深化数学建模课程教学 推进数学的实践与应用

秦新强+郭文艳+徐小平+胡钢+王敏

摘要：阐述了数学建模活动在现实世界中的重要性，回顾了我国及我校数学建模活动开展的历程及现状，提出了该项活动继续进行需要解决的问题，并给出了问题的解决方案。

关键词：数学建模；课程建设；教学方法；实践应用

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）15-0185-03

一、数学建模在现实世界中的重要性

数学作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德几何，17世纪发现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的成功范例。进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透以及电子计算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义。

1.在一般工程技术领域，数学建模大有用武之地。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的，诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算、中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。

2.在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。国际上一位学者提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。

3.数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的“处女地”。随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。

二、數学建模活动与数学建模课程建设现状

1.中国数学建模的萌芽。1977年我国高考制度恢复，大学数学教学采用的还是原苏联的教学模式，理论性体系严谨。众多数学人在大学数学教学中正处于积极探索与总结之中，先后产生了同济大学樊应川的《高等数学》、吉林大学的《数学分析》、华东师范大学的《数学分析》、复旦大学的《数学分析》等新时期的大学数学教材。这些教材无不显现着苏版教材的影子，当时的学生都以六册吉米多维奇的《数学分析习题集》为标准来检验自己的数学功底，包括工科学生也加入到了做这六册习题集中习题的大军中，这些数学资料为培养一代高水平、高素质的数学人才立下了汗马功劳。

在那个时代，大学数学教学中体现数学的实践应用还没有引起足够的关注，在高考制度恢复后的第十年，1987年由中国科学数学研究所开始筹办了中国大学生数学夏令营活动，活动主要还是以理论数学为主的内容来进行的，期间要进行两次较为高深的数学竞赛，与数学家交流、听学术报告和讲座等，直到1991年共举办了5届这样的夏令营活动。而在同一时期，在美国的高等学校里进行的却是“美国大学生数学建模竞赛（MCM—Mathematical Contest in Modeling）”，该竞赛是由美国数学及应用协会（COMAP）主办、美国工业与应用数学学会（SIAM）、美国运筹学会（ORSA）和几所大学支持创办的，1985年起开始每年举办一次，为通讯比赛形式，并欢迎世界其他国家和地区的学生参赛。竞赛的目的在于鼓励和训练学生用数学方法解决实际问题，竞赛题目均从有实际意义的课题中提炼而成，没有预先设定的答案。1989年，北京有三所大学组队参加了美国的MCM竞赛，从中得到了很大的感悟，之后的连续参赛在中国的数学界产生了很大的影响，也给了国人很大的启迪。于是1992年，中国工业与应用数学学会（CSIMA）委托该学会的数学模型专业委员会和上海市工业与应用数学学会，试办了1992年我国大学生数学模型联赛，74所院校的314个队，近千名学生在北京、上海、西安、武汉等9个赛区参加了比赛。经过两年的试办，取得了很大的成功，也使大家认识到这是在校大学生进行数学应用和实践的一个最佳方式，并决定从1994年起，由国家教委高教司和中国工业与应用数学学会共同举办我国自己的“全国大学生数学建模竞赛”，被国家教委规定为全国大学生四大竞赛之一，每年举行一次。为中国高校在大学中培养学生的数学实践应用能力开启了一个新的窗口。

数学建模竞赛这项活动非常具有创造性和挑战性，通过数学建模的锻炼，最重要的是学会一种责任感和敬业精神、一种创造和团队合作精神，可以使学生在计算机编程、数学软件使用、论文写作、口语表达、组织调度能力等各个方面达到最大限度的展现和锻炼，而这些内容正是国内高等教育中的盲点，通过这样的活动可以得到极大的加强。

参加数学建模竞赛需要很强的综合知识能力，在校大学生在常规的学习之余，还需要学习和补充其他知识。第一方面要求有很强的数学知识及应用能力。比赛的试题涉及的数学知识面十分宽广，涵盖了概率与数理统计、统筹与线性规划、微分方程等应用型很强的数学分支，还有与计算机知识相交叉的计算机模拟。第二方面要求熟练的计算机的运用能力。参赛学生需要熟练应用文字处理软件Word，电子表格软件Excel，数值计算软件“Matlab、Mathematical”等的使用，具备计算机语言能力会更有优势。第三方面要求具有很好的论文写作能力。竞赛上交的是一篇论文，文章的书写有比较严格的格式，需要很强的文字功底和科技论文的写作能力。

