“3 的倍数的特征”的教材比较研究

□朱 军

“3 的倍数的特征”的教材比较研究

□朱 军

“3的倍数的特征”是一节探索发现类的课，学生在探索规律的过程中，发展思维，提升能力。本文研究了五个不同版本的教材，就这个知识点的学习年级的安排、学习材料的选择以及与“2、5的倍数的特征”的联系这几个角度进行了对比分析。各版本教材的编者对学生学习“3的倍数的特征”有相似的理解，也有不同的处理。对教材的对比研究，可以使教师更好地理解教材，促进其教学行为的改进。

3的倍数的特征 教材对比

我国在2001年颁布了《数学课程标准》（实验稿），经过几年的实践下来，课标也进行了修订，于2011年颁布了新的课标。在这两个课标的指导下，各教材也进行了相应的调整。“3的倍数的特征”在某些教材中，前后是有一些变化的，主要表现为以下几个方面：年级的安排、材料的选择及细节处理、课后拓展的知识或问题的设置。下面笔者来谈谈具体的变化，以及为什么会有这些变化。

一、学生在哪个年级学习“3的倍数的特征”比较合适

在不同版本的教材中，对“3的倍数的特征”这一内容的教学时间并不统一，分别安排在四下、五上、五下这三个学期。而两个课标颁布以后，也有个别版本调整了学习的年级，具体见下表。

表1 各版本教材内容的年级安排

北师大版、青岛版、人教版有微调，变化最大的是苏教版，原来安排在四下，现在改为五下。多数教材把这个内容安排在五年级学习，这是出于怎样的考虑？

从知识内在逻辑的角度来看，“3的倍数的特征”为“因数和倍数”单元的一个内容，既是自然数知识的深化，又是接下来要学习的分数单元的重要基础。

另一方面，从学习者的认知规律来看，这个内容的重点是对一个数学规律的探索（北师大版里这个内容的标题前加上了“探索活动”几个字），需要学习者具有一定的数学学习水平及逻辑分析能力，五年级是学生发展抽象逻辑思维能力的起步阶段，放在这个年级是合适的。

二、各版本教材为学生的探究活动提供了什么学习材料

从学习论的角度看教材，教材的本质就是“学生学习的材料”。那么，就这节课而言，学生怎样来探究呢？教材会给学生提供怎样的“学材”，才能引导他们去发现规律、发展思维？

表2 各版本教材提供的学习材料

续表

我们可以看到，在各版本的教材中，有一个非常受青睐的学习材料——百数表。但是同样的“百数表”，各个版本都是一样的吗？仔细研读，发现编者们对学生探究能力的理解以及细节上的处理都有不同之处。

（一）利用数表，探究发现

北师大版、青岛版、苏教版的新旧教材中都有“百数表”的应用，人教版的新教材也加入了这一元素。具体如下。

人教版旧版：

人教版新版：

（1）在表中将3的倍数涂上红色。

（2）横着看，前10个3的倍数，个位分别是哪些数字？判断一个数是不是3的倍数，只看个位行吗？

（3）斜着看，你发现了什么？

人教版旧教材，根据问题，提供了小组展开讨论的场景图。在图中，我们看到了3的乘法算式（貌似不需要百数表），看到了学生的猜测、反驳、验证，这也可以视为学生如何开展研究、如何参与小组讨论的一种示范。

人教版新教材，增加了百数表，而且有非常具体的操作要求：

（1）在表中将3的倍数涂上红色。

（2）横着看，前10个3的倍数，个位分别是哪些数字？判断一个数是不是3的倍数，只看个位行吗？

（3）斜着看，你发现了什么？

这是众多版本中，关于“百数表”最具体的使用说明书。人教版面对广大的学生群体，特别要关注到一些学习能力一般或偏弱的学生，这样具体明确的要求，可以使这部分学生知道：我要做什么。很多时候课堂中的探究活动形同虚设，就是因为很多学生不知道自己该做什么。

在两个版本中都看到了小蜜蜂的启发。旧版：“把3的倍数的各位上的数相加，看看你有什么发现。”新版：“任意找几个3的倍数，把各位上的数相加，看看你有什么发现。”旧版中的话，只是提供了线索，重在得出结论。而新版加了“任意找几个3的倍数”，那是基于学生已有的初步发现，再找一些例子继续验证，是一种研究方法的指导。

