(x1,y1),与函数y=l n(x+1)的图像相切于点P2(x2,y2)。

故y1=l nx1+2,y2=l n(x2+1)。

因为点P1(x1,y1)在切线y=k x+b上,所以

由P2(x2,y2)在切线上得y-l n(x2+1),这两条直线表示同一条直线,故：

所以b=l nx1+2-1=1-l n2。

点评：解法1是分别求出两个函数的导数,设出两个切点的坐标,利用导数得到两个切点之间的关系,进而求出切线斜率,求出b的值。解法2是分别求出两个函数的导数,设出两个切点的坐标,由点P1、P2都在切线上,得出关于x1、x2的方程组,解出x1,求得k的值,从而求出b的值。

二、用函数的奇偶性“导”参数

设a∈R,函数f(x)=ex-ae-x的导函数为f'(x),且f'(x)是奇函数,则a=( )。

A.0 B.1 C.2 D.-1

解法1：因为f(x)=ex-ae-x,所以f'(x)=ex+ae-x。由于f'(x)是奇函数,所以ex+ae-x+e-x+aex=0恒成立,即(a+ 1)(ex+e-x)=0恒成立。

解得a=-1,故选D。

解法2：因为f(x)=ex-ae-x(x∈R),所以f'(x)=ex+ae-x(x∈R)。

由于f'(x)是奇函数,故f'(0)=0,解得e0+ae-0=0。

解得a=-1,故选D。

点评：由于f'(x)是奇函数,可利用f'(x)+f'(-x)=0求参数a的值。若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)=0。

三、用函数的单调性“导”参数

(河南郑州一中2 0 1 6届高三文科考前冲刺)已知函数∈R,在区间[0,1]上单调递增,则实数a的取值范围是______。

由f'x()＞0解得e2x＞a,即x＞此时函数单调递增;

由f'x()＜0解得e2x＜a,即x＜此时函数单调递减。

综上,实数a的取值范围是-1,1[]。

点评：若函数在已知区域单调,求参数的范围,常常转化为导数恒成立问题来求解。求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解,注意要对a进行讨论,把a分为a＞0,a=0,a＜0三种情形,当a＞0时,注意所求函数的单调区间与所给区间之间的关系,当a＜0时,注意函数值的符号。

四、用函数的极值“导”参数

(陕西省黄陵中学2 0 1 6届高三模拟)若函数f x()=xl nx-a x2有两个极值点,则实数a的取值范围是( )。

C.(1,2) D.(2,e)

解析：由题意得f'x()=l nx+1-2a x =0有两个不相等的实数根,故f″x()=必有解,则a＞0,并且0。解得选A。

点评：已知极值求参数,若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f'(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反。使f'(x) =0的点未必是极值点,但是可导函数的极值点处的导数必为0。

五、用函数的对称性“导”参数

设f(x)=2x3+a x2+b x+1的导数为f'(x),若函数f'(x)的图像关于直线x=称,且f'(1)=0,求实数a、b的值。

解析：依题意得f'(x)=6x2+2a x+b。又函数f'(x)的图像关于直线x=1对称, 2所以,解得a=-3。

由f'(1)=0,得b=0。

点评：三次函数的导函数恰为二次函数,利用二次函数a x2+b x+c=0(a≠0)的对称轴为可求解。

练一练：

(2 0 1 6年高考新课标Ⅰ卷改编)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点,则实数a的取值范围是_____。

参考答案：(0,+∞)。

(责任编辑 徐利杰)