矩形致密油藏直井体积压裂不稳态压力半解析方法

王家航, 王树平, 王晓冬, 董文秀

( 1. 中国地质大学(北京) 能源学院,北京 100083; 2. 中国石化石油勘探开发研究院 海相油气藏开发重点实验室,北京 100083)

矩形致密油藏直井体积压裂不稳态压力半解析方法

王家航1, 王树平2, 王晓冬1, 董文秀1

( 1. 中国地质大学(北京) 能源学院,北京 100083; 2. 中国石化石油勘探开发研究院 海相油气藏开发重点实验室,北京 100083)

基于点源函数理论和边界元思想，建立一种可用于致密油藏直井体积压裂改造非稳态压力分析的半解析模型。模型考虑改造区与未改造区储层非均质性的影响，在均质条件下与解析解进行对比与拟合，并应用已建立的模型对改造区与未改造区渗透率差异性、体积压裂改造程度、改造面积和形态、主裂缝长度及导流能力等参数进行讨论。结果表明：随着改造区内渗透率的增大，压力损耗减小，受改造区面积的影响，单一提高改造区的地层渗透率对整体压力影响较小；相同的储层改造体积情况下，有效裂缝体积较大的开发效果最好。与常规压裂相比，体积压裂井的开发效果主要受主裂缝长度的影响而非导流能力。

点源函数； 半解析； 矩形致密油藏； 储层改造； 渗透率差异性； 导流能力； 裂缝半长

0 引言

近年来，随着能源市场需求的不断增大及压裂技术的长足进步，致密油、致密气、页岩气等非常规油气藏开采已经成为全球热点[1-5]。作为典型的非常规资源，致密油藏有良好的流体物性和较差的储层物性特征。该类油藏的渗透率通常低于1×10-3μm2，孔隙度低于10%[6]，采用常规压裂改造措施难以满足工业生产需求，因此需对这类油藏进行大规模的体积压裂[7-9]。相比于常规压裂，体积压裂可在井筒附近形成一定范围的改造缝网，从而降低渗流阻力，增大泄流面积，提高单井产能[8,10]。体积压裂改造模型研究的难点主要在于如何正确描述储层的改造程度、形状及合理解决改造区与未改造区边界处的耦合问题。

目前，人们在改造体积的特征及对井的影响方面进行研究。Ketineni S P[11]采用等效椭圆流动模型替代体积改造区域进行模拟，储层被近似为复合天然裂缝区域，内区为体积改造区域，外区不受改造的影响。他还利用马修斯修正函数解决椭圆渗流问题，并给出流度比、扩散因数、储容比、窜流因数等参数的影响。该模型复杂，且不能准确描述主裂缝几何形态。Zhao Y L等[12]将体积改造区域描述为圆形，从而简化模型，并给出考虑体积压裂影响的不稳态压力特征。Jiang R等[13]对致密储层的产量递减进行分析，建立的复合模型的压裂改造区域被考虑为单孔介质，限制模型的应用范围。刘雄、姜龙燕等[14-18]基于渗透区域分形和动边界法，建立致密油藏直井体积压裂的非稳态产能模型，给出分形系数、启动压力梯度、改造半径等参数对产能的影响。分形模型虽能较好地描述裂缝的空间展布，却不能对压力的传播进行客观描述及实现对人工裂缝参数的优化。

研究成果主要存在的缺陷：一是体积压裂的改造区域及地层被考虑为圆形，虽然可对模型进行简化，但对那些河道沉积形成的条带状储层是不准确的，且由于人工主裂缝狭长，体积改造区域应近似为椭圆或者矩形；二是体积压裂造成的地层渗透率差异性亦未考虑。笔者将体积改造区域分为内外2个矩形区，内区以经典的Warren-Root双重介质模型替代，外区为未受改造的普通均质地层。将格林函数与边界元的思想结合，将内外区离散为多个矩形区块，每个区块均质、各向同性。该方法同时具备数值模拟及解析2种方法的优点：一，与数值模拟方法相比，不仅可以处理复杂的渗流问题，且大大减少网格划分的数量，精度高；二，与解析方法相比，可以有效处理不同属性区块的边界耦合问题，计算速度快，应用范围不局限于本模型。

1 有限导流垂直裂缝Green函数

在长为xe、宽为ye、高为h的箱形封闭均质地层中有一有限导流垂直裂缝井(见图1)，在位置(xw、yw)处产生一条板状横切垂直裂缝，裂缝的高度等于储层厚度。若裂缝以总流量qref产出常黏度微可压缩流体，引发地层产生不稳态Darcy渗流。

