逆用求导法则 合理构造函数

逆用求导法则 合理构造函数

■湖北省武汉市黄陂区第六中学 梅 磊

构造函数求解不等式问题是一类极富思考性和挑战性、具有相当深度和难度的重要题型,备受各类考试命题者的青睐,频频出现在各类考试试卷中,它是考查同学们数学能力和素养的极好素材。解决此类问题的关键在于逆用求导法则,合理构造函数,下面通过几道例题说明常见的构造函数的类型与方法。

1.利用和差函数求导法则构造函数

(1)对于不等式f'(x)+g'(x)＞0,构造函数F(x)=f(x)+g(x)。

(2)对于不等式f'(x)-g'(x)＞0,构造函数F(x)=f(x)-g(x)。

特别地,对于不等式f'(x)＞k(k≠0),构造函数F(x)=f(x)-k x。(2 0 1 5年福建卷理科第1 0题)设定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数为f'(x)满足f'(x)＞k＞1,则下列结论中一定错误的是( )。

解析：设F(x)=f(x)-k x,则F'(x)= f'(x)-k＞0,所以F(x)在R上单调递增。

2.利用积商函数求导法则构造函数

(3)不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)＞0,可构造函数F(x)=f(x)g(x)。

(4)不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＞ 0,可构造函数F(x

(2 0 0 4年高考湖南卷理科第1 2题)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数。当x＜0时,f'(x)g(x)+ f(x)g'(x)＞0,且g(-3)=0。则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )。

A.(-3,0)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0,3)

C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

D.(-∞,-3)∪(0,3)

解析：设F(x)=f(x)g(x),易知F(x)为奇函数。

由x＜0时,F'(x)＞0且F(-3)=0,得F(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上为增函数,且F(3)=-F(-3)=0。

所以不等式F(x)=f(x)g(x)＜0的解集为(-∞,-3)∪(0,3),选D。

上述(3)(4)都是利用积商函数求导法则的一般情况,但在考试中,g(x)往往是具体函数,所以还有一些常见的利用积商函数求导法则的特殊情况,如下面(5)～(2 2)。

(5)对于不等式x f'(x)+f(x)＞0,构造函数F(x)=x f(x)。

(6)对于不等式x f'(x)-f(x)＞0,构造函数F(x

(2 0 1 5年全国Ⅱ卷理科第1 2题)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x＞0时,x f'(x)-f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )。

A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)

D.(0,1)∪(1,+∞)

(7)对于不等式x f'(x)+n f(x)＞0,构造函数F(x)=xnf(x)。

(8)对于不等式x f'(x)-n f(x)＞0,构造函数(2 0 0 9年高考天津卷文科第1 0题)设函数f(x)在R上的导函数为f'(x), 2f(x)+x f'(x)＞x2,下面的不等式在R上恒成立的是( )。

A.f(x)＞0 B.f(x)＜0

C.f(x)＞x D.f(x)＜x

解析：设F(x)=x2f(x),则F'(x)= 2x f(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+x f'(x)]。

当x=0时,由2f(0)+0f'(0)＞02=0,得f(0)＞0。

当x＞0时,2f(x)+x f'(x)＞x2＞0, F'(x)＞0,F(x)单调递增。从而F(x)＞F(0)=0,即x2f(x)＞0,故f(x)＞0。

当x＜0时,2f(x)+x f'(x)＞x2＞0, F'(x)＜0,F(x)单调递减。从而F(x)＞F(0)=0,即x2f(x)＞0,故f(x)＞0。

综上所述,f(x)＞0。选A。

(9)对于不等式f'(x)+f(x)＞0,构造函数F(x)=exf(x)。

(1 0)对于不等式f'(x)-f(x)＞0,构造函数F(x)

设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),f'(x)+f(x)＞0,则对于任意正数a,必有( )。

A.f(a)＞eaf(0) B.f(a)＜eaf(0)

解析：设F(x)=exf(x),则F'(x)=,所以F(x)在R上单调递增。

又a＞0,所以F(a)＞F(0),即eaf(a)＞e0f(0),所以选D。

(1 1)对于不等式f'(x)+k f(x)＞0,构造函数F(x)=ekxf(x)。

(1 2)对于不等式f'(x)-k f(x)＞0,构造函数

设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),2f'(x)＞f(x),则( )。

A.3f(2l n 2)＞2f(2l n 3)

B.3f(2l n 2)＜2f(2l n 3)

C.3f(2l n 2)=2f(2l n 3)

D.3f(2 l n 2)与2f(2 l n 3)的大小不确定

(1 3)对于不等式f'(x)+k x f(x)＞0,构造函数F(x)=exkf(x)。

(1 4)对于不等式f'(x)-k x f(x)＞0,构造函数

设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),f'(x)＜2x f(x),则( )。

A.e5f(2)＞f(3)

B.e5f(2)＜f(3)

C.e5f(2)=f(3)

A.e5f(2)与f(3)的大小不确定

(1 5)对于不等式f'(x)+l na f(x)＞0,构造函数F(x)=axf(x)。

(1 6)对于不等式f'(x)-l na f(x)＞0,构造函数

设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),f'(x)＞l n2f(x),则( )。

A.2f(-2)＜f(-1)

B.2f(1)＞f(2)

C.4f(-2)＞f(0)

D.2f(0)＞f(1)

(1 7)对于不等式f(x)+f'(x)t a nx＞0,构造函数F(x)=s i nx f(x)。

(1 8)对于不等式f(x)-f'(x)t a nx＞ 0,构造函数

(1 9)对于不等式f'(x)-f(x)t a nx＞0,构造函数F(x)=c o sx f(x)。

(2 0)对于不等式f'(x)+f(x)t a nx＞ 0,构造函数

设f(x)是定义在上的函数,f'(x)是它的导函数,f'(x)＜f(x)· t a nx,则( )。

B.2 c o s1f(1)＞

解析：设F(x)=c o sx f(x),则F'(x)= f'(x)c o sx-f(x)s i nx=c o sx[f'(x)-f(x)t a nx]＜0,F(x)在上单调递减。

利用导数构造函数解不等式问题在各类的考试中常考常新,除上述这些常见的构造函数的类型之外,还会出现其他构造函数的试题。解题的关键依然是逆用求导法则,合理构造函数,不管哪种构造,都需要结合问题的外形结构特征与求导法则进行合理构造,向着有利于判断函数单调性方向构造,正所谓“求导诚可贵,构造价更高”。

(责任编辑 徐利杰)