导数中涉及“ex，lnx”的几种模型

黄旭东

在历年的导数考题中，常涉及[ex，lnx]等指、对数形式. 在求导运算过程中，出现[ex]与含[x]多项式或[lnx]与含[x]多项式混杂情形，导致后续讨论的复杂化. 笔者经仔细研究近几年全国卷试题，发现此类问题可通过化归变成几种模型，再求解. 现整理如下，供参考.

[g（x）+h（x）ex或g（x）+h（x）e-x]化归成[f（x）ex或f（x）e-x]

例1 已知函数[f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2]有两个零点，求a的取值范围.

解析 由函数有两零点，且显然[x=1]不为零点得，即[f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0]，则有[（x-2）ex（x-1）2=-a].

记[]，

则[g（x）=（x-1）3ex-2（x-1）（x-2）ex（x-1）4=（x-2）2+1ex（x-1）3].

则[x∈1，+∞， g（x）>0， g（x）]为增函数；

[x∈-∞，1， g（x）<0， g（x）]为减函数.

且[x→1， g（x）→-∞； x→-∞， g（x）→0].

由[x<2，g（x）<0]作图：[y=g（x）与y=-a.]

又直线[y=-a]与函数[y=g（x）]有两交点，

故[-a<0，即a>0.]

点评 此题的官方标准答案是直接求导进行讨论，讨论过程相当复杂；而本题通过转换函数的形式，化归成[f（x）ex]型的函数，则变得相当简洁. 一般地，由于[f（x）ex′=f（x）+f（x）ex]，[f（x）e-x′=f（x）-f（x）e-x]，其中[f（x）]为多项式函数，其导数脱离了多项式与[ex， e-x]的纠缠，大大简化了计算，涉及此类问题的恒成立、存在性问题与零点问题，转化成此种形式，不失为一种有效方法.

[h（x）+g（x）lnf（x）]化归成[lnf（x）+k（x）]

例2 已知函数[f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）].

（1）當[a=4]时，求曲线[y=f（x）在1，f（1）]处的切线方程；

（2）当[x∈1，+∞]时，[f（x）>0]，求[a]的取值范围.

解析 （1）略.

（2）由[f（x）>0]得，

[（x+1）lnx-a（x-1）>0?lnx-a（x-1）x+1>0，x>1].

记[g（x）=lnx-a（x-1）x+1>0，x∈1，+∞]，

故只需[g（x）>0.]

则[g（x）=1x-2ax+12=x2+21-ax+1xx+12]

[=x-a-12+2a-a2xx+12，x∈1，+∞].

记[h（x）=x-a-12+2a-a2].

①当[a≤2]时，

则[a-1≤1，h（x）为增函数.]

[则g（x）=h（x）xx+12≥h（1）xx+12=4-2axx+12≥0].

故[g（x）]在[（1，+∞）]上为增函数，则[g（x）>g（1）=0].

故[lnx-a（x-1）x+1>0]成立.

②当[a>2]时，

[g（x）=x2+21-ax+1xx+12=x-a-1+a2-2a?x-a-1-a2-2axx+12.]

又[a-1-a2-2a=1a-1+a2-2a<12-1+0=1，]

[a-1+a2-2a>1]，

则[x∈1，a-1+a2-2a，g（x）<0.]

[则g（x）g（1）=0]恒成立相矛盾.

综上所述，[a∈-∞，2， f（x）>0].

点评 对形如[h（x）+g（x）lnf（x）]结构的函数（其中[h（x），g（x），f（x）]为多项式函数），由于求导过程中[lnx]与多项式函数不能分开，特别是含参数时，问题的讨论将变得十分复杂. 而除以[g（x）]化归成“[lnf（x）+k（x）]”型后，由[lnf（x）+k（x）′=f（x）f（x）+k（x）]，则其导数只含多项式函数，大大简化运算！

“[ex+g（x）lnf（x）]”混合型，指对数分离最值化归

例3 设函数[f（x）=aexlnx+bex-1x]，曲线[y=f（x）]在点（1，[f（1）]）处的切线为[y=e（x-1）+2].

（1）求[a，b]；

（2）证明：[f（x）>1].

解析 （1）[a=1，b=2]（过程略）.

（2）[f（x）=exlnx+2ex>1]

[?xlnx+2e>xe-x，][x∈0，+∞.]

记[g（x）=xlnx+2e，x>0，]

则[g（x）=1+lnx，x>0.]

故[x∈0，1e，g（x）<0，g（x）为减函数；]

[x∈1e，+∞，g（x）>0，g（x）]为增函数.

故[g（x）min=g1e=1e].

又记[h（x）=xe-x，x>0]，

则[h（x）=1-xe-x，x>0].

故[x∈0，1，h（x）>0，h（x）为增函数；]

[x∈1，+∞，h（x）<0，h（x）]为减函数.

则[h（x）max=h（1）=1e].

[∴g（x）≥h（x）]，即[xlnx+2e≥xe-x].

又由于[g（x）与h（x）]的最值点不在同一点取得，故等号不成立，即[xlnx+2e>xe-x]，故[f（x）>1].

点评 对于形如[ex+g（x）lnf（x）]的函数，求导后会出现[ex，lnf（x）]混合交叉的形式，给我们讨论函数的单调性制造障碍. 在求恒成立题目时，可将指、对数分离，化成一边为指数，一边为对数，再利用[g（x）≤f（x）]恒成立[?g（x）max≤f（x）min]来操作. 此种方法对一些结构混杂形的试题效果较好，其本质是放缩确界比较法，由于两边自变量[x]的一致性，放缩尺度不好控制，故此法只针对混杂形结构的复杂函数，一般函数不要轻易运用.

[练习]

1. 已知函数[f（x）]=[x2+ax+b]，[g（x）]=[ex（cx+d）]，若曲线[y=f（x）]和曲线[y=g（x）]都过点[P（0，2）]，且在点[P]处有相同的切线[y=4x+2].

（1）求[a]，[b]，[c]，[d]的值

（2）若[x]≥-2时，[f（x）]≤[kg（x）]，求[k]的取值范围.

2. 已知[f（x）=a（x-1）lnx+1， a∈R].

（1）讨论函数[f（x）]的单调性；

（2）若[x∈1，+∞，f（x）>x-alnx]恒成立，求[a]的范围.

3. 求证：[x∈0，+∞]时，[ex-x-lnxx-12>0.]

[参考答案]

1. （1）[a]=4，[b]=2，[c]=2，[d]=2 （2）[k∈1，e2]

2. （1）略 （2）[a∈1，+∞]

3. 略