用“反思”之匙，开“疑难”之门

范志文

【摘要】新课程标准中对空间与图形教学要求是学习有条理的思考与表达，感受公理化思想，发展空间观念.在多年的一线教学实践中，碰到了许多疑难问题，本文归纳了四种类型并进行了反思.

【关键词】空间与图形；疑难；反思

使用浙教版数学教材已有十余年的时间了，在经历课改的过程当中，教师们的教学思想和教学理念发生了一些实质性的转变，在教学当中有一些新的探索.在这些可喜的变化的同时，也真切地感受到新理念的实施的困难，在教学中碰到了许多新的疑难问题.

在“空间与图形”这块内容中，知识的呈现有“杂乱”的感觉，甚至有些不合时宜；一些知识点对学生要求过高，让学生感觉无从下手；数学语言的运用训练习题太少，导致学生使用数学语言论证时，条理不清，言不由衷；学生解题时，往往找不到突破口，或考虑不全面，欠缺临门一脚，如同一叶障目.

疑难一：不合时宜——教材编排顺序乱

新教材过早地出现几何论证推理，只不过把“证明”换成“说明理由”罢了.对初一学生来说，要求其规范缜密推理难度太大，但若不要求其规范缜密推理，会给后续学习造成隐患，因为习惯一旦养成很难改正；教材中有许多知识点出现在习题之后的现象，对应知识点还没学习，而习题中有相关要求.

案例1在七年级上册第七章和下册第一章中的课内练习和作业题就大量出现几何说理题，有的习题还有一定难度，如，七年级上册第七章第五节作业题第5题：如图，E是直线AC上的一点，EF，EG分别是∠AEB，∠BEC的平分线，求∠GEF的度数.然而，要在八年级下册才能学习证明的方法、步骤和推理过程，现却要求刚开始接触几何的七年级学生来说理，会不会过高一点呢？所以，从这一点上讲，说理过程成了七年级学生的难点.

案例2七年级下册在“三角形全等的条件”一节时，教材安排了充分的实践、探索和交流的活动，要求学生分别画出符合条件的三角形后，经过比较分析，再归纳出三角形全等的条件，这就需要“作三角形”的知识，才能进行一系列的实践活动，而“作三角形”的知识则是下一节的内容，如果按照教材的教学思路去教学时，学生显得茫然，不知所措.本节课的重点则发生迁移，转移到如何画三角形.这样学生对知识的理解呈现出一种“杂乱”的感觉，效果欠佳.此外，例2是学生第一次遇到的规范尺规作图题，等学生画好图后，也不知道这就是尺规作图法.因为尺规作图法的概念却在下一节“作三角形”才予以阐述，其编排顺序有点乱.

反思新教材编写时考虑了很多新课程的理念，如，探索图形的基本性质，丰富对空间图形的认识和感受，与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达，然而，教材中很多知识点、很多习题出现的时机不当，给人一种杂乱的感觉，教材的编排顺序欠妥，笔者建议有必要做一些调整.除去教材中的客观问题外，也从另一层面上對教师提出了更高要求，只有教师练好内功，提升自身素质，才能在碰到类似问题时，给学生一个合理的解释，对学生提出一个适当的要求，指引学生走向正确的方向，避免学生只知其然，不知其所以然的现象发生.

疑难二：无从下手——尺规作图难操作

新课程标准中要求能通过观察、实验、归纳、类比等方法获得数学猜想，并进一步给出证明或举出反例.在实际教学中，为了提高学生的动手实践能力，经常让学生动手操作，但学生操作往往需要较多的时间，其他的教学内容有时就完成不了，而且许多学生根本就不会操作.尺规作图中，标准的统一、作图工具的选择，也会让学生无所适从.

案例1“勾股定理（2）”中，画三个边长分别为3 cm，4 cm，5 cm；5 cm，12 cm，13 cm；8 cm，15 cm，17 cm的三角形，学生在实际画图中画边长为8 cm，15 cm，17 cm的三角形许多学生有困难，同时，也不容易操作.

案例2“等腰三角形的判定”中，先让学生画一个有两个角相等的三角形，没有要求用什么工具，学生也会有疑惑.

案例3作一个直角边长为a，斜边长为c的直角三角形中的直角应怎样作，教材也没有明确的要求，而参考答案中的作法是先作AC⊥BC，但作垂线不属于基本作图.

反思针对上述问题，教师在设计操作题时要充分考虑可操作性，让学生课前准备相关材料来节省时间；课堂教学中采取分组学习的形式，小组成员互帮互学；有些只有数据不同的操作题，让学生分组操作得出结论，共享学习成果.在尺规作图中，教师要着眼于让学生积累一定的活动经验并在掌握了一定图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，探究一些有关三角形、四边形的基本性质，不要过分地在意一些细节.

