数学归纳法的原理、推广

丁颖

摘 要：数学归纳法是一种常用的论证方法， 归纳公理和最小数原理是数学归纳法的理论依据。将数学归纳法进行推广可以看作是传统的数学归纳法的扩充，从而使对数学归纳法的应用范围更加广阔。

关键词：数学归纳法 归纳公理 最小数原理 归纳奠基 归纳递推

一、数学归纳法的原理

1.意大利数学家C.皮亚诺（C.Peano 1858-1932 ）在1889年发表《算术原理新方法》，建立了自然数的公理体系，其中第五条公理是归纳公理。

归纳公理：自然数的某个集合若含1，而且如果含1个自然数a，就一定会含a（a=a+1，即a的后继），那么这个集合含全体自然数（现代的数学理论中认为自然数包括0）。

最小数原理：设M是自然数集的任一非空子集，则必存在1个自然数m∈M，使对一切n∈M，都有mn。

注：这个原理说明自然数集N的任一非空子集M都有最小数。

2.自然数的归纳公理及最小数原理证明了数学归纳法的正确性，数学归纳法是证明关于自然数n的无限多个命题的重要方法。下面给出数学归纳法的两种基本形式。

第一数学归纳法：已知一个与自然数有关的命题，如果

（1）当时，成立；

（2）假设时，成立，若成立，

那么命题对所有的自然数n都成立。

证明：（反证法）假设存在自然数n使命题不成立，设这些自然数组成的集合为M且非空，根据最小数原理，M中存在最小数m，显然m≠1，若m=1，则，而由条件（1）知成立，与已知矛盾。故m≠1，知m≥2，，又因为m是M中的最小者，于是m-1使成立，由条件（2）可知也是成立的，与不成立矛盾，故对所有自然数都成立。

第二数学归纳法：已知一个与自然数有关的命题，如果

（1）当时，成立；

（2）假设时，成立.若也成立，

那么命题对所有自然数都成立。

证明：设使成立的自然数集合为M。因为成立，即，又因为成立，能够得到成立，所以若，其后继元。则M=N.故对所有自然数都成立。

注：在解决实际问题时，条件（1）不一定从n=1开始，这时只要将n=1换成n=n0即可，例如：证明多边形的内角和，n=1时不符合实际，故应从n=3时开始论证。有时条件（1）验证的n不止一个，甚至多个，在此就不举例了，故对实际问题要具体问题具体分析。

数学归纳法的中心思想：用有限次的验证和一次逻辑推理，代替无限次的验证过程，实现从无限到有限的转化。而数学归纳法的核心为归纳递推，从而得出数学归纳法的两个步骤。

第一步（归纳奠基）：当n=n0时，成立；是验证命题奠基步的正确性。

第二步（归纳递推）：假设当n=k（n≤k）时，成立，推出成立，是推证命题正确性的可传递性，两者缺一不可（为什么在应用中说明），同时两个步骤可以互化，没有固定的顺序，只是在实际学习生活中常常习惯以归纳奠基为第一步，归纳递推为第二步。

3.数学归纳法的直观显示

为了更好地理解数学归纳法，不外乎是“剖析原理，理清脉络”，为了更好地“剖析”“理清”，可以以直观图的形式向大家介绍，将“无形”化为“有形”。

（1）直观图一

数学归纳法严谨上讲是需要对每个命题进行验证成立，而条件（1）和（2）是相互独立的。条件（1）是奠基要说明成立，条件（2）是个假言命题，若成立，则有成立，即：若p则q，断言为如果p存在则q一定存在，但是p是否存在并未给出事实，实际上说的是一种关系，而不是确定。在这里可以比喻为一种生产关系。此时，有一台功能特殊的加工机，而这台加工机的功能就是：只要将原料放进去，此加工机就能输出这个产品：

→加工机→

还是上面所说的问题，有了加工机并不代表有了原料，为了使这个加工机的功能更好，借助条件（1）将作为原料，送进加工机，根据此机的功能便有

加工机的工作原理直接显示了数学归纳法的严密性。

（2）直观图二（流程图解释）

数学归纳法是学习数学的重要思想方法，中学数学教材为了说清数学归纳法利用多米诺骨牌全部倒下的两个条件，介绍了数学归纳法的思想基础，但是骨牌毕竟是有限的，而数学归纳法是有关自然数的命题，自然数是无限的，所以多米诺骨牌不能从无限的角度说明数学归纳法，随着现代科学技术的发展，我们知道，计算机语言中的流程图和它的赋值语句则可以从无限的角度说明。

