“全视野”观念下概念学习的一种尝试——以“分数的意义”一课教学为例

◇张齐华

每一个抽象的数学概念，都可以有不同的数学表征。不同表征之间的“互译”，可以丰富儿童对概念内涵的把握和洞察。不同的数学概念之间，又存在着丰富的数学关联。把握关联、从结构入手，以“全视野”关照，往往可以让抽象的数学概念学习展现出开阔、丰满、立体的大气象。“分数的意义”一课，正是本着这样的一种多元表征、多重关联、全景视野的理念，尝试着给概念学习提供一种新的可能。

一、多元表征：展现数学概念的多重图像

如果只是把分数的意义局限于“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的1份或几份的数”的抽象表达，这样的学习无疑窄化了分数意义的丰富内涵。事实上，与所有认知对象一样，分数也有着多种不同的表征方式。不同表征方式之间，又存在着千丝万缕的关联。尝试着引导学生从多角度、用多种方式表达分数、理解分数，可以让学生积累更丰富、更多元的“分数感”，为学生抽象出分数的意义奠定坚实的基础。而在不同表征之间寻找关联，又可以在表征“互译”中发现分数不同侧面之间的内在联系，为学生更深刻地把握分数的内涵创造新的可能。

教学中，笔者引导学生从画图、文字、数轴、组成四个维度，表达并建构自己对某一分数的多元理解。事实证明，画图是直观的，文字是抽象的，直观与抽象之间形成一种互补，相互映照。数轴比画图抽象，又比文字具象。并且，数轴的存在，让分数摆脱了之前单纯的关系模型，进而成为“一个实实在在的数”，丰富了分数的内涵。此外，作为一种几何直观的载体，数轴又可以让我们直观感受到分数的实际大小和相互关系，很好地丰富了学生的数感。分数单位的出现，又给了我们理解分数的新视角——原来，一切分数都有自己的计数单位，同分母分数有相同的计数单位，不同分母分数的计数单位是不同的。这样的体验，与整数和小数既有相同之处，又有相异之妙。

当然，不同表征只是给了我们观照分数的一双“复眼”，它有利于我们摆脱之前单向度认识分数的局限。学生的感受会更丰富、认识会更全面，最终建构起的分数的意义，也会更立体、更丰满。而在不同表征之间寻找关联，则又进一步引导学生在分数的不同形态之间存异求同。这样的活动设计，可以让学生体会到不同形态分数之间的结构性相似，为学生最终抽象出分数的意义奠定坚实的基础。

二、双重建构：还原数学概念的完整图式

正是鉴于上述理解，笔者在引导学生从大量的“实物图”中抽象出分数的文字表达后，及时止住了进一步抽象分数意义的企图，而是引导学生先尝试用分数表示实物图中涂色部分的具体数量，感受分数也是可以表示一个具体的数的。在此基础上，再引导学生试着在数轴上寻找分数的位置，在这一过程中再一次强化分数的有量纲性。然而，由于之前学生承受的过度信息刺激，思维定式牵引着学生不断出离。因而，我们在“数轴”那一片段，看到了学生思维的挣扎与撕裂，看到了不同观点之间的碰撞与对抗。尽管数学学习中出现观点碰撞与撕裂完全正常，甚至意味着学习的真正发生，然而，如果这样的碰撞是由教学线索或结构的某种缺陷或断裂带来的，那么，我们完全可以在之前的教学中给学生呈现更符合认知规律的教学线索，从而将不必要的思维断裂弥合，还学生一个更自然、更真实、水到渠成的学习过程。

有读者可能会问，教材中也有“在数轴上填写分数”之类的教学素材，为何学生在学习过程中并没有出现你的课堂上所呈现的面貌？在此，笔者无意再作深入的剖析，有心的读者只要认真揣摩一下教材的编排与笔者呈现的学习任务，比较之后自会有思考与启示。

三、结构关联：建构概念之间的整体框架

整数的认识由自然数1开始，进而通过“满十进一”的计数法则逐步一一建构而成。每一个新的整数的诞生，都能找到其坚实的基础。小数的诞生则源自十进制分数，它们是分数家族中特殊分数的另一种表征形式而已。相比较而言，分数的诞生则要“另类”得多。从教材的编排来看，分数的产生源自对数学对象的平均分，并始终建立在“部分和整体间的关系”这一维度上。在学生的头脑中，分数似乎与认知结构中已有的整数、小数之间没有任何关联，它只是一种悬浮式的数学存在。而这，无疑与当下我们对儿童数学学习的理解相悖，也不符合儿童认识数学的基本认知规律。

在三年级初步认识分数后，教材在五年级安排了分数意义的学习，旨在引导学生体会，无论平均分的对象是什么，数学上我们都可以称其为单位“1”，分数就是通过对单位“1”的等分逐步建构而成的。问题是，平均分的对象为何叫作单位“1”？这纯粹只是数学上的人为规定，还是有其背后的数学逻辑？如果有，我们该如何引导学生有意义地去理解、把握其中的数学逻辑？鉴于此，在经由反复思考后，笔者选择了从“一些正方形如何用数来表示”这一问题切入，在学生发现“同样的这些正方形，选择的计数单位‘1’不同，最后的计数结果也不同”以后，教师自然引出，“此时的“1”已经不只是自然意义上的1，而是具备了计数单位的功能”，进而揭示单位“1”的含义，并提出“有几个单位‘1’，就可以用整数几来表示”，从而将整数与单位“1”之间建立起意义关联。接着，再通过素材的变换，使学生感受到，如果我们的数学对象不满1个单位“1”，此时，用整数表达已不可能，而通过对单位“1”的等分，我们可以借助分数准确描述数学对象。至此，整数源自单位“1”的叠加，分数源自单位“1”的等分；无论整数也好，分数也罢，都和单位“1”有关；是单位“1”将原本没有关联的整数、分数之间建立了内在关联。其实，单位“1”的这一功能何止局限于整数和分数？小数、负数、百分数等小学阶段学生所认识的一切数，哪一个不是借助单位“1”比照而来的？从而，我们既借助单位“1”帮助分数实现了身份与意义的双重归属，更是将更多貌似无关联的数用单位“1”整合到一起，架构起一个基于单位“1”的完整的数的图谱。

当然，课的最后，笔者引导学生结合数轴体会分数与小数的联系和区别。这一环节的设计，既着眼于引导学生体会到，除整数以外，小数和分数也可以在数轴上找到相应的位置，又可以直观地帮助学生体会分数的特殊属性，感受分数被不断边缘化的内在缘由。进而，又可引导学生将分数与小数整体进行关照，获得某种结构性把握。而百分数，也在这一过程中呼之欲出。总之，没有一种数是独立存在的。数与数之间，无论是差异还是关联，都昭示着某种结构，值得我们去系统关照和整体把握。