“向量在物理中的应用举例”应突出向量的工具性

摘要：人教A版必修4“向量在物理中的应用”中的例、习题的解答，可以不涉及直角三角形知识，直接用向量运算解决向量问题，使解答过程更为简洁，使学生更深刻地体会向量的工具性.

关键词：必修4；向量；物理

G633.7

向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象【1】.围绕此目标，人教A版必修4在“2.5.2 向量在物理中的应用举例”中给出了例3、例4及习题4（A组）三道题，三道题的解答都用到直角三角形的知识，笔者认为可以不用直角三角形运算，而是直接用向量的知识进行运算，使过程更为简洁，让学生更深刻地体会向量的工具性.

例1（人教A版必修4第111页例3） 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？

课本的解答：不妨设 ，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道

通过上面的式子，我们发现：当 由 逐渐变大时， 由 逐渐变大， 的值由大逐渐变小，因些 由小逐渐变大，即 之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.

修改的解答：不妨设 ，由向量的平行四边形法则，力的平衡的知识，有

即

将上面的式子两边平方得

以下同课本的解答.

例2 （人教A版必修4第112页例4） 一条河的两岸平行，河的宽d=500m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度 ，水流速度 ，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1min）？

课本的解答： ，

所以 .

答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.

修改的解答：由 得

所以

以下同课本的解答.

例3（人教A版必修4第113页A组第4题） 平面上三个力 作用于一点，且处于平衡状态， 与 的夹角为 ，求：（1） 的大小；（2） 与 夹角的大小.

教参的解答：设 的合力为F，F与 的夹角为 ，则

的夹角为 .

说明：由于没有学习正弦定理、余弦定理，可有如图所示的方法作高求解.

修改的解答：（1）由 得 ，

所以 ，

即 .

（2） 设 与 夹角为 ，由 得 ，

则 ，

所以， 与 夹角的大小为 .

例4（人教A版必修4第113页B组第2题） 一条河的两岸平 行，河的宽度

d=500m，一艘船从A出发到河对岸，已知船的静水速度 水流速度

2km/h.要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小，此时我

们分三种情况讨论：

（1） 當般逆流行驶，与水流成钝角时；

（2） 当船顺流行驶，与水流成锐角时；

（3） 当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.

请同学们计算上述三种情况，是否当船垂直于对岸行驶时，与水流成直角时，所用时间最短.

教参的解答：设 与 的夹角为 ，合速度为 ， 与 的夹角为 ，行驶距离为d，则 ， .

所以，当 时，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.

修改的解答：设 与 的夹角为 ，合速度为 ， 与 的夹角为 ，行驶距离为d，则 ， ， ， .

.

所以，当 时，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.

说明：修改的解答稍有计算量，但用向量运算代替了直角三角形运算，同时，不需要分三种情况讨论，解题思路显得更为干净.

例5（人教A版必修4第119页第14题） 如图所示，支座A受 两个力的

作用，已知 与水平线成 角； 沿水平方向；两个力的合力

100N，求角 以及合力F与水平线的夹角 .

解：由 得

所以， ，

由 得

所以， .

参考文献：

[1]人民教育出版社 课程教材研究所 普通高中课程标准实验教科书 第101-107页

[2]中学数学课程教材研究开发中心 数学必修4 A 教师教学用书

作者简历：

申俭生，男，1965.3，汉族，湖南省祁阳县人，本科，湖南永州市三中校长助理，中学高级教师，主要研究方向为中学数学教学.