均布荷载作用下槽钢绕弱轴的非线性弯曲

袁伟斌，包兆水，詹 伟(浙江工业大学 建筑工程学院，浙江 杭州 310014)

均布荷载作用下槽钢绕弱轴的非线性弯曲

袁伟斌，包兆水，詹 伟
(浙江工业大学 建筑工程学院，浙江 杭州 310014)

主要通过能量法研究了有限长的简支槽钢梁绕弱轴的弯曲响应，其中的基本假设是受均布荷载作用的薄壁钢梁的总应变能分析可以简化为两个阶段，第一个阶段是腹板和翼缘的局部弯曲响应(板的行为)，第二个阶段是截面扁化变形后薄壁钢梁的整体弯曲响应(梁的行为).通过最小势能原理推导均布荷载作用下槽钢梁非线性失稳的理论解，同时还研究了腹板中部增设纵向加劲肋对槽钢梁的非线性弯曲响应的影响.并运用ANSYS对不同尺寸槽钢梁进行了几何非线性分析，结果显示理论解和有限元解之间能够很好的吻合.利用Simitses的方法研究了受冲击均布荷载作用的简支槽钢梁绕弱轴弯曲的动力失稳，讨论了跨度对槽钢梁临界弯矩和非线性弯曲响应的影响.

槽钢梁；均布荷载；扁化变形；非线性失稳；有限元

冷弯薄壁构件不同于传统的混凝土构件，其常被用作檩条、屋架和墙柱等受弯或受压构件并且其壁厚较薄且杆件较细长，所以相对于强度问题来说，应更加重视其稳定问题.近年来，国内外学者对于薄壁钢构件进行了大量的研究，Magnucki等[1]提出了薄壁槽钢梁整体和局部屈曲的解析解，描述了其翘曲函数与翘曲惯性矩，并利用有限元法对其弹性屈曲的理论解进行了数值计算和实验验证.Luo等[2]根据广义梁理论，用两种计算模型分析了薄壁卷边槽钢梁绕弱轴弯曲的畸变屈曲临界应力.Shifferaw等[3]提出了一种预测冷弯薄壁型钢构件发生局部、畸变或侧扭屈曲模式时的非弹性抗弯承载力的方法，对在非弹性阶段的储备能力进行检讨，并提供了其非弹性阶段抗弯承载力的简化表达式.Rogac等[4]对开口冷弯薄壁构件在土木结构工程中的应用进行了分析，根据欧洲规范对开口冷弯薄壁构件的实际应用进行了分析，给出了其工程使用的意见和建议.Valeš[5]分析了不同长细比的薄壁箱梁在轴压下的承载力，用ASNYS对其进行了非线性分析，并与设计承载力标准值进行了比较.Bedair[6]提出了一种计算箱型截面腹板剪切屈曲的解析表达式，并用半解析有限条法进行了验证.褚云朋等[7]对冷弯薄壁方钢管受压长柱进行了试验研究与有限元计算分析.考察了长细比变化时，试件的破坏模式、荷载—位移曲线以及承载力等的变化情况.姚行友等[8]对冷弯薄壁型钢矩形空心管构件进行了轴压试验研究，分析了构件的屈曲模式和极限承载力，并用采用ABAQUS有限元程序进行了计算.袁伟斌和徐洁等[9]从能量法入手对弯矩作用下两端简支角钢梁的屈曲性能进行了研究.赵滇生等[10]对蜂窝梁的强度和刚度进行了研究.王森军等[11]研究了影响蜂窝梁挠度的因素.袁伟斌等[12]从理论上研究了纯弯作用下蜂窝梁的侧向扭转屈曲，并提出了不同边界条件下的临界荷载解析解.