图1 矩形油藏垂直裂缝示意Fig.1 Sketch for a well with vertical fracture in rectangular reservoir

定义无量纲压力pD、无量纲时间tD、无量纲导流能力cfiD、无量纲流量qwiD及其他无量纲量为

其中，K1为地层渗透率，可取地层离散后的最小值；Kf为主裂缝渗透率；pi为原始地层压力；p为储层任意点处压力；wf为主裂缝宽度；μ为流体黏度；B为流体体积因数；t为延续时间；φ为储集层孔隙度；ct为综合压缩因数；Lf为特征长度，可取主裂缝离散n段后的最大半长；x、y为平面坐标；xwi为裂缝第i段中心；ywj为裂缝第j段中心；xfi为裂缝第i段半长；qwi为裂缝第i段流量。

对于单一无限导流垂直裂缝情形，通过Green函数求解和Laplace变换，其压力分布[19]可写为

(1)

(2)

式(1-2)中：s为Laplace变量，上标“～”为Laplace变换量；“±”为f(a±b)=f(a+b)+f(a-b)。

对于单一有限导流垂直裂缝情形，基于Riley M F[19]的结果，压力分布可写为

(3)

(4)

在式(1)中，引入新的参数u将模型扩展到Warren-Root双重介质模型中代替体积压裂产生的微裂缝系统[20-21]，即

(5)

(6)

式(5-6)中:s为均质油藏;sf(s)为体积压裂产生的微裂缝系统。

2 物理模型

考虑矩形致密油藏，一口体积压裂直井定产量生产，体积压裂造成周围储层物性发生改变，地层渗透率变大。天然裂缝、剪切裂缝相互交错，形成一定的体积改造缝网，流体的渗流方式发生改变。根据储层物性条件，将整个渗流区分成2个区域(见图2)：内区为人工主裂缝及缝网改造区，采用Warren-Root模型描述该区域的裂缝展布和渗流情况；外区由于没有受到体积压裂的影响，视为普通均质地层。模型的基本假设条件：

(1)整个渗流区域封闭，内区及外区各向同性；

(2)生产井定产，忽略井筒储集及表皮的影响，流体、岩石微可压缩；

(3)以裂缝导流为主，渗流遵循Darcy定律，为等温渗流过程；

(4)忽略重力和毛管力影响。

图2 矩形油藏直井体积压裂改造示意

3 模型求解

3.1 油藏分区

将内区和外区进一步离散为12个网格(见图3)，每个网格均质、各向同性。内区与外区的油藏参数不同。整个油藏长为xeD，宽为yeD。

图3 矩形油藏体积压裂改造网格模型

3.2 内外边界Green函数

假设一个Block中有n+m个(内、外)边界源，当所有边界源同时生产，在储层任意位置MD(xD,yD)处产生的无量纲压力降，等于单个边界源独自工作产生的无量纲压力降之代数和。由于每个边界源的总流量是时间函数，根据Duhamel褶积，在Laplace变换域有

(7)

其中，边界源函数Sα(MD,s)，α=wDi(内边界源)或α=eDj(外边界源)，有

(8)

(9)

其中,

(10)

(11)

式(8-11)中：β为各向异性因子；xPi为第i个内边界源的半长；yPj为第j个外边界源的半长；Kr为第r个Block的渗透率。

3.3 方程耦合求解

3.3.1 压力方程

裂缝各段及交界面处各段均有一个压力方程，共40个。

(1)第k个网格第i段裂缝的压力为

(12)

共4个方程。

(2)第k个网格第l段的界面压力为

(13)

(14)

(15)

共36个方程。

3.3.2 交界面处压力连续条件(基岩系统)

由于Blockk与 Blockk+1界面处压力相等、流量连续，因此外边界各段压力及流量(以Block 1为例)有

(16)

(17)

共18个方程。

3.3.3 井筒压力条件

忽略裂缝表面的压力损失，裂缝各段的流压近似相同，等于井底流压，即

(18)

(19)

共4个方程。

3.3.4 流量归一化条件

(20)

AX=b,

(21)

(22)

,

(24)

(25)

(26)

(27)

求解式(21)即可得到井底定产条件下的矩形致密油藏体积压裂直井的井底压力。

4 模型验证

Ozkan E等[20-21]采用点源函数方法，解析求解矩形油藏有限导流垂直裂缝的井底压力。为了验证文中模型的准确性，通过式(21)得到相应结果，模型基础数据见表1，对比结果见图4。由图4可知，采用文中模型计算得到的半解析解与前人解析解拟合效果良好。

