《固体物理学》中基于Matlab的动态晶面标示

李建军

摘要：《固体物理学》的纸质教材中，一般只给出一些典型的晶面，且观察视图的角度是固定的。本文利用Matlab的图形显示功能，通过开发Matlab源程序，不但可实时显示任意设定的晶面，而且能对视图做三维旋转，从不同角度来观察晶面，增加了课程教学的生动性、直观性和交互性。

关键词：固体物理；晶面；Matlab

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）16-0213-02

固体物理学是研究固体的结构及由结构决定的固体的热学、电学、光学和磁学等性质并阐明其用途的一门科学[1]，其中的固体指的是晶体，而晶体最基本的性质是微观周期性。由于晶体的微观周期性决定了固体材料性质的各向异性，体现为在不同的晶面上或沿不同的晶向材料的性质不同。为了区分不同的晶向或晶面，可用晶向指数或晶面指数来标示[2]，其中晶面的标示不但是《固体物理学》教学的重点，也是课程教学中的难点。然而，在传统的纸质教材中，由于其自身的限制只能给出一些特殊的晶面，不可能罗列所有的晶面，且晶面显示的角度是固定的。即使利用3DS MAX[3]、Rasmol[4]或VRML语言[5]等开发的模形也不能实现实时交互功能。为此，本文充分发挥计算机的动态显示优势，通过Matlab语言编写程序，只要输入任意的晶面的指数即可实时地显示需标示的晶面，同时利用软件的三维旋转功能可从不同角度来动态观察。实践表明，该方法在教学中具有实时、动态、精确和可视化的优点。

一、晶面的标示方法

固体物理学中，晶面用三个互质的整数h，k和l加圆括号来标示，即（hkl）[1]。需要说明的是，（hkl）表示一族平行的晶面而不是某一个晶面。由于晶体的周期性，平行晶面族中各晶面的性质是等价的，因此通常只需在原胞或晶胞中画出距原点最近的一个面即可。以立方晶系为例，图1（a）在晶胞中画出了（hkl）面，该面与三个晶轴a，b和c的截距分别为1/h，1/k和1/l，即可用顶点坐标分别为（1/h，0，0），（0，1/k，0）和（0，0，1/l）的三角形来图示。在实际中有以下几种特殊情形需注意：

1.当h，k和l中有一项为零时，其倒数为无究大，表示晶面与对应的晶轴平行无交点，这时的晶面需用平行四边形来表示。例如，（0kl）面与a轴平行，如图1（b）所示，平行四边形的四个项点坐标分别是：（0，1/k，0），（1，1/k，0），（0，0，1/l）和（1，0，1/l）。

2.当h，k和l中有两项为零时，表示晶面与两个对应的晶轴平行无交点，这时的晶面同样需用平行四边形来表示。例如（0k0）面与a轴和c轴平行，如图1（c）所示，平行四边形的四个项点坐标分别是：（0，1/k，0），（1，1/k，0），（1，1/k，1）和（0，1/k，1）。

3.当h，k或l取负值时，晶面与对应轴的截距在轴的负方向，为了将晶面标示在晶胞内而不是晶胞外，需进行一个单位的平移。例如（hkl）面与a，b和c轴的截距分别为1/h，-1/k和1/l，如图1（d）所示，为了将其在晶胞内表示，晶面的三个顶点坐标分别为：（1/h，1，0），（1，1-1/k，0）和（0，1，1/l）。

二、晶面动态标示的Matlab实现

对于设定的面指数，用Matlab语言进行动态标示的具体过程说明如下。

1.画立方晶胞。（1）用8行3列的二维矩阵p（8，3）设定立方晶胞8个顶点的三维坐标，其中每一行与一个顶点对应，3列数值分别对应各顶点在a，b，c轴上的投影。（2）用8个顶点构建表示立方晶胞12条边的三维数组line（2，3，12）。以第i条边为例，line（2，3，i）是一个2行3列的二维矩阵，其第一行与边的起点坐标对应，第二行与边的终点坐标对应。（3）根据三维数组line（2，3，12），利用Matlab的三维画线函数plot3绘制立方晶胞。（4）标注原点、晶轴及图题等。

2.标示晶面。（1）根据给定的晶面指数，确定标示在晶胞中的晶面顶点坐标。判断h，k和l中是否有零值来决定晶面是平行四边形还是三角形，并确定各顶点坐标。各顶点在a，b和c轴上的投影分别存放在一维列矩阵X，Y和Z中。（2）根据给定的晶面指数，判断h，k和l中是否有负值，如有负值，则应将晶面平移一个晶格常数，以便在晶胞中显示。如果h<0，则列阵X中的所有单元应加1，同理，如果k<0，则Y中的所有单元应加1，如果l<0，则Z中的所有单元应加1。（3）标示晶面。根据矩阵X，Y和Z中晶面顶点的坐标值，利用Matlab的fill3函数绘制晶面，并进行透明设置和开启鼠标3维旋转功能。

三、应用实例

图2给出了用Matlab显示的（100）、（110）和（2■1）面的截图结果。在Matlab环境下，可以利用鼠标的左键旋转视图，从不同方向观察晶面。

四、结语

对于大部分本科生来说，《固体物理学》是一门枯燥且抽象的课程，如何將深奥的理论教学与现代多媒体教育手段有效结合，激发学生的学习兴趣，是值得思考的问题。本文基于Matlab语言，充分发挥计算机多媒体教学的优势，可实时动态地显示任意设定的晶面，增加了课程教学的生动性、直观性和交互性。希望能对相关理论课程的教学有一定的启迪作用。

参考文献：

[1]方俊鑫，陆栋.固体物理学（上册）[M].上海：上海科学技术出版社，1980.

[2]黄昆.固体物理学[M].北京：高等教育出版社，1988.

[3]章天金，马志军，江娟，潘瑞琨.三维动画技术在固体物理学教学中的应用[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2007，25（4）：454-456.

[4]顾燕红，黄晓江.用RasMol软件制作晶体结构的课件[J].物理与工程，2006，16（3）：33-34.

[5]孟祥东，华中.VRML语言及在固体物理教学中的应用[J].吉林师范大学学报（自然科学版），2004，（2）：40-42.