总体来说，人教版新教材提供了百数表，用明确、具体的操作语言帮助学生探索规律，并启发学生举例验证发现的规律，与旧版相比，学生的探究活动更完善了。

（二）重视思辨，验证结论

北师大版的新旧教材的大致环节不变，但在许多细节上有了变化，具体如下：

北师大旧版：

北师大新版：

我们注意到，北师大的新旧版本中有一个共同点：规律是通过一个较权威的人说出来的。旧版中由一个戴博士帽的同学（现实班级中的智慧担当）来启发大家：“将每个数的各个数位上的数字加起来试试看。”新版中则是白胡子老爷爷来宣布结论：“你知道吗？这些数的各个数位上数字之和都是3的倍数。”小学生从百数表中去发现3的倍数的特征，并不像成人所想的那么容易。先提供百数表让学生探究，但是如果学生发现不了，那就给予启发，直接告知也没有关系。重要的不是结论，而是验证！在新版本中，小姑娘说：“是这样吗？我找几个数看看……”这就是在验证，是需要从小培养的品质：即便权威人士讲话，我也要心中存疑，自己试试看！而小男孩则是推广到更大的数中去验证，看三位数、四位数（甚至更大的数）是不是也有这样的特征。

北师大版教材不看重这个特征是否学生自己发现的，而更重视学生的思辨（合理吗）及验证过程（是这样吗）的体验。

（三）继承传统，操作感悟

尽管“百数表”深受各教材编者的青睐，但是我们也注意到，苏教版、浙教版借助了传统的学具，让学生通过操作来感悟“3的倍数的特征”。

苏教版：

浙教版：

苏教版把这个单元的学习从四年级调整到五年级，新、旧版本中都是用百数表的，但是，在新版中的百数表下面有这样一句话：“从个位上看不出3的倍数的特征，该怎么办？”（旧版中问的是：“个位是3，6，9的数是3的倍数吗？”）也就是说，编者明白，仅靠观察百数表里3的倍数，学生仍很难发现特征。于是，新旧版本中都用上了传统的学具——计数器。

苏教版的新版中在计数器的环节分为三个层次：（1）在计数器上分别表示出几个3的倍数，看看各用了多少个珠子；（2）找几个比较大的3的倍数，在计数器上表示出来，算一算，每个数所用的珠子的个数各是多少；（3）找一些不是3的倍数，看它各位上的数的和是不是3的倍数。前两个层次的操作可以帮助学生初步发现：计数器上的3的倍数，其珠子的总个数也是3的倍数，就是各个数位上的数的和是3的倍数。第三个层次是找反例，看看不是3的倍数，是否还有这个规律呢？苏教版的这个研究过程比较完整。

浙教版是选用数字卡片来组成三位数，主要分这样几个层次：（1）用1、2、3组成三位数，发现所组成的6个三位数都可以被3整除。（2）把2换成4，发现用1、3、4所组成的6个三位数都不可以被3整除；（3）把2换成5，发现用1、3、5组成的三位数都能被3整除。学生会发现：能不能被3整除，与个位上是几无关，与选了哪几个数有关。能被3整除的数，所选的数字之和也能被3整除。

三、各版本教材如何处理“3的倍数的特征”与“2，5的倍数的特征”间的关系

“3的倍数的特征”与“2，5的倍数的特征”之间的关系比较特殊，一方面，它们都是研究某个数的倍数的特征，背后有着相同的原理；另一方面，这两个知识的结论及规律发现的难易程度都不同。小学生通过观察百数表，容易发现“2，5的倍数的特征”（英国的课标就把这个知识渗透到小学一、二年级）。“3的倍数的特征”就不能通过观察个位上的数来判断，而且学生还很容易受到负迁移。

那么，如何处理这两个知识点的关系？有些版本的教材回避了联系，独立学习“3的倍数的特征”。而北师大版与青岛版都比较重视这两者的联系。

（一）复习旧知识，引入新问题

北师大版特别重视复习引入，在新旧两个版本中，都有所体现。

旧版的引入：

旧版中，“我们研究了2，5的倍数的特征，那么3的倍数有什么特征呢？”这是一般教师上课时会用的开场白，但学生会怎么回答？旧版教材中并没有体现。

新版中，仍然沿用了原来的问题，但多了三句学生的对话。为什么要加这几句话？这是经过实践后的结果，这几句话反映了多数学生当时的真实表现。教材特别加了这几句话，目的是希望教师在上课时能重视学生的猜测，他们会受到上节课的影响，以为判断“3的倍数”也要看个位，个位上是3，6，9的数是3的倍数。但这是不是坏事呢？显然，错误的猜测可以带给学生思辨的机会，“所有个位上是3，6，9的数都是3的倍数吗？”“个位上不是3，6，9的数会不会是3的倍数呢？”

这样，“猜测”环节不应只是走过场，而是成为探究活动的预热，因为猜测过程本身就是一个思辨的过程。

（二）两个知识点，合成一节课

青岛版教材把这两个知识整合成一节课。在旧版中，在百数表中分别用三种颜色标出2，5，3的倍数进行观察；在新版中，2，5的倍数的特征仍然用百数表研究，但3的倍数的特征却用计数器来研究。我们可以想象，学生用三种颜色标出2，5，3的倍数，他们看到的是一张信息量过大的数表，规律显得模糊，更不容易被发现。

