非自治 p(t)- 拉普拉斯系统周期解的存在性

张申贵,慕 嘉

(西北民族大学数学与计算机科学学院,甘肃 兰州 730030)

非自治 p(t)- 拉普拉斯系统周期解的存在性

张申贵,慕 嘉

(西北民族大学数学与计算机科学学院,甘肃 兰州 730030)

本文研究一类非自治 p(t)-Laplace 系统. 利用鞍点定理和极小作用原理, 获得了周期解存在的充分条件, 推广和改进了文献 [8]中的结果.

周期解;p(t)-Laplace 系统; 临界点

1引言与主要结果

考虑二阶 Hamilton 系统(

Mawhin 和 Willem 在文 [1]在非线性项有界,即存在使得

在具有线性增长非线性项,即存在 f,g ∈ L1(0,T;R+),使得对所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立时,文 [3]中得到以下定理.

定理A[3]设 F 满足 (1.2) 式, 且

文 [4]将定理 A 中的强制性条件改进为下方有界的情形

当非线性项 ▽F(t,x) 线性增长时, 文 [5–7]中分别在具有部分周期位势, 脉冲作用项, 单调性条件下得到了二阶 Hamilton 系统周期解的存在性定理.

设存在常数 M0＞ 0,M1＞ 0,M2＞ 0 和非负函数 ω ∈ C([0,∞),[0,∞)), 使得

受到文 [8]和 [9]的启发, 我们考虑用控制函数 ω(|x|) 替换线性增长条件 (1.2) 中的 |x|,并将上述结果推广到非自治 p(t)- 拉普拉斯系统

其中 p(t) ∈ C([0,T],R+),p(t)=p(t+T),且

临界点理论是研究微分方程和差分方程边值问题可解性的有效方法, 如文 [10–12]. 非自治 p(t)- 拉普拉斯系统来自于非线性弹性问题和流体力学,该系统刻画了“逐点异性”的物理现象.近年来,临界点理论已用于研究非自治 p(t)- 拉普拉斯系统周期解的存在性,参见文[13–21].

2准备知识

记 p(t) ∈ C([0,T],R+), 定义

当 p−＞ 1 时,空间 W1,p(t)T是自反的 Banach 空间,其范数为

记

引理2.1,存在常数有

引理2.2有

引理2.3[16]在 Sobolev 空间 W1,p(t)T上定义泛函 ϕ 如下:

则 u ∈ WT1,p(t)是问题 (1.3) 的周期解当且仅当 u 是泛函 ϕ 的临界点, 且 ϕ 连续可微,

定义1设 X 为 Banach 空 间, 若泛 函 ϕ ∈ C1(X,R) 满足: 对 任 何 点 列 {un} ⊂ X, 由{ϕ(un)} 有界,ϕ′(un) → 0 蕴含 {un} 有收敛子列, 则称泛函 ϕ 满足 (PS) 条件.

引理2.4[1](极 小 作用原理) 若泛 函 ϕ :X → R 弱下 半 连续, 且 ϕ 在 自 反的 Banach 空间 X 中强制,即当 ‖u‖ → ∞ 时,有 ϕ(u) → +∞,则泛函 ϕ 在空间 X 中有极小值.

引理2.5[1](鞍点定理) 设 E 是 Hilbert 空间,E=E1⊕ E2, 其中 E2/={0} 是有限维子空间. 若 ϕ ∈ C1(X,R) 满足 (PS) 条件和以下两个条件

(i) 存在 e ∈ Bρ∩ E2和常数 ω ＞ σ, 使得 ϕ|e+E1≥ ω; (ii) 存在常数 σ 和 ρ, 使得 ϕ|∂Bρ∩E2≤ σ,

则ϕ有临界值c≥ω且

3主要结果

定理3.1设 ω ∈ C([0,∞),[0,∞)),满足 (ω1)–(ω4). 设存在 f,g ∈ L1(0,T;R+), 使得

对所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立,且

则问题 (1.3) 在 Sobolev 空间 WT1,p(t)中至少有一个周期解.

注定理 3.1 推广与改进了定理 A 和文献 [8]中定理 1.5. 首先, 定理 3.1 中将对应结果推广到了非自治 p(t)- 拉普拉斯系统;另一方面,易见式 (3.2) 中极限是下方有界的.

取 p(t)≡ 2,则 p−=p+=2,令

其中 β(t) ∈ L1(0,T;R+), 则 F 满足定理 3.1 的条件,但不满足定理 A 和文 [8]中定理 1.5.证由条件 (ω1)–(ω3), 式 (3.1),(2.1),有

由引理 1.2, 由式 (3.2) 和 (ω4), 并注意到时. 注意到当 p−＞ 1 时, 空间 WT1,p(t)是自反的 Banach空间, 泛函 ϕ 弱下半连 续[20], 由极 小 作用原理可 知, 泛 函 ϕ 至 少 有一个临界 点, 从 而 得到问题 (1.3) 至少有一个周期解.

定理3.2设非负函数 ω 满足F 满足 (3.1) 和 (3.3) 式,且

其中

则问题 (1.3) 在 Sobolev 空间 WT1,p(t)中至少有一个周期解.

注取,则,令

则 F 满足定理 3.2 中的条件,但不满足文 [13–21]中定理.Z

证我们将利用鞍点定理来证明定理 3.2,设第1步证 明 泛 函 ϕ 满足 (PS) 条件, 即 任何 点列, 由有 界,可推得 {un} 有收敛子列. 首先证明有界.