现在为止，冷弯薄壁构件的非线性研究还不够深入和全面，特别是考虑截面扁化变形对构件弯曲响应影响的非线性分析十分稀少.针对上述情况，提出了利用改进的Brazier方法研究均布荷载下有限长槽钢梁绕弱轴非线性弯曲响应.并考察了梁跨度对其非线性弯曲响应的影响.其次，运用Simitses的方法研究了动力均布荷载作用下槽钢的动力失稳.考察了腹板纵向加劲肋对槽钢梁绕弱轴的非线性弯曲响应的影响.最后使用有限元方法，利用ANSYS对相应尺寸的槽钢梁模型进行了几何非线性分析，验证理论的准确性.

1 槽钢物理模型和基本公式

考察如图1所示的一根腹板受均布荷载作用的薄壁槽钢梁，其边界条件为两端简支.一般情况下作用于横向的均布荷载主要是由刚度较大的部分承受，而上顶面在受到垂直于面的荷载作用时变形较两棱边的变形更大，从而大部分荷载转移至腹板与翼缘交线处.所以为了简化模型与分析，将均布荷载简化为两条作用于腹板与翼缘交线处的均布线荷载.在均布荷载的作用下，槽钢会发生绕弱轴的弯曲，腹板将受到压缩.随着均布荷载的增加，由于Brazier效应的存在，槽钢腹板将会发生扁化变形，并且两侧的翼缘线随之发生相应的旋转，截面扁化变形如图2(b)所示.因此，薄壁槽钢梁绕弱轴弯曲时的变形可以分为两部分：一部分是槽钢梁的跨度方向的整体弯曲变形(梁形式的弯曲)，另一部分是槽钢截面的扁化变形.而对于腹板增设纵向加劲肋的槽钢梁来说，在进行能量分析中，主要是在局部分析阶段中增加了纵向加劲肋产生的附加局部弯曲应变能和在整体分析阶段中增加了梁截面的刚度而增加了其整体弯曲应变能.

图1 槽钢梁简化计算模型Fig.1 Simplified computing model of channel-section beams

对于一根受均布荷载作用的薄壁槽钢梁，定义跨度方向为x轴，横截面尺寸以及坐标系位置如图2所示.当槽钢腹板受到均布荷载作用发生的扁化变形，可以假定槽钢腹板在截面位移的变形遵循受均布荷载作用时简支梁的挠度函数，而由于边界效应的影响，沿着梁跨度方向(x轴方向)的截面扁化变形是不一致的，可以假设腹板在长度方向的变形为一个正弦半波，因此腹板局部位移函数可以设为

(1)

式中：q为均布荷载值；E为材料的杨氏模量；I为腹板截面的惯性矩；h为腹板的宽度；l为槽钢的跨度；令wmax为腹板截面中点处的局部最大位移(相对于腹板两边).

(2)

对于薄壁槽钢梁整体而言，则其挠度方程可以假设为

(3)

式中：A为一个连续的常数；l为槽钢梁的跨度.

图2 带肋槽钢截面几何尺寸Fig.2 Geometry of channel section with stiffener

根据总应变能假设，槽钢梁弯曲时的总应变能由两部分组成：第一部分是局部变形的弯曲应变能，第二部分是截面发生扁化变形的槽钢梁沿跨度方向的整体弯曲应变能.

利用式(1)所示的槽钢腹板局部位移函数w(x,z)，根据板壳理论的知识可知腹板发生弯曲变形产生的应变能可表示为

(4)

(5)

若槽钢腹板中线处增设纵向加劲肋，则其产生的附加弯曲应变能为

(6)

(7)

式(7)即为纵向加劲肋的局部变形应变能.而由于纵向加劲肋的存在，截面发生变形的槽钢梁延跨度方向的整体弯曲应变能可以表示为

(8)

值得注意的是，式(8)中Iw是考虑了截面扁化变形的槽钢梁惯性矩，根据图2(b)所示变形，其惯性矩可以表示为

(9)

(10)

注意到腹板截面中点处的局部最大位移wmax相对于式中其他物理量来说是一个极小的量，所以将式(1)分别代入式(9，10)后所得的两项表达式中可以省略wmax的高次项，并表示为

(11)

(12)

值得注意的是，如果截面不发生变形即wmax=α=0，那么此时Iw将收敛于未发生扁化变形的槽钢惯性矩，即图2(a)截面的惯性矩.

