高中数学中的“怪异函数”

王子成

目前，高考命题的形式越来越灵活，无论是高考真题还是常规的测试，各种各样的怪异题是屡见不鲜。函数是高考的一大重点，函数部分出现各种各样古怪的题是历次考试的惯例。通过对以往考试中函数题型的梳理，归纳出几类有代表性的函数，并总结了对应问题的解决思想和方法。

高考函数怪异一、绝对值函数

顾名思义，绝对值函数指的是函数里面带有绝对值的函数，通常这类问题不容易找到解题的着手点。处理绝对值函数的问题通常有两个思路：①分类讨论；②画图像，数形结合分类讨论，一般都是按“零点分段讨论”，此类问题只要讨论不重复不遗漏，计算认真，一般不容易出问题，不做详细说明。下面重点说说图像法。绝对值函数的图像画法，除了上面的零点分段讨论，另外要注意的是图像的翻转变换：

分析：首先这是个不等式恒成立问题，不等式恒成立问题通用的做法是划归为求函数最值问题。如果把不等式左右两边展开讨论一下，这是一个含有4个绝对值的函数，讨论最值是非常麻烦的事情，因此分类讨论不是很适用这道题。

二、最值函数

分析：新定义型题最重要的即使根据定义解题，划归为我们熟悉的问题。第一二问不属于我们今天讨论的范畴，第三问刚好问的就是最大值函数，不过取值是正弦余弦函数总绝对值最大的那个值。不画图像很容易将函数的解析式求错，最主要问题是分段函数哪里分段容易搞混淆。

三、符号函数、狄利克雷函数

符号函数是个非常特殊的函数，它的解析式是没办法写出来的，根据自变量的符号决定函数的值：

四、总结

通过前面几类怪异函数的解题的分析，我们发现这些问题的解决也不是非常困难的事情，但是里面有几点特别值得注意的：

1.讀懂题不可疏忽，基本上这类题都算新定义题，有些定义是根据课本的定义改编的，切忌自己按照原来的认识解题，按照题目给定的定义解题是最基本的要求。

2.划归思想的运用非常重要。划归和转化思想是这类题解决的关键，我们平时练习过的题在高考的时候肯定不会出现，高考中出现的题要学会转化成平时自己练习过的题。这样再怪异的函数也怪不起来，本质上就是新瓶装旧酒。

3.数形结合的思想也是解决函数题的一大利器，千万不可小觑画图像在解决怪异函数问题中的作用。从前面的例题来看，陌生的函数我们没有现成的公式可以套用，理解起来也是比较抽象的。通过函数图像的描绘，很多性质就自然而然出来了，可以极大的帮助我们快速的找到解题的突破口。

参考文献：

＼[1＼]林国夫.解决高斯函数的函数值问题的策略初探＼[J＼].数学通讯，2012，（6）：59-61.

＼[2＼]江杰.高考中的狄利克雷函数＼[J＼].中国科教创新导刊，2013，（09）：83.

＼[3＼]康宇，马跃进.绝对值函数的解析性质与应用＼[J＼].数学通讯，2009，（24）：14-16.

＼[4＼]王勇，汪兰兰.活跃在高考中的最值函数＼[J＼].中学生理科应试.