一类 Capillarity 系统非平凡解的存在性研究

魏 利,陈 蕊

(河北经贸大学数学与统计学学院,河北 石家庄 050061)

一类 Capillarity 系统非平凡解的存在性研究

魏 利,陈 蕊

(河北经贸大学数学与统计学学院,河北 石家庄 050061)

本文研究了一类 capillarity 系统解的存在性问题. 采用在乘积空间中定义非线性映射的方法, 把 capillarity 系统转化为非线性算子方程. 借助于 Sobolev 嵌入定理等技巧证明非线性映射具有紧性,进而利用非线性映射值域的性质得到非线性算子方程解的存在性的结论.并由此获得在一定条件下 capillarity 系统在 Lp1(Ω) × Lp2(Ω) × ···× LpM(Ω) 空间中存在非平凡解的结论, 其中 Ω 为RN(N ≥ 1) 中有界锥形区域且N2N+1＜ pi＜ +∞,i=1,2,···,M.本文所研究的问题和所采用的方法推广和补充了以往的相关研究工作.

乘积空间;m 增生映射;Caratheodory 条件; 嵌入; 紧映射;capillarity 系统

1引言及预备知识

源于 Capillarity 方程与毛细现象等实际问题密切相关,所以对这类问题的研究活跃在数学领域. 针对 Capillarity 方程解的存在性及其特征值问题的研究,常见的方法是山路原理和极大极小原理. 近期,在文 [1–2]中,作者提出了新方法 – 利用极大单调算子和 m 增生映射的值域理论展开了对这类问题的研究.具体地,2013 年,作者在文 [1]中给出了以下具 Neumann边值条件的 Capillarity 方程在 W1,p(Ω) 空间中存在解的充分条件

其主要研究思路是首先建立具 Neumann 边值条件的 Capillarity 方程和具 Dirichlet 边值条件的 Capillarity 方程之间的关系; 然后将边值条件转化为非线性极大单调算子之和的形式;最后利用 Reich[3]提出的极大单调算子值域几乎相等的结论进行讨论.

2012 年, 作者在文 [2]中利用 Calvert-Gupta[4]提出的 m 增生映射值域的扰动结论研究了以下具 Neumann 边值条件的 Capillarity 方程在 Lp(Ω) 空间中存在解的结论

其主要研究思路是将边值条件和非线性方程揉合在一起定义所需的m增生映射.

当某个实际问题需要用多个 Capillarity 方程来研究的时候,就引出了研究 Capillarity 系统的问题. 本文分为两部分. 第一部分是引言和预备知识, 第二部分给出一类 Capillarity 系统存在非平凡解的充分条件. 本质上将对 Capillarity 方程的研究推广到了方程组的情形, 并采用了不同于文 [1,2]的方法.

下面介绍预备知识.

设 E 为实 Banach 空间,E∗为其对偶空 间. 正规对偶映射 J:E → 2E∗定义为J(x)={x∗∈ E∗:〈x,x∗〉= ‖x‖2= ‖x∗‖2},∀x ∈ E, 其中 〈·,·〉表示 E 与 E∗元素间的广义对偶对. 众所周知, 当 E 为实严格凸 Banach 空间时, 正规对偶映射为单值映射. 为方便起见,仍用J表示单值正规对偶映射.

称多值算子 B:E → 2E∗为单调算子[5]: 若 ∀xi∈ D(B),yi∈ B xi,i=1,2, 均有

若 (1.3) 式中等号成立的充要条件是 x1=x2,则称 B 为严格单调算子. 称算子 B 为极大单调算子: 若 B 单调且 ∀r ＞ 0,R(J+rB)=E∗.

称多值映射 A:E → 2E为增生映射[6]: 若 〈v1− v2,j(u1− u2)〉≥ 0, ∀ui∈ D(A) 和vi∈ Aui,i=1,2,这里 j(u − v) ∈ J(u − v).称增生映射 A 为 m 增生的: 若 R(I+ λA)=E,∀λ ＞ 0.