2.数学建模课程的研究基础、实践成果与存在问题。数学建模竞赛这项活动非常具有创造性和挑战性，通过数学建模的锻炼，最重要的是学会一种责任感和敬业精神、一种创造和团队合作精神，可以使学生在计算机编程、数学软件使用、论文写作、口语表达、组织调度能力等方面达到最大限度的展现和锻炼，而这些内容正是国内高等教育中的盲点，通过这样的活动可以得到极大的加强。但是，取得成绩的同时，在总结分析、研究课程建设现状的基础上，普遍来说还存在着一定的问题需要进一步解决。

（1）教学内容与教学体系需要深度改革。在培养在校大学生数学应用与实践能力的过程中，数学建模类课程的开设对学生的启蒙具有非常重要的作用。通过调查发现，在此类课程在教学方面、教学内容的知识体系与结构上还存在不足，以现在全国所用的《数学建模》教材内容设置来看，均不太适合学生接受和掌握数学建模的思想和方法，与真正做到建模、计算、应用还有一定的距离，脱离了学生接受知识和动手应用的渐进过程。因此，教学内容与体系结构的调整是应该重点关注的问题，以便有利于学生在数学应用方面有更多数学知识的获取与数学的具体应用。在理论性强的数学基础课上，也需要补充数学应用的实例，及时将所讲授的数学内容与实际问题相联系，提高学生对数学应用的认识。

（2）教学方法和手段的改革需要深入进行。传统的数学课程教学就是定义的介绍、定理的推导，练习题也基本上是理论的推理，缺少数学应用的讲解。因此，要让学生懂得学数学不仅是要训练严谨的逻辑思维，更重要的是为了用数学去解决实际问题，就需要在教学方法和教学手段上做出改变，进行探索。以《数学建模》、《数学实验》应用性强的课程为导引，通过数学的实践与应用提高学生的数学学习兴趣，总结经验、加以推广，还缺乏系统设计与规划，还没有深入到每位数学教师思想里，也没有使得教工程数学的教师对数学的实践与应用具有充分的认识并具備数学的应用能力。

三、数学建模课程与数学建模活动深层次问题的解决

数学的学与用应该是数学教学工作者始终要重视的问题，在数学一级学科的五个二级学科中，除了基础数学，其余四个包括应用数学、计算数学、概率统计、运筹与控制都是与应用紧密相关的，因此作为工科院校的数学教师，在教授数学基础理论内容的同时，增强数学的实践与应用，也是应该加倍重视的教学任务。而对于理工科专业的学生来说，数学基础的稳固、扎实固然重要，但有了一定的数学基础后，用好数学才是最关键的一步。在大学开设《数学实验》、《数学建模》课程可使学生在学完《高等数学》、《线性代数》、《概率统计》后能够进一步学习数学的扩展知识以及数学的初步应用，并在专业学习中能更好的将数学与专业知识进行融合。

1.构建更为科学的教学内容。当前社会对本科生的需求更体现在实践动手能力方面，因此对于工科专业的学生，在教授其数学基本理论的同时，设定适合学生进行数学应用的后续数学的相关知识体系和知识结构，选定合适的教学内容，及时凸显数学的应用与实践，有针对性的构建科学的课程内容体系。根据十多年的教学经验，我们感觉到目前市场上销售的各类数学建模的相关教材和书籍，并不完全适合初次接触数学建模的学生学习，这些教材往往直接就从实际例子讲起，尽管学生已经具有了一定的数学基础，但是要真正完成一个实际问题解决的完整过程，还需要补充更多的数学应用知识和数值计算技能，因此在培养学生的数学应用方面，我们首先要对教学内容进行改革完善，再通过开设不同类型的数学建模课程，讲授这些知识和技能。如何在具有一定微积分、代数学、统计学知识的基础上，再扩充一些其他数学分支知识，包括数值计算方法、运筹优化等。

