以静制动自然生成——以2016年甘肃省张掖市中考数学卷第28题为例

☉甘肃张掖市第三中学李永明

以静制动自然生成
——以2016年甘肃省张掖市中考数学卷第28题为例

☉甘肃张掖市第三中学李永明

一、问题的提出

“怎样解题表”是乔治·波利亚凝聚成的一套集解题思想、解题过程、解题思路、解题方法等于一身的一个完整的解题教学系统.它融理论与实践于一体，为学生提出问题、解决问题指明了方向.如何才能在中考压轴题中有效利用“怎样解题表”解决“动点问题”呢？按照“怎样解题表”指引，笔者结合2016年甘肃省张掖市中考数学卷第28题，从弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾四个方面入手，认真反馈解题的思维过程，分析解题过程中的逻辑关系，使“怎样解题表”由常识上升为理论，让每个学生学会解题过程分析，提高解题能力.现拙文呈现其“四阶段”思维过程，以期抛砖引玉，与同行交流.

二、解题思维过程分析

原题：（2016年甘肃张掖第28题）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）两点.

（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式.

（2）如图1，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E、F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？

图1

图2

（3）如图2，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A、B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A、B两点构成无数个三角形，在这些三角形中，是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由.

1.弄清问题.

“弄清问题”是解题的前提.在认真阅读题目后，必须分析本题的“未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？”

认真阅读例题，已知条件有三个：

抛物线y=-x2+bx+c的解析式；

抛物线经过点A（3，0）；

抛物线经过点B（0，3）.

未知有三问：

（1）第一问求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；

（2）第二问当△AEF为直角三角形时，求t的值；

（3）第三问当△PAB的面积最大时，求点P的坐标.

2.拟定计划.

“拟定计划”是解题的关键，是一个探索解题思路的发现过程，也是一个化归过程.“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？”

针对以上问题，要努力追忆在课本、资料中出现过的类似题目，从大脑中提取出与本例题有关的定义、公式、定理、类题等解题依据，把想到的与本题有关的信息都罗列出来，供下一步使用.

题型：求抛物线、一次函数解析式的题型；动点问题的题型；求三角形最大值问题的题型.

定义：正切的定义.

性质：相似三角形的性质等.

第（1）问：

问题思考1：从已知和未知条件思考：要确定抛物线y=-x2+bx+c和直线AB的解析式，只要知道什么就可以了？

已知抛物线y=-x2+bx+c的解析式中二次项系数a= -1，b和c未知，解析式中有两个未知数，所以确定解析式只需要知道两个点的坐标，就可用待定系数法求出其解析式.同理，直线AB的解析式也可用待定系数法求出.

问题思考2：从熟悉的题型思考：你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.这是一个与你现在的问题相关，且早已解决的问题.你能不能利用它的结果和方法呢？

求解析式这类题经常练习，常用方法是待定系数法.

第（2）问：

问题思考1：从已知条件分析：你知道这是一个什么问题吗？第（2）问引入速度和时间后，你还能得到哪些条件？

它是一个双动点问题.E和F是两个动点，知道其运动速度和时间t，就可以把E和F两点的路程表示出来，即OE=t，AF=t.

问题思考2：你知道解决此类问题的方法吗？

解决此类问题的策略就是以静制动，运用以退求进的方法，退到特殊情况寻找突破口.也就是把动点E和F分别静止到△AEF为直角三角形时的特殊位置.

问题思考3：你知道△AEF为直角三角形的几种特殊位置吗？能画出草图吗？

△AEF为直角三角形一般有三种情况，但从图形上分析，∠EAF固定不变，如图3、4，所以有两种情况.

图3

图4

问题思考4：你见过这类型的题吗？你知道解决此题的方法吗？

这是常见的方程模型，由线段OE、OA的长求出线段AE的长，通过相似或三角函数列出方程，从而求出t的值.通过这种方法就把已知和未知两者联系了起来，使问题得到了解决.

第（3）问：

问题思考1：从未知条件分析：你知道这是一个什么问题吗？从整体上分析你认为点P存在吗？

第（3）问实质上也是一个动点问题，点P从点A出发，在抛物线上移动到达点B，△PAB的面积逐渐增大，又逐渐减小，在这一连续的过程中，一定有一个最大值.

问题思考2：在点P的运动过程中你发现了哪些不变的量？哪些变化的量？

线段AB的长不变，△PAB中边AB上的高在变化.