类似于 (3.4) 式 的证明,有

由式 (3.5),(3.8),有

另一方面, 由式 (2.1),可得

由式 (3.9),(3.10), 有

由式 (3.4),(3.5),(3.12),有

,p(t)中无界,当由引理 2.2,当

当n→ ∞ 时, 式 (3.12), 有 ω(|u¯n|) → +∞. 由 式 (3.6),(3.13),并注意到 p−＞ 1,当 n → ∞ 时,ϕ(un) → −∞.

,p(t)紧嵌入C([0,T];RN) 和 WT1,p(t)的一致凸性, 类似于文献 [19]中定理 3.2 的证明,{un} 在 WT1,p(t)中有收敛子列,故泛函 ϕ 满足 (PS)条件.

第2步取我们证 明 鞍点定理的环绕条件成立. 对 u ∈ E1, 类似于 (3.4) 式 的证明,有

[1]Mawhin J,Willem M.Criticalpoint theory and Hamiltonian systems[M].NewYork:Springer Verlag, 1989.

[2]Tang C L.Periodic solutions ofnon-autonomous second order systems with sublinear nonlinearity[J]. Proc.Amer.Math.Soc.,1998,126(11):3263–3270.

[3]Zhao F K,Wu X.Existence of periodic solutions for nonautonmous second order systems with linear nonlinearity[J].Nonl.Anal.,2005,60(7):325–335.

[4]Tang X H,Meng Q.Solutions of a second-order Hamiltonian system with periodic boundary conditions[J].Nonl.Anal.,2010,11:3722–3733.

[5] 张申贵. 一类非自治二阶系统的多重周期解 [J]. 山东大学学报 (理学版),2011,46(11):64–69.

[6]Chen P,Tang X H.Existence of solutions for a class of second-order p-Laplacian systems with impulsive eff ects[J].Appl.Math.,2014,59(5):543–570.

[7] 吴越, 安天庆. 一类非自治二阶哈密顿系统的周期解 [J]. 吉林大学学报 (理学版),2013,51(1):57–63.

[8]Wang Z Y,Zhang J H.Periodic solutions of a class of second order non-autonomous Hamiltonian systems[J].Nonl.Anal.,2010,72(12):4480–4487.

[9]Zhang Q F,Tang X H.Periodic solutions for second order systems[J].Appl.Math.,2012,41(5), 303–310.

[10] 彭艳芳.R3中一类 Kirchhoff 型方程变号解的存在性及集中性 [J]. 数学杂志,2015,35(1):75–84.

[11] 敖恩, 张国伟. 关于二阶半线性椭圆方程的 Dirichlet 边值问题一个注记 [J]. 数学杂志,2014,34(1): 37–42.

[12] 张克玉, 徐家发. 一类二阶差分方程边值问题解的存在性 [J]. 数学杂志,2014,34(5):857–862.

[13]Ge B,Xue X P,ZHOU Q M.Existence of periodic solutions for a diff erential inclusion systems involving the p(t)-Laplacian[J].Acta Math.Sci.,2011,31B(5):1786–1802.

[14]Fan X L.A Knobloch-type result for p(t)-Laplacian systems[J].J.Math.Anal.Appl.,2003,282(3): 453–464.

[15]Zhang L,Tang X H,Chen J.Infinitely many periodic solutions for some second-order diff erential systems with p(t)-Laplacian[J].Boundary Value Problems,2011,33(2):1–15.

[16]Wang X J,Yuan R.Existence of periodic solutions for p(t)-Laplacian systems[J].Nonl.Anal.,2009, 70(1):866–880.

[17] 张 申 贵. 一 类 超 线 性 p(t)-Laplacian 系 统 的 无 穷 多 周 期 解 [J]. 吉 林 大 学 学 报 (理 学 版),2014,52(1): 34–38.

[18]Zhang L,Tang X H.Existence and multiplicity ofperiodic solutions for some second order diff erential systems with p(t)-Laplacian[J].Math.Slovaca,2013,63(6):1269–1290.

[19]Zhang L,Tang X H.Subharmonic solutions for some nonautonomous Hamiltonian systems with p(t)-Laplacian[J].Bull.Belg.Math.Soc.(2),2011,18(2):385–400.

[20]Zhang L,Chen Y.Existence of periodic solutions of p(t)-Laplacian systems[J].Bull.Malays.Math. Sci.Soc.(2),2012,35(1):25–38.

[21]Chen P,Tang X H,Agarwal R.Existence of homoclinic solutions for p(n)-Laplacian Hamiltonian systems on orlicz sequence space[J].Math.Comput.Model.,2012,55(3):989–1002.

EXISTENCE OF PERIODIC SOLUTIONS FOR NON-AUTONOMOUS P(t)-LAPLACIAN SYSTEMS

ZHANG Shen-gui,MU Jia
(College of Mathematics and Computer Science,Northwest University for Nationalities, Lanzhou 730030,China)

In this paper,we investigate a class of non-autonomous p(t)-Laplacian system. By using saddle point theorem and the least action principle,some suffi cient conditions for the existence of periodic solutions are obtained,which generalize and improve the resuls in[8].

periodic solutions;p(t)-Laplacian systems;critical point

tion:34B15;34C25

4B15;34C25

O175.8;O176.3

A

0255-7797(2017)02-0409-10

2014-11-14 接收日期:2015-04-07

国家自然科学基金资助 (31260098); 天元数学基金资助 (11326100); 西北民族大学中央高校基本科研业务费专项资助 (31920130004).

张申贵 (1980–), 男, 甘肃兰州,副教授,主要研究方向: 非线性泛函分析和偏微分方程.