2.探索更加有效的教学方法。探讨合适的数学实践与应用的教学方法，通过课堂教学与动手实践教会学生如何将实际问题转化为数学模型，学会解决数学模型的各种方法，为专业学习打下数学的学与用的基础。大学数学的实践与应用是一个综合性的研究课题，要在大学的数学教学和应用中解决好这个问题，需要认真规划，逐步实施，不断推进，探索出数学实践应用教学的新方法和新手段，研究思路就是通过开设《数学建模》课程，探索教学内容、教学方法，并推广到其他基础性的数学课程教学中，使得理工科学生更早的接触并学会数学的应用，为专业的学习和实际问题的解决打下良好的基础。

（1）要不断提高教师对数学教学的认知问题。要在进行数学理论教学的同时，提高自身对数学学与用的认识，要意识到在数学教学课堂渗透数学的产生背景与应用背景。“以问题驱动数学”教学会有更大的效果。

（2）要逐步解决学生对数学学习的认知问题。作为工科大学生，学习数学是为了用，是为了更好的解决专业问题，因此要能及时教育学生认清学习数学的重要性，从而转化为动力，学好数学，用好数学。

（3）解决好教学中数学实践与应用问题，就是如何培养学生从数学的认知到数学实践，所以在常规数学课程教学之外，开设专门课程培养学生的数学应用是一个重要途径，比如《数学实验》、《数学建模》等。另一个途径就是在诸如《高等数学》、《线性代数》、《概率统计》等基础课堂上，多引入数学应用的实例，多灌输数学应用的思想，要解决在备课中准备数学应用素材案例问题。改进传统的教学方法和手段，既能保证数学基础理论体系的学习，又能适时的将数学应用贯彻进去，需要一种长期的坚持和积累。

3.不断推进数学的实践与应用。探索在数学基础课程教学中融入数学应用与实践的教学内容，探索相应的教学方法，使学生在学习数学的同时，尽早了解数学的产生和应用背景，掌握初步的数学应用。目前除了在《线性代数》课堂上进行过尝试外，还需要在《高等数学》和《概率统计》课程中进行试验推广，推进数学的同时进行应用。通过以点带面的方式逐步进行，先在《数学建模》、《数学实验》类课程上设计好数学应用的补充知识，规划授课内容，探索数学应用更合适的教学方法，再将教学内容、教学方法、教学手段加以推广。

（1）先从设置数学应用的课程做起，在有了一定数学基础的前提下，通过开设《数学实验》、《数学建模》课程，进一步补充数学应用的相关知识，比如数值计算方法、数值计算软件、应用性强的数学分支课程，又如《运筹优化》、《应用统计学》等。所以，要进一步规划好课程学习内容，调整好课程内容体系，针对学生的学习规律设计好数学应用的实际问题。

（2）针对不同讲授内容，设计、改进相应的教学方法，包括数值计算方法教学、数值软件教学、应用类数学知识补充教学、实际问题建模求解内容的教学等。

（3）将在《数学实验》、《数学建模》课程教学中总结的方法、经验推广到其他数学课程教学中，采取的方法就是首先搜集相应的数学课程的应用素材，在教学中将数学概念和数学结论与相应的实际问题相结合与渗透，扩大数学应用实践的受众面。

总之，数学的实践教学，需要在课程内容的设计上具有针对性，具有循序渐进的效果，然后在教学方法上也要精心规划，使学生按照学习的规律逐步掌握数学建模的方法、数学建模所需要的知识和计算技能，只要长期坚持、持之以恒，对于理工科学生逐步掌握好数学的学与用，掌握解决问题的技能会起到很大的推动作用。

参考文献：

[1]秦新强，赵凤群，赵康.大学数学实践教学改革的探索[J].中国大学教学，2010，（11）：16-17.

[2]昝锋，王敏，秦新强.提高工科学生理科知识实践与应用能力的方法与途径[J].教育教学论坛，2013，（15）：52-53.

[3]秦新强，郭文艳，徐小平，胡钢.数学建模[M].北京：科学出版社，2015.