设 E1和 E2均为实 Banach 空间. 映射 C:E1→ E2称为有界映射: 若 C 将 E1中的有界子集映射成E2中的有界子集.映射 C:E1→ E2称为紧映射:若 C 连续且将 E1中的有界子集映射成E2中的相对紧集.

称函数 Φ :E → (−∞,+∞] 为正则凸函数[6]: 若存在 u0∈ E 使得 Φ(u0) ＜ +∞ 且Φ((1 − λ)u+ λv) ≤ (1 − λ)Φ(u)+ λΦ(v),∀u,v ∈ E 及 λ ∈ [0,1].称函数 Φ :E → (−∞,+∞]是下半连续函数: 若yli→mxinfΦ(y) ≥ Φ(x),∀x ∈ E. 对 E 上 定 义 的正 则 凸函 数 Φ, 其 次微 分∂Φ :E → E∗定义为 ∀u ∈ E,

设 E1和 E2为实 Banach 空间. 则记号“E1→→ E2”表示空间 E1紧嵌入到 E2.

定义1.1[5]设 N 为正整数,Ω 为 RN中有界开集,称 g:Ω ×RN→ R 满足 Caratheodory条件,如果

(i)g(x,·):RN→ R 连续 a.e.x ∈ Ω;

(ii) 映射 g(·,r):Ω → R 可测, ∀r ∈ RN.

引理1.1[7]设 X1,X2,···,XM为实 Banach 空间,则 X1× X2× ···× XM定义为

则 X1× X2× ···× XM成为线性空间. 特别地,当定义如下范数时,X1× X2× ···×XM为实 Banach 空间且 (X1× X2× ···×XM)∗=X∗1× X∗2× ···×X∗M.

引理1.2[5]若 Φ :E → (−∞,∞]为正则凸、下半连续函数,则 ∂Φ :E → 2E∗极大单调.

引理1.3[4]令 Ω 为 RN中的有界区域, 令 Jp:Lp(Ω) → Lp′(Ω) 表示正规对偶映射. 则当1＜p＜+∞ 时,

引理1.4[8]令 Ω 为 RN中的有 界锥 形 区域. 若 mp ＞ N, 则若0 ＜ mp ≤ N 且, 则, 其中 1 ≤ q ＜ q0.

定理1.1[9]令 E 为实 Banach 空间,A:E → 2E为 m 增生映射且 (I+A)−1:E → E为紧映射. 令 C:D(A) ⊂ E → E 为有界映射且存在 λ ∈ (0,1]使得 C(I+ λA)−1:E → E为紧映射. 假设 p ∈ E 且存在正常数 b,r 和满足

∀x ∈ D(A):‖x‖ ≥ r,∀y ∈ Ax,其中 j(x − z) ∈ J(x − z),那么 p ∈ R(A+C).

2 Capillarity 系统非平凡解的存在唯一性

在 (2.1) 式 中, Ω 是 RN(N ≥ 1) 中 有 界 锥 形 区 域 且 其 边 界 Γ ∈ C1(见 文 献 [10]); εi∈ R+∪{0}, λi∈ R+,i=1,2,···,M; ϑ 表示 Γ 的外法向导数;|·| 表示 RN中的范数;〈·,·〉表示 RN中的内积.

gi:Ω × RN× R → R 为满足 Carath´eodory 条件的给定函数,i=1,2,···,M. 假设它们满足以下增长性条件:存在正常数 bi使得

βx为 ϕx的次微分,即 βx≡ ∂ϕx.这里 ϕx= ϕ(x,·):R → R,∀x ∈ Γ,其中 ϕ :Γ ×R → R为给 定 函数, 见文 [11]. 假设 ∀x ∈ Γ, ϕx:R → R 为 正则凸、下半 连续函 数,ϕx(0)=0, 0 ∈ βx(0) 且 ∀t∈ R,函数可测,λ ＞ 0.

