导数几种问题的分析

王炫凯

摘要：导数因其在函数研究方面的独特作用，尤其在求函数的最值、极值、单调性等方面，非常方便、简洁。同时，为解决函数问题提供了新的解题工具，拓宽了解题方法。以导数在函数最值及单调性中的应用与拉格朗日乘数法为例，通过几个问题总结导数的解题思路与方法。

关键词：导数 函数 拉格朗日乘数法

导数是微积分的基本知识，也是近年新课改后新增的内容。导数是具有研究功能和解决实际问题的有力工具。导数可以从不同的角度衍生知识，灵活考察知识的综合运用和解决数学问题的能力。导数与不等式、数列、函数等知识的交集命题，应用数学知识解决综合能力问题已成为今后命題的趋势和特点。本文以导数在函数最值及单调性中的应用与拉格朗日乘数法为例，通过几个问题总结导数的解题思路与方法。

一、导数在求函数极值中的应用

函数中的最值问题是高中数学中一个核心问题，也是一个判断学生数学优劣的分界点。在高中课本引入导数以前，存在许多种求函数最值的方法，但是引入导数后，许多求最值类型的题目不仅多了一种解题的思路与方法，更是一种解决问题的简便方法。

问题分析：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点。（2）若函数f（x）在区间（a，b）内有极值，那么f（x）在a，b）内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值。（3）对于任意给定求函数极值的题目，首先先求出其定义域，再根据定义域进行下一步计算。

二、导数在求函数单调性中的应用

导数可以判断函数的增减性，在函数的一阶导数为零的点为增减分界点，一阶导数大于零，函数在有效区间内单调递增；反之，一阶导数小于零，函数在该区间内单调递减。利用函数的单调性可以很明了的绘画出函数的大致图像，对函数的增减性有很强的直观性，能够很简便的求出函数的单调性。下面列举以下题目进行解答以说明导数在求增减性中的作用。对于这种超越函数求单调性一般比较复杂，尤其在引入参数后会使问题变得极其复杂。

三、拉格朗日乘数法

四、总结

导数的应用还有许多，如导数在根式曲线、对数曲线、分式曲线、指数曲线、圆锥曲线、三角曲线的应用。由于篇幅限制，关于导数这些方面的应用就不再赘述，但是导数应用所要用到的基本的思路与原理都是大同小异的。

本文着重讨论了在求函数最值，函数单调性以及拉格朗日乘数法中导数的应用，事实上，导数的应用范围何其之广，本文提到的只是凤毛翎角，例如在解析几何与立体几何中以及在向量中，都具有重要的应用。总之，虽然新课标的课程大纲将导数移至高中数学的学习，增加了高中数学课程的学习内容，但导数作为大学课程《高等数学》中微积分的学习基础及其本身具有的实际应用性，能够非常好地解决一些例如极值问题、最值问题；在单调性问题、不等式证明等问题中具有突出的实际运用性，是高中数学学习过程中的一个很好的学习工具。与此同时，导数是在各类考试中重点考察的内容，占非常大的分数比例，一般试卷压轴题出导数的题目概率及其之高。因此，在学习导数过程中要注意理解导数的一些常规运用并且理解导数的意义，在基础问题方面勤加练习，做到举一反三，同时熟练的掌握导数的运用，才能在考试中发挥出理想的实力。

参考文献：

[1]常利军.探析导数在高中数学中的应用[J].语数外学习，2013，（05）：7+9.

[2]康丽坤.导数在数学解题中的一些应用[J].青春岁月，2012，（02）：186-187.

[3]韦洲.导数在高中数学解题中的运用[J].新课程，2014，（10）：87.