综合应用幂的运算法则

综合应用幂的运算法则

徐爱明

幂的运算是代数演算的重要基础，同学们不仅要熟练掌握幂的运算法则，还要领会幂的运算法则的内涵.现选择几道中考试题和同学们一起赏析.

例1对实数a、b，定义运算☆如下：

例如：2☆3=2-3=18.

计算：［2☆（-4）］×［（-4）☆（-2）］=.

【分析】根据算式a☆b中a与b的大小，选择定义运算中相应的运算法则进行计算.

【评注】解答此类问题的关键是正确理解新定义运算，进而将新定义运算转化为幂的运算求解.

例2比较255、344、433的大小，结果是（）.

A.255＜344＜433

B.433＜344＜255

C.255＜433＜344

D.344＜433＜255

【分析】观察发现，指数55、44、33都是11的倍数，考虑逆用幂的乘方的法则，将255、344、433化成指数相同的幂的形式，将问题转化为比较底数的大小求解.

解：255=25×11=（25）11=3211，344=34×11=（34）11= 8111，433=43×11=（43）11=6411，

∵32＜64＜81，

∴255＜433＜344，故选C.

【评注】本题考查了幂的乘方法则，解答关键是将各个数转化成相同指数的幂的形式，进而转化为比较底数的大小.

变式1：已知x3=2，求x9的值.

解：x9=（x3）3=23=8.

变式2：已知x3=2，求x2∙x+x4∙x2的值.

解：x2∙x+x4∙x2=x3+x6=x3+（x3）2=2+22=6.

【评注】以同学们目前掌握的知识难以由x3=2求出x的值，因此运用整体思想求解，即将x9用含x3的式子表示出来，然后代入求值.

【拓展】已知x、y满足x+2y+1=0，

（1）求2x+2y的值；

（2）求2x∙4y的值.

【分析】（1）利用整体思想，将x+2y看成一个整体求解；（2）先化成同底数的幂，然后运用幂的运算法则计算，最后利用整体思想求解.

【评注】运用整体思想是求解此类求值题的关键所在.

例3如果等式（2a-1）a+2=1，则a的值为

.【分析】幂等于1的情形有三种：①a0=1（a≠0）；②1n=1（n为整数）；③（-1）n=1（n为偶数）.

解：当a+2=0，即a=-2（满足2a-1≠0）时，（2a-1）a+2=1.当2a-1=1，即a=1时，（2a-1）a+2=1.当2a-1=-1，即a=0时，（2a-1）a+2=1.综合知，a的值为-2、1、0.

【评注】解答本题容易出现遗漏，特别是第三种情形.

江苏省盐城市尚庄初级中学）

延伸阅读

二进制记数法

随着社会的进步，数学记数法也在不断地发展，让我们一起去了解在这演变过程中的一个记数法——二进制记数法.二进制记数法，是以2为基数的基数记数法，所用的数位为0、1，权是2的整数次幂.权就是进制的基底的n次幂，如二进制的权就是2n了.17世纪后半叶，德国数学家莱布尼茨，结合中国的阴阳学说进一步完善了二进制.在二进制中，他形象地用1表示上帝，用0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有的实物，恰好在数学中用1和0表示了所有的数.在二进制中，只有两个数码：1和0，其他任何数都用一行0，1表示，加法和乘法规则仅由1+0和1×0组成.

二进制一出现，就深受科技界的欢迎，因为它使运算更加方便.随着电子计算机的广泛应用，二进制进一步大显身手.因为电子计算机是用电子元件的不同状态来表示不同的数码.如果要用十进位制就要求元件能准确地变化出十种状态，这在技术上是非常困难的.而二进制只有两个数码1和0，只需要两种状态就能实现.正如一个开关只有“开”和“关”两种状态一样.如果用“开”表示0，“关”表示1，那么一个开关的两种状态就可以表示一个二进制数，五个开关就可以表示五个二进制数，这样运算起来就非常方便.顺便提一下，二进制数可以根据不同的需要转换为八进制、十进制、十六进制数.