问题思考3：你见过这种类型的题吗？解决此题的关键是什么？如何解决？

见过，解决的关键是确定点P在什么位置时，△PAB的面积最大.从图上可以分析，在△PAB中，线段AB的长是固定的，当△PAB中AB边上的高达到最大值时，△PAB的面积也最大，也就是说可以向上平移直线AB，如图5，平行线与抛物线有两个交点，利用平行线间的距离处处相等，当直线AB平移到与抛物线只有一个交点时，如图6，△PAB中AB边上的高达到最大值，这时就找到了点P的准确位置，通过已知条件的变换，找到了点P，它是存在的.下面还得求出点P的坐标，抛物线的解析式与平移后的直线的解析式组成方程组，当有一个交点时，Δ=0，求出t的值.

图5

图6

3.实现计划.

解：（1）由抛物线y=-x2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）两

（3）如图7，存在.

过点P作PC∥AB交y轴于C.设直线PC的解析式为y=-x+b.由得-x+b=-x2+2x+3，则x2-3x+b-3=0.

图7

过点B作BD⊥PC，则直线BD的解析式为y=x+3，

4.回顾.

解题后的回顾是对解题过程的反思，从中发现新的解题方法，提炼解题思想，形成对未来有指导作用的解题经验，升华为学生分析、加工和运用信息的数学才能，从而提高学生的解题能力.

（1）从正面检验每一步，推理是否有效，演算是否准确.再做特殊性检验，由结论出发，由抛物线y=-x2+2x+3和直线y=-x+3，令x=0，得到y的值都是3，进一步与点B（0，3）的横、纵坐标对比，如果都一致，说明正确.

（2）回顾解题过程可以看到，首先要弄清问题，分析已知和未知，简化已知条件，并从图形和记忆中提取有用信息，并相应将两组信息资源做合乎逻辑的有效组合.这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划（包括解题策略），也可以根据自己的解题经验进一步领悟制定计划的普遍建议或模式.

（3）在解题方法上，它是分析法的成功应用，对于第（2）问，由结论出发，由后往前找成立的充分条件，求出t的值，我们只需画出t值存在的两种情况的草图，用t的代数式表示出线段AE、AF的长，通过相似或三角函数列出方程，从而求出t的值.

（4）在解题思想上，它是方程思想的成功应用，三个小题都用到了方程思想，第（1）问为了求解析式，列出了二元一次方程组.第（2）问要求t的值，要列出一个分式方程来解，难度进一步加大.第（3）问要求点P的坐标，要列一个二元二次方程组，根据化解后的一元二次方程根的判别式，求出点P的坐标.

（5）“你能否用别的方法导出这个结果？”在信念上我们应该永远坚定地做出肯定的回答，虽然你没有实现，但这只是能力问题或暂时现象.对于第（3）问，还有以下解法.

图8

方法2：如图8，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点G，交x轴于点M，过点B作BN⊥PG，这样我们可以把△PAB分成△PAG和△PBG两个三角形，由图形可知△PBG和△PAG边PG上的高分别是线段BN和AM，BN+AM=OA=3是个常量，只要求出PG的最大值，即可得△PAB的最大值.设点P（m，-m2+2m+3），由题意知点G的坐标为（m，-m+3），所以PG=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m.S△PAB=3），当m=-，此时点时，△PAB的面积最大，最大是P（，）.

图9

方法3：如图9，可以用分合并用的方法，将△PAB的面积转化为四边形PAOB的面积减去△OAB的面积，四边形PAOB的面积等于△OBP的面积加上△OPA的面积.设点P为（m，-m2+2m+3），S△PAB=S四边形PAOB-S△OAB=-时，△PAB的面积最大，最大是，此时点P（，）.

三、反思小结

综述以上解题过程，解答一道题，第一件事就是想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于哪种类型？如果识别了其类型，就得到了解题方法，因为在课本里，许多类型的习题都有它们特定的解题方法和策略.例如，模式识别，映射化归，数形结合，差异分析，分合并用，动静转换，进退互化，有效增设，正反相辅，以美启真等.如果识别的类型不是我们熟悉的类型，我们不知道其解题方法，那么，我们应该怎么办呢？只有归结为熟悉的早已解决的问题，利用变换、改编或其他方法，最终化归为已经解决的问题.如果遇到不熟悉的和费解的问题，那么，所有已知的建议都无济于事了，这时寻找解题思路有两种方法：一种方法是把问题“分解”，使每一个小问题都是熟悉的；另一种方法是可以揭示问题的深层结构，使问题的实质是熟悉的，还可以不间断地改编问题，最终化归为已经解决的的问题.

总之，解题就是把题目归结为已经解过的题，是一个改编习题的过程.我们只有不断地去弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾反思，对已知和结论不断地去分析，找到它们的联系，才能找到一个简洁、高效的解题方法.

1.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

2.罗增儒.中学数学解题［M］.南宁：广西教育出版社，2008.

3.李永明.捕捉、提取、组合、反馈四阶段解题的思维剖析与思考——以2014年张掖卷第28题为例［J］.中学数学（下），2015（7）.