将槽钢梁整体弯曲挠度函数式(3)和截面发生变形的槽钢梁惯性矩式(11)代入式(8)，可以得到槽钢梁整体弯曲应变能为

(13)

由能量守恒定律可知，系统的总势能为槽钢的总应变能减去均布荷载的外力势能.则均布荷载的外力势能可以表示为

(14)

式中q为腹板受到的均布荷载值.系统的总势能可以表示为

Π=U1a+U1+U2-W

(15)

2 静态槽钢非线性弯曲响应

受均布荷载作用的薄壁槽钢梁由于截面扁化变形而引起的非线性弯曲响应可以通过求解板组的非线性弯曲方程组或利用能量法得到.经验表明利用能量法来求解薄壁槽钢梁的非线性弯曲响应更为方便.因此，可以通过利用最小势能原理和势能驻值原理来求解槽钢梁受均布荷载作用下的非线性弯曲响应，可以计算为

(16)

(17)

要求解处槽钢梁在发生跃越失稳时的临界均布荷载荷载值，可利用的变分公式为

(18)

将式(15)代入式(18)，并且联立非线性方程组(16，17)，就可以求得临界均布荷载qcr，槽钢梁临界弯曲状态时的连续常数A和腹板中点的局部最大位移wmax，即

(19)

(20)

(21)

由式(19～21)可知：当纵向加劲肋深度c=0时，即为非加劲槽钢梁的屈曲参数表达式.

3 有限元分析

在对槽钢梁进行静态屈曲有限元分析中，材料的属性统一采用如下定义：杨氏模量E=206 GPa，泊松比v=0.3.使用shell143壳单元建立有限元模型，这是一种四节点的弹性小应变壳单元.由于研究的槽钢梁是受均布荷载作用的，并且边界条件为两端简支，所以整个槽钢梁模型是关于跨中截面对称的，因此在进行有限元几何非线性分析时，可以取槽钢梁的一半来进行建模分析.以此提高计算效率而且便于观察弯曲时构件的变形.为了对比有限元分析结果和理论解，故加载情况按简化计算模型的加载形式作用.

为了验证以上理论解的正确性，利用有限元软件ANSYS对在均布荷载作用下绕弱轴弯曲的简支槽钢梁进行了几何非线性分析.选取截面尺寸为h=140 mm,t=1.5 mm，b=50 mm的槽钢进行考察，槽钢梁的跨度为l=2 000 mm和l=3 000 mm两种，加劲肋深度取c=0 mm和c=20 mm，结合有限元和理论解析解得到弯矩—挠度曲线图，如图3，4所示.由图3，4可以看出：当不增设纵向加劲肋时(图3)，尽管理论曲线预测的跨中最大挠度比有限元结果略大；当腹板中线增设纵向加劲肋时(图4)，理论曲线的临界弯矩值比有限元非线性分析得到的临界弯矩值略小，但是理论曲线预测的临界弯矩与有限元非线性分析得到的临界弯矩十分吻合(误差在5%内).还可以看出：当跨中挠度较小时，理论曲线与有限元曲线几乎完全吻合，只有当弯矩值接近临界弯矩时理论曲线才与有限元曲线产生微小误差.该误差可能是由于在理论分析中仅使用了应变位移方程的线性项，而省略了其非线性项.并且在有限元非线性分析中不仅考虑了截面扁化变形的因素，还综合考虑了其他的因素，比如说变形引起的薄膜力和薄壁结构的翘曲等.但是这些因素在理论分析中是没有考虑在内的，这也可能是引起误差的原因.尽管如此，但是从图3，4中依然可以看出截面的扁化变形是影响槽钢梁弯曲响应和引起跃越失稳的主要因素.