右边的流程图可以表示数学归纳法，其中，k=k+1为赋值语句，同一个符号在等式右边代表相应变量的值，在等式的左边代表赋值对象。

流程图中，当k=n0时，判断正确即为数学归纳法的第一步。

流程图循环部分是判断第一次的k+1成立，即指k=n0+1成立，在通过赋值语句k=k+1循环，第二次判断（k+1）+1正确，即k=n0+2时命题正确。第三次循环k又增加了1，即k=n0+3时，命题正确。

……

這样的循环可以无限下去，就解决了数学归纳法的无限问题，通过计算机中的流程图更好地将“无形”的数学归纳法变为“有形”的，更加逼真确切。

通过以上两个直观图将数学归纳法直观地显示在眼前，并将数学归纳法的原理通过“有形”的方式体现得淋漓尽致，达到了从无限的角度说明数学归纳法，希望有助于您对数学归纳法的理解。

二、数学归纳法的推广

数学归纳法是一种非常有用的数学工具，也是一种重要的数学思想。它在论证有关自然数n的无限多命题时十分重要，为了使数学归纳法的应用范围更加广阔，进而对数学归纳法进行推广。

先来看数学归纳法的两个变形应用。

定理1：设和都是定义在自然数集上的函数，则等式对一切自然数n都成立的充要条件是：

（1）

（2）对一切自然数n都成立。

证明：（充分性）設n为任意自然数，因为（已知）。

=

=

=

=

由上可知，，充分性证毕。

（必要性） 因为，n为任意自然数。则

当n=1时，

当n=n-1时，

于是，显然成立，证毕。

例1：求证：对一切自然数成立。

证明：设

故。因此原式对一切自然数成立。

注：证明有关自然数的等式的问题，定理1给了我们一种优于数学归纳法的方法。

定理2：若和分别是定义在自然数集上的函数，若他们满足下列条件：

（1）

（2）对任意自然数n 成立，

则对任意自然数n成立。

证明：设n为任意自然数。因为（已知），故

=

=

=

因为且

所以

故

例2：求证对大于1的自然数都成立。

证明：设n为大于1的自然数

令

当n=2时，

故。由定理2，知对大于1的自然数都成立。

注：证明有关自然数的不等式的问题，定理2给了我们一种优于数学归纳法的方法。

定理3：若是定义在自然数集上的整系数多项式，m能整除的充要条件是：

（1）m整除

（2）m整除对任意自然数n都成立.。

证明：（必要性）因为m能整除，n为任意自然数。

当n=1时，m能整除

而m能整除，从而m能整除。

（充分性）因为m能整除，所以m能整除。故

因此m能整除。

例3：求证能被9整除。

证明：设n为任意自然数且

则当n=1时，能被9整除。

故对一切自然数上式都能被9整除。

注1：证明一些有关整除性的问题，定理3给了我们一种优于数学归纳法的方法。

注2：对于以上所述要指出“一切自然数”是广义上的自然数集。例如定理2中的应用：n是大于1的自然数。

我们还可以将自然数系的数学归纳法进一步推广到下有界整数集上，具体看一下：

定理4 设 是与整数有关的一列命题且满足一下条件：

（1）成立；

（2）成立成立，

则对于任意整数，命题都成立。

证明：为了使的n为一切自然数，则构造函数。

定义此时是与自然数有关的命题，并且满足

（1）成立；

（2）成立成立。

故对一切自然数都成立，即对整数命题也成立。

注：此定理将自然数集的数学归纳法推广到了整数集，实质上都是递推的原理。

总之，数学归纳法在数学学习中是一种很重要的方法，进一步学好数学归纳法不但能够培养学生的运算能力、数学化能力、观察能力、解决综合性问题的能力以及逻辑思维的能力，还能为学好高等数学打下坚实的基础，因为数学归纳法是初等数学与高等数学衔接的一个纽带。

参考文献

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