引进如下记号:Y=Lp1(Ω)× Lp2(Ω)× ···× LpM(Ω).分别用 ‖ ·‖pi和 ‖ ·‖Y表示 Lpi(Ω)和空间Y 中的范数.令1+1′=1,i=1,2,···,M.

pipi

引理2.1定义 Φi:W1,pi(Ω) → R 为 ∀u ∈ W1,pi(Ω), Z

则

(i) Φi是 W1,pi(Ω) 上的正则凸、下半连续函数. 从而引理 1.2 蕴含 ∂Φi是极大单调算子,i=1,2,···,M.Z

证由类似于文 [10] 可证结论 (i) 和 (iii) 成立. 类似于文 [12] 可证结论 (ii) 成立.

引理2.2[2]定义 Bi:W1,pi(Ω) → (W1,pi(Ω))∗为∀u,v ∈ W1,pi(Ω). 则 Bi极大单调且严格单调,i=1,2,···,M.

引理2.3[2]定义存在 f ∈ Lpi(Ω),使得.对,M.则 Ai是 m 增生映射,i=1,2,···,M.

命题2.1定义 A:Y → Y 为

则A是m增生映射.

证首先注意当时,Lpi(Ω) 为严格凸 Banach 空间, 所以定义在 Lpi(Ω)

上的正规对偶映射为单值映射,i=1,2,···,M.若定义 J:Y → Y∗为

∀u=(u1,u2,···,uM) ∈ Y,其中 Jpi表示 Lpi(Ω) 上的正规对偶映射,i=1,2,···,M,则 J为Y上的正规对偶映射.

事实上,因为 Jpi表示 Lpi(Ω) 上的正规对偶映射,所以由乘积空间的性质和正规对偶映射的定义可知

而且

因此J为Y上的正规对偶映射.

因为 Ai是增生映射,所以有

因此A为增生映射.

至此证明了A是m增生映射.

引理2.4若 η(µi):R → R 单调、Lipschitz 连续具 Lipschitz 常 数µ1且 (ηµ(i))′在 R 上除至多有限点外连续, 其中 µ ＞ 0, 则,1,2,···,M. 进一步由引理 2.1 知·,M.

证因为单调且 Lipschitz 常数为所以存在满足

和

由假设条件知ϕx为凸函数,从而

利用引理 2.1 知

由次微分的定义可知

和

从而

因此结论成立.

命题2.2映射 (I+A)−1:Y → Y 为紧映射.

证若 u+Au=w 且在 Y 中有界, 则只需证明 {u= (u1,u2,···,uM)} 在 Y 中相对紧.

将证明分为以下两种情形:

(i)pi≥ 2.

因此

(2.2) 式蕴含

由 (2.3) 式可知

再由 (2.3) 和 (2.4) 式可知

因 pi≥ 2,故因此在中有界. 利用引理 1.4在 Lpi(Ω) 中相对紧. 因为 Nemytskii 映射连续,所以在中相对紧,i=1,2,···,M. 于是 {u} 在 Y 中相对紧. 至此证明了为紧映射.

为此,定义 η(i)n,θ(i)n:R → R 如下

和

于是

下面计算

因 wi=ui+Aiui, 故

由引理 1.4 知当 N ≥ 2 时,

当N=1时,

命题2.3定义 C:Y → Y 如下∀u=(u1,u2,···,uM) ∈ Y, 其 中 Ci:Lpi(Ω) → Lpi(Ω) 为 Ciui= εigi(x,▽ui,ui),i= 1,2,···,M.则 C:Y → Y 连续.

证由 gi的假设条件可知 Ci:Lpi(Ω) → Lpi(Ω) 有定义且 ∀ui,vi∈ Lpi(Ω),

i=1,2,···,M.由此可知 Ci连续,i=1,2,···,M.从而由乘积空间的性质 C:Y → Y 连续.

命题2.4映射 C(I+A)−1:Y → Y 为紧映射.

证由命题 2.2 和 2.3 易知映射 C(I+A)−1:Y → Y 为紧映射.