图3 槽钢梁弯矩—挠度的理论曲线与有限元曲线对比Fig.3 Comparison of moment-displacement curves between present and finite element analyses (channel-section beams)

图4 带肋槽钢梁弯矩—挠度的理论曲线与有限元曲线对比Fig.4 Comparison of moment-displacement curves between present and finite element analyses (channel-section beams with stiffener)

同时，以槽钢梁长细比为横坐标，以临界弯矩(Mcr=qcrl2/8)为纵坐标，将不带肋槽钢梁的理论解与有限元解均绘制在图中，同时与无限长槽钢受纯弯作用绕弱轴弯曲时的理论临界弯矩[13]进行对比分析.图5表示的是随着梁长细比的增加临界弯矩的变化，正如所预测的一样，当随着梁长细比的增加，其临界弯矩不断减小.根据图5显示当长细比l/i(i为截面的回转半径)很小的时候，由于此时的边界效应的影响很大，所以曲线较为陡峭.当长细比l/i很大的时候，曲线将趋近其在跨度无限长情况下的临界弯矩.值得注意的是，与文献[13]的理论临界弯矩相比，可以看出均布荷载作用下槽钢梁的临界弯矩略大于纯弯作用下的临界荷弯矩，这反应了梁的弯矩梯度对临界弯矩的影响，在文献[14]中也提出非纯弯作用构件的抗弯承载力往往比纯弯作用下的要高出10%～20%.

为了考察腹板纵向加劲肋深度对槽钢梁非线弯曲相应的影响，针对截面尺寸为h=140mm,b=50mm,t=1.5mm，跨度为2m的槽钢梁，增设c=20mm，c=24mm，c=28mm的三种不同深度的加劲肋进行分析(图6)，从图6中可以看出：临界弯矩和临界弯矩所对应的挠度都随加劲肋深度的增加而增大.但是随着加劲肋深度的增加，弯矩—挠度曲线的非线性不断减小.

图5 临界弯矩—长细比Fig.5 Limit moment versus slenderness ratio

图6 随加劲肋深度增加槽钢梁弯矩—挠度曲线的变化Fig.6 Moment-displacement curves for beams with different stiffener depths

考察跨度增加对加劲肋深度不同的槽钢梁临界弯矩的影响，利用式(19)进行计算，所得结果如表1所示.

表1 不同跨度下槽钢梁加肋效应对临界弯矩的影响1)(槽钢截面尺寸h=140 mm,b=50 mm)

Table 1 Effect of stiffener depth on limit moment (i.e. maximum moment) in beams of different beam lengths (h=140 mm,b=50 mm)

跨度/mmMcr/Mcroc/b=2/5c/b=12/25c/b=14/256001.2351.4341.7198001.0911.1951.35110001.0491.1161.22512001.0291.0861.17414001.0221.0721.15216001.0181.0661.14118001.0161.0621.13520001.0151.0601.131

注：1)Mcr为带肋槽钢梁临界弯矩的理论解；Mcro为无肋槽钢梁临界弯矩的理论解.

表1表示的是对于截面尺寸为h=140 mm,b=50 mm的槽钢梁增设3种不同深度的加劲肋，并考察其临界弯矩随跨度增加的变化.分析表1可知：随着跨度的增加，带肋槽钢梁的临界弯矩不断减小并且趋于其无限长的情况.这是由于随着跨度的增加，其边界效应的不断减弱.同时，还可以注意到加劲肋的深度越深其临界弯矩值因跨度增加而下降的速率也不断增加.

4 不带肋槽钢非线性弯曲响应的动力分析

众所周知：虽然结构的临界动力荷载通常小于相应的临界静力荷载，但是当结构受到瞬间荷载作用时的动力失稳特征与静力失稳特征类似.通过在静力分析中运用相似运动假设，就可以通过能量法确定其相应的动力失稳荷载.槽钢梁腹板受到瞬间施加的均布荷载作用而发生绕弱轴的弯曲.其运动方程可以能量守恒的形式表示为

(22)

式中：T为槽钢梁的总动能；Π为总势能，由于定义初始状态时(A=wmax=0)总势能为0，所以式(22)的右端为0.

