基于SAFE方法的钢轨梳状传感器激励特定模态导波研究

胡剑虹,唐志峰,蒋金洲,吕福在,潘晓弘

(1.中国计量大学 机电工程学院，浙江 杭州　310018；2.浙江大学 数字技术及仪器研究所，浙江 杭州　310027；3.中国铁道科学研究院 铁道建筑研究所，北京　100081；4.中国铁道科学研究院 高速铁路轨道技术国家重点实验室，北京　100081；5.浙江大学 现代制造工程研究所，浙江 杭州　310027)

近年来，随着高速铁路和重载铁路的不断发展，对钢轨进行实时的在线无损检测成为迫切需要解决的课题。由于导波检测的距离长、效率高，因此近年来其在钢轨无损检测中的应用越来越受到国内外研究人员的重视[1-4]。

实现在钢轨中激励特定模态的导波是对钢轨进行导波无损检测的基础。由于钢轨截面不是规则的对称结构，使得导波在钢轨中的传播极为复杂。ZUMPANO[2]，LEE[3,5]，BARTOLI[6]，RYUE[7]等人采用有限元(FEM)方法对导波在钢轨中的传播进行了建模。FEM模型多采用ABAQUS等通用的商用有限元软件平台，建模过程相对简单。但由于钢轨属于细长结构，导致网格数量巨大、计算效率低下。针对这个问题，LEE[5]，HAYASHI[8]，BARTOLI[9]等人将谐波假设引入FEM分析，提出了半解析有限元(Semi-Analysis Finite Element，SAFE)方法。由于钢轨频散特性的复杂性，使得开展钢轨导波实验研究非常困难，HAYASHI[10]等提出了优势模态概念，并用压电传感器进行了试验。以上研究表明，钢轨中的导波模态极其复杂，采用传统的传感器激励导波时会在钢轨中产生多种模态的导波，无法实现特定模态导波的激励。本文基于SAFE方法，进行梳状传感器在钢轨中激励特定模态导波的研究。

1　基于SAFE方法的钢轨导波控制方程、相速度和群速度

1.1　导波控制方程

典型的钢轨结构如图1所示，钢轨任意截面的形状和几何尺寸都是相同的，而且钢轨在长度方向(z轴)的尺寸要远远大于截面的尺寸。

对于沿着z轴方向传播的导波，SAFE方法引入谐波假设。如果参考截面的位移向量为u0，那么

图1　钢轨结构示意图

钢轨任意截面的位移向量u可以表示为

u=u0ei(ξz-ωt)

(1)

式中：ξ为导波的波数；ω为导波的角频率；t为时间参数。

根据弹性力学理论，钢轨中的基本变量，如位移u，应变ε和应力σ可以表示为

u=(uxuyuz)T

(2)

ε=(εxxεyyεzzεyzεzxεxy)T

(3)

σ=(σxxσyyσzzσyzσzxσxy)T

(4)

式中：ux，uy，uz分别为x，y和z方向的位移；εxx，εyy，εzz，εyz，εzx和εxy分别为x方向、y方向、z方向的应变以及y方向和z方向间、z方向和x方向间、x方向和y方向间的剪应变；σxx，σyy，σzz，σyz，σzx和σxy分别为x方向、y方向、z方向的应力，以及y方向和z方向间、z方向和x方向间、x方向和y方向间的剪应力。

在参考截面划分有限元网格，那么单元的位移向量u(e)可以用节点位移表示为

u(e)=N(e)q(e)ei(ξz-ωt)

(5)

式中：q(e)为节点位移向量；N(e)为单元形函数矩阵。

N(e)通常可以表示为

(6)

式中：Ni为单元中第i个节点的形函数。

根据应变和位移之间的关系(几何方程)，单元的应变向量ε(e)可以表示为

(7)

其中，

将式(5)代入式(7)，可以得到

(8)

应用Hooke定理(物理方程)，单元的应力向量σ(e)可以表示为

σ(e)=k(e)ε(e)

(9)

式中：k(e)为网格单元的弹性矩阵。

钢轨中沿z轴传播的导波的控制方程可以通过Hamilton原理推导。根据Hamilton原理，在无外载荷的情况下，有

(10)

式中：ρ为钢轨的密度；V为网格单元的体积。

式(10)左边第1项表示系统的动能，第2项表示系统的应变能。

将式(5)代入式(10)的动能项，并忽略结果中的谐波项ei(ξz-ωt)，可以得到

(11)

式中：Ω为网格单元在参考截面的面积。

类似，将式(8)和式(9)代入式(10)的应变能项，则有

(12)

将式(11)和式(12)代入Hamilton公式，可以得到网格单元的导波控制方程为

(13)

采用矩阵组装技术可以将网格单元的导波控制方程扩展成为钢轨的导波控制方程

(K1+iξK2+ξ2K3-ω2M)Q=0

(14)

式中：K1，K2，K3和M分别为总体的刚度矩阵和质量矩阵；Q为总体的节点位移向量。

1.2　导波相速度和群速度

研究钢轨的导波控制方程可以发现，K1，K3和M是对称矩阵，而K2是反对称矩阵。为了求解导波的控制方程，可以按照BARTOLI的方法[9]引入转化矩阵D。D是一个和K2同阶次的对角矩阵，D中与ux和uy有关的分量为1，与uz有关的分量为i，即

(15)

(16)

通过式(16)，可以建立起ξ与ω之间的关系，即频散关系。频散关系通常用ω-ξ关系描述，即对于给定的ω，通过控制方程求得相应的ξ。为了便于计算ω-ξ关系，式(16)可以进一步改写为

(17)

