浅谈农村九年义务教育初中数学三角函数的实际应用

涂昌因

【摘要】三角函数作为初中数学学科中最重要的一部分内容，对学生思维认知水平的提高起着重要的作用。在初中数学中，三角函数是教学中最难攻克的环节，也是为后期学习打下基础的主要环节。三角函数是数学中比较抽象并难以理解的内容，初中生容易在学习三角函数的过程中因为过于困难而放弃学习，致使后面的学习严重跟不上教学进度。本文从三角函数数形结合解题举例、农村九年义务教育初中数学三角函数的实际应用与三角函数简化公式出发，对课题进行阐述。望能为相关教学工作带来实质性的建议。

【关键词】义务教育；初中数学；三角函数应用

在初中课程中，三角函数是重中之重，有效把握三角函数图像与性质是处理数学问题的关键所在。在学习三角函数的过程中，有诸多学生仍对图形解题不能深刻的理解与掌握，这就需要数学教师们更为全面的考虑学生的情况，因材施教。数学教学中最主要就是利用数形结合的方式来解决图形问题，而三角函数这一章内容又需要大量使用数形结合。

一、三角函数数形结合应用理念

数形结合是数学教学中的一条重要接入点，数形结合的思想促使数学在实践中的应用范围宽广，利用抽象的数学概念与数量关系直观具体的展示出图形想要表达的意思。具体的图形转换为代数也更有助于定量分析，从而也证实了数学的严谨性。数与形的结合、灵活的转换，不单可以拓展教学研究的思路，还能让一些看似困难的题目变得清晰，从解题的过程中还能发现解题的新技巧，从中找到可能忽视的条件。数与形是互相矛盾的存在，但同时又是辩证统一的。数形结合是数学中一种重要思想，在初中函数解题中是主要解决办法。我们可以参考历年中考试卷，几乎可以发展在很多三角函数题中，数形结合应用十分宽泛，在很多时候都可以使用函数图形对题目加以分析，从而降低题目难度[1]。有效使用数形结合解决问题，能让抽象的事物变得更为具体，让解题事半功倍。

数形结合一直以来是数学研究中的重要思路与方式，我们通过数形结合的方式可以将一些较为抽象的数学语言用一种直观的表达形式表现出来，以达到让抽象思维与具体思维相结合，让解题变得更为简便。初中三角函数教学中，数形结合可以作为一种辅助手段来帮助教师与学生解决问题。

二、农村九年义务教育初中数学三角函数的实际应用

（一）用三角函数图形解方程

数形结合在初中三角函数解题中的应用表现在两个方面：定性分析与定量分析，这两种情况都可以利用数形结合的方式来辅助解题步骤。下面就举出一个题目来诠释数形结合在解题中的应用。

例题：已知方程|X2_4X+3|=m，试分析在不同m取值情况下，方程根的个数[2]。

解题分析：这样的题目，如果不借助函数图形的话，就需要针对函数f（x）=|X2_4X+3|进行X不同取值下，f（x）对应函数值的讨论，要分很多情况，讨论复杂容易出错。由图1函数图形我们可以看出，方程的根是直线y=m与函数f（x）=|X2_4X+3|图形的交点。不同m取值就对应方程根的不同个数，画出图形之后，将y=m进行上下平移，可以看出，在m<0时，二者没有交点，m=0时，二者有4个交点，在m=1时二者有3个交点，在m>1时，二者没有交点，这样就很容易借助图形来得到题目的正确答案。

从中可以发现，一些函数的题目在使用数形结合方式之后，就变得简单许多。比方说这道题，通过方程与函数的图形结合转换，就获得了新的解决思路，从而能够使题目得到快速的解决。

（二）用三角函数证边（角）之等、和、差关系

如图2，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD与点E，∠1=∠2。（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证AM=DF+ME。

解析：（1）在菱形ABCD中由∠1=∠ACD=∠2得CM=DM。又ME⊥CD得BC=CD=2CE=2；（2）记菱形ABCD边长为a，由（1）可得，从而，又在中， ，故AM=DF+ME 。

在平面几何的证明中，最让学生感到不解的是如何添加辅助线。本体欲证明线段AM之长等于另两线段DF与ME之和，通常采用截长补短的方法，因题中条件有F为边BC的中点，所以通过中点倍长法，即可通过延长DF交AB的延长线于G证明即可。这种方法具有一定的解题技巧，如果利用锐角三角函数，用参数表示图形中的各条线段，能够确定线段之间的关系，精简明了。

（三）用三角函数求图形面积

如图3，点D是△ABC边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不于点B重合），以BD、BF为领边作平行四边形BDEF，又AP（）BE（点P、E在直线AB的同侧），如果，那么△PBC的面积与 的面积之比为0。

解析：连接EP，可得E、F、P三点共线，由条件设AB=EP=4a，BD=EF=a，则PF=3a，过点A、P分别作AM⊥BC，PN⊥BC （见图4），垂足M、N记∠ABC=∠PFC=a，则 AM=4asina，从而△ PBC的面积与△ABC面积之比为，故正确答案为D。

在初中阶段，有关三角形的面积问题，一般分为两类，一种是类似三角形的面积比等于相似比的平方，第二种是同底（或等高）的三角形面积比等于高（或底）之比。本题所求问题是同底的两三角形面积之比，重点是要计算它们的高之比。本题求得E、F、P三点共线后，发现AB与FP之间不仅存在着位置关系，而且存在着数量关系，从而选择三角函数表示。

三、三角函数的简化公式

在三角函数的学习过程中，简化公式是一大难点。无论是从教材还是教师口中都曾提及一个理念：奇变偶不变，符号看象限，但初中生对此的理解却十分有限。因此，在此提出一种情况对三角函数的简化公式进行理解[3]。

形如180°+α（或π+α）简化为α型。如图5所示，需要简化的角为180°+α，可由角α逆时针旋转180°得到。

由图中可知，旋转后的角在第三象限，且三角形A0X1与三角形A'0（-Y1）为全等三角形，所以 的坐标为（-X1，-Y1）。由任意角的三角函数值可得：

四、结语

综上所述，我们可以发现三角函数具有很高的综合性以及灵活性，能促使学生更加便捷的使用。初中数学中的三角函数是数形结合的完美体现，学生很容易在数形结合的引导下，顺利的解决问题，让学生将具体思维与抽象思维向结合，进一步拓展学生的空间想象力。

参考文献

[1]朱文英. 三角函数在建筑力学中的应用与反思——以《三角函数的应用》一课为例[J]. 黑龍江科技信息，2016，21：22-23.

[2]林义禄. 浅谈中职数学与初中数学教学的衔接措施[J]. 科技信息，2011，15：311+301.

[3]吴舒静. 初中数学数形结合教学策略分析[J]. 赤子（上中旬），2015，22：278.