表1 基础数据

注：n为裂缝段数；xwD为裂缝位置；xfD为裂缝半长；CfD为裂缝导流能力；xeDn为区域长度；yeDn为区域宽度；ω为储容比；λ为窜流因数

图4 垂直裂缝井无量纲井底压力及压力导数计算对比Fig.4 Calculation comparison for transient pressure and pressure derivative of a well with vertical fracture

5 典型曲线分析

采用Stehfest H[22]数值反演方法对式(21)进行求解，得到井底压力动态传播曲线图，并对其影响参数包括改造区与未改造区的渗透率差异性β、体积改造区面积及形态、改造程度储容比ω、窜流因数λ、裂缝导流能力CfD、裂缝的半长xfD等进行分析。

表2 模型基础数据

注：K为渗透率。

5.1 流动段划分

模型基础数据见表2。体积压裂直井流动阶段可划分为7个阶段(见图5)：(1)人工主裂缝与微裂缝系统的双线性流。(2)微裂缝系统中的线性流。(3)基质与微裂缝系统之间窜流，基质渗透率极低，压力降落极缓慢，基质与裂缝之间产生压力差，引发窜流，压力导数曲线下凹。(4)改造区内基质的径向流，压力导数曲线为0.5水平线。(5)耦合边界流阶段。当储层体积压裂改造较好时，内区微裂缝系统渗透率远大于外区普通地层，内区流体迅速到达井筒，而后者不能提供足够的流体供应，压力及压力导数曲线上扬，类似弱补给或者封闭边界特征。(6)未改造区地层径向流。(7)封闭边界拟稳态流，压力及压力导数曲线呈45°上扬。

5.2 影响因素分析

5.2.1 渗透率差异性

“当务之急是加强规章制度建设，使‘粮食银行’在统一制度和规则下运行。”祝跃华认为，应从国家层面总结各地经验，针对“粮食银行”存在的风险漏洞，建立健全规章制度，使其有章可循、规范运作、健康发展。多位受访者认为，“粮食银行”经营业务涉及千家万户，遭遇粮食市场低迷行情，运行暴露出的多重风险值得关注，亟待出台政策引导和规范。

渗透率差异性对井底压力动态传播的影响分别见图6-8。由图6-7可知，随着储层整体渗透率的增大，无量纲压力下降，相同产量情况下的压力损耗减小，晚期边界流发生的时间变早。储层改造区内渗透率差异性的影响类似于整体渗透率，但相对较小。由图8可知，随着内、外区渗透率差异性的增大，外区地层径向流动段的持续时间逐渐变短直至消失。这是由于内区微裂缝系统渗透率远大于外区普通地层的，后者不能提供足够的流体供应，类似弱补给或者封闭边界特征。因此，在体积压裂过程中，应尽可能加大压裂规模，提高储层整体的渗透率。

图5 体积压裂直井流动阶段Fig.5 Flow stages of volume fractured vertical wells

5.2.2 体积压裂改造程度

储层改造程度对井底压力动态传播的影响见图9-10。由图9-10可知，储容比和窜流因数主要影响改造区内基质与微裂缝系统窜流发生的程度和时间。储容比描述裂缝系统和基质系统弹性储容能力的相对大小。储容比越小，窜流现象越明显，无量纲压力导数曲线下凹越深；窜流因数对基质—裂缝窜流阶段有影响，反映基质中流体向裂缝窜流的能力。窜流因数越小，基质向裂缝流动引起窜流的时间越晚。

图6 受储层整体渗透率影响的井底压力及压力导数曲线Fig.6 Effect of reservoir permeability for the pressure and pressure derivative curves

图7 受内区渗透率非均质性影响的井底压力及压力导数曲线Fig.7 Effect of permeability heterogeneity in the inner region for pressure and pressure derivative curves

5.2.3 体积压裂改造面积及形态

图8 受外区渗透率影响的井底压力及压力导数曲线Fig.8 Effect of outer region permeability for pressure and pressure derivative curves

储层压裂改造面积及缝网改造形态对井底压力传播的影响见图11-12。由图11可知：随着储层压裂改造面积的增大，压力及压力导数逐渐变小。改造面积S越大，内区径向流持续的时间越长，压力传播到改造区外边界的时间越晚，外区地层径向流发生的时间也越晚。随着改造面积的增大，无量纲压力降低的趋势逐渐趋于平缓。这是由于单井的控制储量有限，无限制增大储层的改造面积意义不大，且增加施工的难度及费用。因此，在体积压裂设计过程中，应做好改造面积的优化选择。