定理2.1若存 在 u=(u1,u2,···,uM) ∈ Y 使 得对 f=(f1,f2,···,fM) ∈ Y 具 f/= θ,满足

i=1,2,···,M,这里 θ为 Y 中的零元,则 u=(u1,u2,···,uM) ∈ Y 为 Capillarity 系统 (2.1)的非平凡解.

如果进一步假设 gi(x,r1,···,rN+1) 关于 rN+1单调, 即∀x ∈ Ω 及·,M,那么 Capillarity 系统 (2.1)存在唯一非平凡解.

证若满足 (2.10), 则由命题 2.1–2.4 知定理 1.1 的条件被满足.从而满足算子方程 f=Au+C u.

由引理 2.3, 命题 2.1 和命题 2.3 知 Aθ+C θ = θ. 因此由 f/= θ知 u/= θ. 因 f=Au+C u,故利用引理 2.1 知

因此

利用 Green 公式, ∀vi∈ W1,pi(Ω),

因此

至此证明了 u=(u1,u2,···,uM) 是 (2.1) 式的非平凡解.

最后证明若进一步假设 gi(x,r1,···,rN+1) 关于 rN+1单调,则 (2.1) 式的解还是唯一的.

事 实 上, 只 需 证 明 若 f=Au+C u=Aˆu+C ˆu, 其 中 u=(u1,u2,···,uM), ˆu= ( ˆu1, ˆu2,···, ︿uM), 则:u ≡ ˆu, 即 ui≡ ˆui,i=1,2,···,M.

推论2.1当 i ≡ 1 时,Capillarity 系统退化成如下 Capillarity 方程

当 f(x) ∈ Lp(Ω) 满足时,(2.11) 式存在非平凡解u(x) ∈ Lp(Ω). 若进一步假设关于 rN+1单调, 则 (2.11) 式存在唯一的非平凡解.

注2.1文 [1]在讨论 Capillarity 边值问题 (1.1) 解的存在性时,不仅要证明所定义的算子A 和 L 是极大单调算子,还需要验证一个很复杂的不等式“k2‖Ltw‖ − k3,其中 Lt为 L 的 Yosida 逼近”;文 [3]在讨论 Capillarity 边值问题 (1.2) 解的存在性时,不仅要验证 A 是 m 增生、有界逆紧映射并且满足条件“其中 f ∈ R(A) 且 a ∈ D(A)”,还需要挖掘 A 的值域的特征.

本文采用了不同于文 [1,3]中的证明方法. 从某种意义上讲,研究方法相对简单.

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STUDY ON THE EXISTENCE OF NON-TRIVIAL SOLUTION OF ONE KIND CAPILLARITY SYSTEMS

WEI Li,CHEN Rui
(School of Mathematics and Statistics,Hebei University of Economics and Business Shijiazhuang 050061,China)

In this paper,the existence of solution of one kind capillarity systems was studied. The capillarity systems are converted to nonlinear operator equation in view of the method of defining nonlinear mappings in product space.By using the techniques of Sobolev embedding theorems etc.,the compactness of the nonlinear mapping is proved.Some properties of nonlinear mappings are employed to obtain the result that the nonlinear operator equation has solutions.Finally,the result that capillarity systems have non-trivial solution in Lp1(Ω)× Lp2(Ω)× ···× LpM(Ω) is proved,where Ω is the bounded conical domain of RN(N ≥ 1)andN2N+1＜ pi＜ +∞,for i=1,2,···,M.The system studied and the methods used in this paper extend and complement some previous corresponding work.

product space;m-accretive mapping;Caratheodory’s conditions;embedding; compact mapping;capillarity systems

tion:47H05;47H09

7H05;47H09

O177.91

A

0255-7797(2017)02-0390-11

2014-11-06 接收日期:2015-05-18

国家自然科学基金资助 (11071053); 河北省自然科学基金项目资助 (A2014207010); 河北省教育厅科学研究重点项目资助 (ZH2012080); 河北经贸大学科学研究重点项目资助 (2015KYZ03).

魏利 (1967–),女, 河北乐亭, 教授, 主要研究方向: 非线性泛函分析.