对一个给定的均布荷载q，式(22)定义了A和wmax对于时间的响应.为了确定临界动力均布荷载值，假设当槽钢梁的纵向弯曲响应值(即纵向挠度)达到极值时，截面的扁化响应也同时达到其极值.根据这个假设，由于当A和wmax达到极值时，dA/dt=0,和dwmax/dt=0，所以在式(22)中，A和wmax振幅的最大值可以通过dA/dt=0,和dwmax/dt=0确定，可以表示为

Π(A,wmax,M)=0

(23)

将式(5，13，14)代入(23)可得

(24)

对式(24)关于A和wmax进行偏导，可得

(25)

(26)

注意到，动态失稳发生在，∂q/∂A=∂q/∂wmax

=0时，因此，式(25，26)可以简化式(16，17).这意味着，动态失稳发生在静态平衡能量为0时.因此，动态失稳时的临界均布荷载qcr，常数A和腹板扁化量wmax可以通过求解式(16，17，24)，计算结果为

(27)

(28)

(29)

通过与受静力均布荷载作用槽钢的计算结果进行对比，可以发现利用Simitses的方法得到的简支槽钢梁绕弱轴的弯曲的临界动力均布荷载值约为静力分析时的71%，而其截面的最大扁化变形量wmax约为静力分析的两倍，梁的最大挠度约为静力分析时的1.43倍.

5 结 论

利用改进Brazier的方法求解的薄壁槽钢非线性弯曲响应曲线与有限元非线性分析的结果比较吻合，尽管理论曲线预测的跨中最大挠度比有限元结果略大，但是理论曲线预测的临界弯矩与有限元非线性分析得到的临界弯矩十分吻合(误差在5%内).受均布荷载作用的薄壁槽钢，随着跨度的增加，其最大弯矩缓慢下降，但是其最大挠度却迅速增大(即临界挠度).并且随着跨度的增加，其弯曲响应曲线的非线性也逐渐增大.在非线性分析中，对于受均布荷载作用绕弱轴弯曲的槽钢，当腹板中部增设加劲肋时，其临界弯矩和临界挠度都随加劲肋深度的增加而增大.但是随着加劲肋深度的增加，弯曲响应曲线的非线性不断减小.此外，利用Simitses的方法得到的简支槽钢梁绕弱轴的弯曲的临界动力均布荷载值约为静力分析时的71%，而其扁化变形约为静力分析的两倍，梁的最大挠度约为静力分析时的1.43倍.

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(责任编辑：陈石平)

Nonlinear bending of channel-section beams about minor axis under uniformly distributed loading

YUAN Weibin, BAO Zhaoshui, ZHAN Wei
(College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

The bending response of simply-supported channel-section beams of finite length about the minor axis is studied using energy methods. The basic assumption used in the paper is that the analysis of the total strain energy of a channel-section beam subjected to uniformly distributed loading is simplified by a two-stage process: the local bending of the web and flange as a plate and the overall bending of the beam with a deformed cross section as a beam. A theoretical solution for the nonlinear bending of channel-section beams with and without longitudinal stiffeners subjected to uniformly distributed loading is derived using the minimum potential energy principle. To validate the derived theoretical solution, a geometric nonlinear finite element analysis is conducted. A good agreement is shown between the present solution and the FEA results. Finally, the dynamic instability of channel-section beams subjected to sudden step uniformly distributed loading is determined using the Simitses method. The effect of the beam length on the nonlinear bending response and critical bending moment of channel-section beams is discussed.

channel-section beam; uniformly distributed loading; deformed deformation; nonlinear instability; finite element method

2016-09-20

袁伟斌(1977—)，男，浙江嵊州人，教授，博士，研究方向为有限元模型理论与应用和钢与混凝土组合结构，E-mail：yuanwb@zjut.edu.cn.

TU391

A

1006-4303(2017)02-0223-07