由图12可知，在储层改造体积相同的情况下，正方形缝网的压力损耗低于矩形缝网的，且随着矩形缝网长宽比的逐渐增大，压力损耗增加。这是因为人工主裂缝的导流能力较大，早期的渗流主要发生在主裂缝及其附近的改造缝网，不受缝网形态的影响；随着开采时间的增加，压力波及范围逐渐增大直至缝网边缘，有效裂缝体积较大的储层垂向动用程度较好[23]。因此，在体积压裂设计中，不仅要选择最优化的缝网改造面积，缝网改造形态也是必须考虑的因素。

图9 不同储容比条件下的井底压力及压力导数曲线Fig.9 Pressure and pressure derivative curves for different storability ratios

图10 不同窜流因数条件下的井底压力及压力导数曲线Fig.10 Pressure and pressure derivative curves for different inter-porosity flow coefficient ratios

图11 不同储层改造面积条件下的井底压力及压力导数曲线Fig.11 Pressure and pressure derivative curves for different reservoir reconstruction areas

图12 不同缝网改造形态条件下的井底压力及压力导数曲线Fig.12 Pressure and pressure derivative curves for different shapes of reservoir reconstruction region

5.2.4 裂缝导流能力cfD

对于常规压裂，单一裂缝的导流能力是评价裂缝质量的重要指标，对油井生产动态指标影响很大。同样，体积压裂产生的人工主裂缝导流能力也直接影响最终的开发效果。不同裂缝导流能力条件下的井底压力及压力导数曲线见图13。由图13可知，随着导流能力的增大，双线性流的持续时间逐渐增大，线性流的持续时间减少，压力损耗降低。当无量纲导流能力大于300时，压力导数曲线不再发生变化，可以认为是无限导流裂缝。导流能力仅对早期的流动有影响，因此无限制的增加人工主裂缝的导流能力对井产能的提高有限。

5.2.5 裂缝半长xfD

不同裂缝长度条件下的井底压力及压力导数曲线见图14。由图14可知，裂缝的半长主要对早期双线性流、线性流及内区基质径向流有影响。裂缝的半长越大，即裂缝的穿透比越大，早、中期的压力及压力导数越小，压力损耗越低。对于致密油藏的体积压裂直井，与常规油藏相反，裂缝的半长较导流能力的影响更大。这是因为随着裂缝长度的增加，更多由体积压裂产生的微裂缝及储层被勾通，流体的有效泄流面积增大，产量增大。因此，在改造体积不变的情况下，应尽可能增大裂缝的穿透比。

图13 不同裂缝导流能力条件下的井底压力及压力导数曲线Fig.13 Pressure and pressure derivate curves for different fracture conductivities

图14 不同裂缝长度条件下的井底压力及压力导数曲线Fig.14 Pressure and pressure derivate curves for different facture lengths

6 结论

(1)矩形致密油藏体积压裂直井的流动阶段可划分为7个阶段，即人工主裂缝与微裂缝系统的双线性流；微裂缝系统中的线性流；基质与微裂缝系统之间窜流；改造区内基质的径向流；耦合边界流阶段与未改造区地层径向流和封闭边界拟稳态流。

(2)体积压裂造成缝网改造区与未改造区的渗透率差异性，随着缝网改造区内渗透率的增大，相同产量下的压力损耗减小，但单一提高改造区的地层渗透率对整体的压力影响有限。在体积压裂过程中，应尽可能提高储层整体的渗透率。

(3)储容比和窜流因数分别影响窜流发生的程度和时间。储容比越小，窜流现象越明显；窜流因数越小，窜流发生的时间也越晚。储容比仅对早期的压力有影响，储容比越大，压力损耗越小；窜流因数对窜流发生段的压力有影响，窜流因数越大，对应生产期的产量也越高。

(4)储层的改造体积并不是越大越好，在保证压裂措施工艺承受的范围内，压力的损耗最低是进行储层改造体积设计的首要目标。在相同的储层改造体积情况下，正方形的缝网较矩形的动用程度大，即有效裂缝体积较大的开发效果最好。

(5)与常规压裂相比，体积压裂井的开发效果主要受缝网长度即主裂缝长度的影响。在致密油藏直井的体积压裂设计中，要达到理想的压裂效果，在保证较大导流能力的同时，应尽可能增大人工主裂缝的长度。

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2016-12-28；编辑：关开澄

国家自然科学基金项目(51674227)

王家航(1988-)，男，博士研究生，主要从事油气田开发方面的研究。

TE348

A

2095-4107(2017)02-0103-11

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2017.02.011