青岛版旧版：

旧版中，出现的几个师生对话框可以视为编者想象中的小组讨论、课堂交流的场景。“3的倍数有什么特征呢？”（问题的提出）“个位上的数没有什么规律。”（对特征的猜测）“将各个数位上的数加起来，你能发现什么？”（教师的启发）“24是3的倍数，2+4=6，6÷3=2 45也是3的倍数……”（举例验证）“我发现……”（得出结论）。

青岛版新版：

新版教材中，对话比旧版多。由主题情境图提出问题：“三人可以完成一组叠罗汉表演，叠罗汉表演可以选派多少人参加？”（顺便说一下，由具体情境引入的只有青岛版）

那用不用百数表呢？从对话中可以看出，学生可以用百数表研究，但能不能从中得出结论呢？不一定。更大的可能是学生发现：“个位上的数没有什么规律。”

正因为从百数表中不一定能得出结论，所以新版教材才补充了计数器，将教师直接的启发改为了任务布置：“找几个3的倍数用计数器表示出来，看看各用了几个珠子，你有什么发现？”让学生关注“用了几个珠子”，就是引向“各数位上的数之和”。

接下来就有两个问题：

1.学生能不能关注到：“计数器上的3的倍数，所用的珠子的总个数也是3的倍数。”

2.学生能不能归纳出：“珠子总个数”就是“各个数位上数的和”。

如果学生在研究中顺利地完成这两个问题，那结论的得出就水到渠成了，即“各个数位的数字的和是3的倍数”。新版并没有满足于得出结论，反过来逆命题成立不成立呢？“各个数位的数的和是3的倍数，这个数是不是3的倍数呢？”然后“再找一些3的倍数来验证一下”。显然，新版本展示了一个完整的探究过程。

2011年版《课标》与2001年《课标》最大的不同，是变“二基”为“四基”，补充了“基本数学思想”“基本数学活动经验”。探究的一般步骤：提问→猜想→举例→结论→验证，这就是一种“基本数学活动”，并且为今后的学习积累经验。从数学基本思想的角度来看，学生体验了由特殊到一般的不完全归纳的过程，这是一种基本的、重要的思想方法。

四、教材比较对教学的启示

我们从北师大版、青岛版、人教版、苏教版中看到，编者在修改教材时把探究活动放到了首位，但同时又尊重了学生的认知规律，没有超越学生的能力。因此，我们在教学中也要注意以下几点。

（一）充分展开探究活动

对“3的倍数的特征”一课教学中，学生对基本知识（各位数字的和是3的倍数）、基本技能（迅速判断一个数是否3的倍数等）的掌握固然重要，但这节课的价值更在于基本数学思想、基本数学活动的体验。课堂上学生大胆猜测，即便错了也有价值，因为发现问题并能及时质疑，可以促进学生思辨能力的提升；在过程中小心求证，每个学生都要在活动中有事可做，教材提供了“百数表”，学生在百数表中圈出3的倍数，有序观察（横着看、斜着看），在这个过程中也许有同学会发现规律。如果发现不了，也没有关系，一种方式是教师直接提供暗示，让学生通过例证，确认结论；另一种方式是教师提供学具，如计数器、数字卡片等，引导学生展开二次研究，发现规律。但教师要注意，不要让学生满足于此，还要他们再找些大数或反例来验证，让整个探究活动得以充分展开。

（二）尊重学生认知起点

教师尊重学生的认知起点，其实就是承认学生的认知差异。

其一，要充分认识到学生发现规律的困难性。尽管教材的编者想了很多办法，但是不可否认的是，若没有提前学习，学生真的不容易发现“3的倍数的特征”。教师一定要从这部分学生的实际水平出发，不可提出过高的要求，但又要促使这些学生经历整个探究过程，发展思维能力。

其二，要看到部分学生已经知道特征的现实。

笔者对使用浙教版教材的学生做过一个小测试，被测学生为四下年级，正好学习了“2，5的倍数的特征”，马上要学习“3的倍数的特征”。被测的60名学生，有25人知道3的倍数的特征，约占总人数的40%。

教师在设计教案时，如何使这两部分学生在各自的基础上都有所收获，是需要进一步思考的问题。

[1]折延东，周超，黄灿灿.论教材的本质及其重建[J].课程·教材·教法，2016，（6）.

[2]曹一鸣.十三国数学课程标准评介（小学、初中卷）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

（浙江省杭州崇文实验学校 310016）

（注：本文作者系朱乐平数学名师工作站“一课研究”组成员）