式(17)是一个关于特征值ξ的特征方程，通过求解这个特征方程可以获得钢轨中导波的频散关系。

根据ω-ξ关系，可以定义计算导波的相速度cp，即

(18)

根据定义，导波的群速度cg可以表示为

(19)

通过式(19)计算群速度时无法避免微分过程，会引起在一些ω-ξ曲线陡峭的地方误差过大。为了避免微分计算过程，可以按照HAYASHI的方法[8]计算群速度，即

(20)

2　钢轨频散曲线计算

本文选择60 kg·m-1钢轨作为研究对象，钢轨的几何尺寸按照GB 2585—2007中选取，钢轨的密度取7 850 kg·m-3，弹性模量取210 GPa，泊松比取0.28。

本文选用三角形网格对钢轨截面进行网格划分，网格的最大尺寸为5 mm，钢轨截面的网格划分如图2所示。

图2　钢轨截面的有限元网格

根据SAFE模型，计算得到的钢轨导波相速度频散曲线和群速度频散曲线分别如图3和图4所示。

图3　钢轨的相速度频散曲线

观察钢轨的相速度和群速度频散曲线可以发现，钢轨的频散曲线要比规则的板状结构或圆柱结构的频散曲线密集，有多种导波模态共存，这是由于钢轨的复杂而不规则的截面造成的。因此在钢轨中激励导波时，不可避免地会激励出多种模态导波。此外，导波经过端面，缺陷等的时候，会引起极其复杂的模态转换，也会在钢轨中产生多种模态的导波。

图4　钢轨的群速度频散曲线

3　钢轨特定模态导波激励

根据ROSE的理论[11]，梳状传感器基于等相位角原理设计，即传感器中的任何模块激励出来的导波在离开传感器时具有相同的相位角φ=ξz-ωt。因此，梳状传感器能保证其在钢轨的相速度频散曲线上具有固定的工作点，从而激励出特定模态的导波。

根据钢轨的实际应用条件，将梳状传感器布置在轨腰和轨底部分以激励和感应导波，如图5所示。这种传感器布置方式不影响列车从钢轨上行驶，可以实现导波在线的实时监测。梳状传感器沿钢轨轴向布置的结构如图6所示。

图5　梳状传感器在钢轨截面的布置图

如果需要传感器激励出的导波沿图6所示的箭头方向传播，则必须使传感器中2#，3#和4#共3个模块激励出来的导波在传播到1#模块时，与1#模块激励出来的导波具有相同的相位角。本文取梳状传感器中各模块间的间距ΔL=λ/4(λ为导波的波长)，则梳状传感器中2#，3#和4#模块发出的

图6　梳状传感器沿钢轨轴向布置图

激励脉冲的相位分别超前1#模块的1/4，1/2和3/4个周期。以1#模块所处的位置和激励导波的时刻为基准，计算1#模块激励出来的导波，以及2#，3#和4#模块激励出来的导波在传播到1#模块时，各导波的相位角分别为

(21)

因此，1个梳状传感器在特定的频率f下只能激励出特定波长为λ、特定相速度为cp的导波，这样就确定了梳状传感器的工作点。梳状传感器激励出的导波的相速度cp、频率f和梳状传感器各模块之间的间距ΔL存在以下关系。

cp=fλ=4fΔL

(22)

本文设计的工作频率分别为32和64 kHz的梳状传感器的参数见表1。

表1　梳状传感器参数

将表1中的参数代入式(22)，得到梳状传感器的频率特性和相速度频散曲线如图7所示。图中A和B分别为32和64 kHz梳状传感器的工作点。

在相速度频散曲线上确定了梳状传感器的工作点以后，根据SAFE模型可以在群速度频散曲线中找到对应点，以确定梳状传感器所激励模态导波的群速度，如图8所示。

为了检验梳状传感器具备在钢轨中激励特定模态导波的能力，本文将32和64 kHz梳状传感器布置在钢轨上，用导波检测仪采集导波的回波信号，根据钢轨5.5 m处端面信号分析导波在钢轨中实际的群速度。梳状传感器在钢轨上的布置位置如图9所示，32和64 kHz导波的回波信号分别如图10和图11所示。

图7　梳状传感器的频率特性和相速度频散曲线

图8　梳状传感器激励导波的群速度

图9　钢轨梳状传感器布置位置示意图

图10　32 kHz导波回波信号

根据钢轨端面导波的回波信号可以计算出导波在钢轨中实际的群速度，其与SAFE方法的理论计算结果对比见表2。

导波频率/kHz理论群速度/(m·s-1)实际群速度/(m·s-1)误差/%32262625831646427342750059

分析表2中的理论和实际群速度，可以看到：SAFE方法计算得到的理论群速度和实际群速度基本一致，误差在允许的范围之内，这说明梳状传感器能够激励出特定模态的导波。

从图10和图11还可以看到，除了2个显著的端面信号之外，还有许多小信号，这说明钢轨中除了梳状传感器激励的目标模态导波之外，还有其他多种模态共存，所有模态中目标模态具有大部分能量。

4　结　语

本文建立钢轨的SAFE模型，推导导波的相速度和群速度计算公式，并计算得到导波在60 kg·m-1钢轨中传播的相速度和群速度频散曲线。设计适合钢轨的32和64 kHz梳状传感器，结合梳状传感器的频率特性在钢轨导波相速度频散曲线上确定梳状传感器的工作点，利用钢轨的SAFE模型计算梳状传感器工作点对应的群速度。利用设计的梳状传感器在钢轨上进行的导波激励实验结果表明，实测群速度与理论计算所得的群速度基本一致，说明梳状传感器能够激励特定模态的导波。

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