反证法在数论中的几个妙用

张馨予

[摘 要] 本文利用反证法证明了几个与有理数和素数相关的有趣结论，充分展示了反证法的妙用.

[关键词] 反证法；无理数；素数

我们知道，，是无理数，一般地，我们有

定理1：假设p是正整数但不是完全平方数，我们有是无理数.

证明：我们用反证法，假设是有理数，则存在互素的自然数m，n使=，两边平方有p=

2= ，即m2=p·n2.

因为p不是完全平方数，则我们断言m含有因子p：

事实上，令m=m1·…·mr，

则m2=m·…·m=p·n2，

即m，…，m中某一个应含有因子p，但已知假设p不是完全平方数，所以p≠m（i=1，…，r），但是为了p整除m…m，故某个mi中应含因子p，即m中含有因子p，设 m=p·r，则

m2=p2r2=p·n2，n2=p·r2，

与上同理可证n也含有因子p，因此（m，n）=p≠1与（m，n）=1矛盾.

根据上述定理的证明我们猜想：

设p，q，n是自然数，如果p≠qn，则是无理数.

我们知道两个无理数之和如

-1+

2-=1不一定为无理数.

另外，自然地，我们想问+及更一般地+当a，b满足适当条件时，是否是无理数？我们有以下定理.

定理2：若a，b不都是完全平方自然数，则+是无理数.

证明：（1）a≠b时，若+是有理数，则?m，n∈N使+=，

=

-a-b.

由定理1，是无理数，而公式右边为有理数，这是一个矛盾，故a≠b时，+是无理数.

（2）a=b时，由定理1知，+=2是无理数.

用类似于上述方法可以证明：

定理3：若a，b，c三个自然數不都是完全平方自然数，则++是无理数，特别地，++是无理数.

用数学归纳法可以证明：

若p1，…，pn不都是完全平方自然数，则+…+是无理数.

反证法的妙用还很多，下面我们再举一个例子.

素数越往后数似乎越来越少，但我们试图证明它的个数是无限的：

我们用反证法，假设它的个数是有限的，只有r个，设为p1，…，pr，且设1

令p=p1·p2…pr+1，

则p>pr，下证p是素数.

若p不是素数，则p应被p1，…，pr中某一个pi整除，在p=p1·p2…pr+1两边除以pi，则

=+，

即整数=整数+.

注意0<<1是分数，这是一个矛盾.