疑难三：言不由衷——语言叙述不严谨

七、八年级数学教材和作业的设计中对简单推理的训练不多，导致许多学生的条理性不清楚，在使用规范的数学语言表述论证的过程中，感到言不由衷，表达不准确.

案例1结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”用几何语言叙述时，很多学生叙述成“因为CD是△ABC的中线，所以CD等于AB的一半”，漏了直角的条件.

案例2已知：如图1，∠A=∠CDF，∠C=∠E，且AD=BF，请说明AE=DC.很显然这里要先说明△AEF≌△DCB，学生在叙述两个三角形全等时，会把AD+DF=BF+DF作为全等的条件，表述上欠规范.

案例3证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”时，如，已知：如图2，在△ABC中，∠C=∠B.求证：AB=AC.学生已学过等腰三角形的三线合一，因此，作辅助线时学生就会出现过点A作BC的中垂线AD，垂足为D.又如，已知：如图3，AB=AC，∠C=∠B，则BD=CD，请说明理由.有许多学生这样作辅助线：连接AD使AD平分∠BAC.学生在叙述辅助线时经常出现不规范，这样的例子举不胜举.

反思新课标指出让学生体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想.显而易见，数学语言的熟练准确运用是对学生的基本要求.数学语言有自身的简洁之美，能充分训练学生的逻辑思维能力，因此，教师要重视学生叙述证明过程的练习，加强对图形性质的格式化训练，如，运用性质说明理由时，一定先弄清条件；强调说理过程中的每一步都有理有据；熟记性质定理等等.为了让学生在证明过程中能完整地有条理地表述，教师要多尝试.

疑难四：一叶障目——解题思路不清晰

在空间几何图形中，需要一定空间想象能力，具备图形间的相互转化能力，而在实际教学中会发现，一些学生在分析的过程中局限于现实生活，受困于经验不够，能力不足.常常被遮挡了双眼，影响了解答的准确性和全面性.

案例1一个台阶如图所示，阶梯每一层高20 cm，宽40 cm，长50 cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短的路程是多少？

解按照直棱柱的表面展开图知识，最短距离为

AB=502+（20+40+20+40）2=130（cm），

但在作业中却出现了

AB=50+（40+40）2+（20+20）2=50+405（cm）.

事后，我问了这名学生，他说：“是沿着侧面走过来的.”

案例2（1）有一个立方体纸盒，立方体的棱长为2 cm，在A处有一只蚂蚁，在B处有一粒蜜糖，蚂蚁想吃到蜜糖，所走的最短路程是多少？

解只要将1平面和3平面展开，根据两点之间线段最短，可知从A到B最短路程就是线段AB=25 cm.

（2）有一个长方体纸盒，长方体的长为2 cm，宽为3 cm，高为1 cm，在A处有一只蚂蚁，在B处有一粒蜜糖，蚂蚁想吃到蜜糖，所走的最短路程是多少？

解分为3种情况讨论知：

将1平面和2平面展开，可知从A到B路程是线段AB=20 cm；

将1平面和3平面展开，可知从A到B路程是线段AB=26 cm；

將2平面和5平面展开，可知从A到B路程是线段AB=18 cm.

两道题都属于蚂蚁爬的问题，都是通过直棱柱的表面展开图来求最短路程.在教学立方体时，由于六个面都是正方形，所以就把三种情况归结为一种情况，并未做分类讨论，从而导致了将立方体改为长方体时，学生也未进行分类讨论，学生还是想当然地认为最短路程还是将1平面和2平面展开.

案例3如图，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=6 cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC=cm2.

刚开始我认为用直接法来完成，可发现用直接法完成，学生在计算上存在着很大的困难.于是我想到了代数中有特殊值代入法，那么几何中是否也可以有这种特殊点代入法呢？

由于点E为AB边上的任意一点，所以将点E转化为特殊的点，即AB边上的中点或运动到A点或B点，这时问题就容易解决了，学生也容易理解.

反思新课标中要求学生学习平移、旋转、对称的性质，学会分类、转化、归纳，欣赏体验变换在生活中的应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念.这就要求教师具备处理教材的能力：适当地增补说明，如，案例1中要对图形做一个补充规定，不考虑从侧面的路径；内容的补充扩展，如，案例2中，就要补充长方体的题型，利用第二节课进行实物演示，让学生体会到不管是立方体还是长方体，都是三种情况，必须先做分类讨论，再进行选择；解题技巧的归纳，如，案例3中，常规解法存在运算量大、运算复杂、学生难掌握的问题，采取特殊法，问题就迎刃而解了，但需用强调的是此种解法只适用于选择题和填空题中，而不适用于解答题.

新课程改革具有长期性、复杂性和艰巨性，因而，在教学中我们碰到疑难问题远不止这些，需要大家的共同努力.只要全身心地投入，正视问题，研讨解决疑难问题的方法，办法总比困难多.