基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型

景永强，曹咏弘，李阿娜

(中北大学 理学院，太原 030051)

基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型

景永强，曹咏弘，李阿娜

(中北大学 理学院，太原 030051)

研究了在摩擦市场因素的条件下基于可能性分布理论的组合投资问题，提出了基于摩擦市场因素和风险价值理论的可能性组合投资模型。实证研究结果表明：摩擦市场因素的变动对组合投资风险具有一定的影响，基于摩擦市场因素和风险价值理论的可能性组合投资模型更符合实际的投资风险情况。本研究为投资者选择更适合的投资策略提供参考。

可能性理论；摩擦因素；风险价值；组合投资

1952年马克维茨提出了基于均值-方差的组合投资模型，对组合投资模型进行了定量的研究[1-2]。而使用均值与方差度量组合投资的收益和风险，只是通过方差来度量风险的波动情况，不能将波动的风险进行具体的定量化，因此学者们相继提出了风险价值(VaR)模型及条件风险价值(CVaR)模型[3-4]。目前，大部分的组合投资模型研究是基于概率分布进行的，但在实际的投资市场存在很多不确定性的因素，通过概率分布研究得到的误差较大，因此很多学者基于可能性分布研究金融市场的不确定性，提出了基于可能性分布理论的组合投资模型[5-15]。然而，国内外学者都是基于单一的影响因素研究可能性理论下的组合投资模型，并没有考虑在综合各个影响因素情形下的组合投资模型，而组合投资的收益受到系统风险和非系统风险的双重影响，因此本文在已有文献的基础上，综合考虑风险价值因素和摩擦市场因素，提出了一个在摩擦市场条件下的带有风险价值约束的可能性组合投资模型。由于该模型中加入了摩擦市场因素和风险价值约束，可以更好地描述投资市场的环境和投资者的风险厌恶程度。最后通过选取股票市场的历史数据进行实证分析，验证了该模型的有效性，并且通过与不带摩擦市场因素的模型相比较，表明市场摩擦因素对组合投资风险具有一定的影响。

1 可能性的定义及性质

1.1 可能性均值与方差的定义及性质

定义1[5]设A是一个模糊数，A的λ截集表示为Aλ=[a-(λ),a+(λ)]，则A的可能性均值可以表示为

A的可能性方差可表示为

定义2[5]如果A和B是两个模糊数，其截集分别为Aλ=[a-(λ),a+(λ)]，Bλ=[b-(λ),b+(λ)]，则A和B的可能性协方差可以表示为

如果A和B表示两个模糊数，k表示一个实数，则模糊数的均值满足[6]：

模糊数的方差满足[6]：

1.2 可信性风险价值(VaR)的定义及性质

定义3[7]设A是一个具有隶属函数μ(x)模糊数，t表示一个实数，S表示任意的实数集，则{A≤t}的可信性测度可表示为

其中：

VaR(value at risk)即风险价值，表示投资者在给定置信水平b的情形下，在Δt的持有期内的投资组合的最大损失值。假定Δp表示在持有期内投资组合的价值改变量，则在概率测度的理论下，VaR的定义为[8]：

prob(Δp≤VaR)=1-b

通过概率测度下的VaR定义可推出在可信性测度的条件下VaR的定义，可表示为：

Cr(ΔA≤VaR)=1-b

其中：Cr表示可信性测度；b为置信水平；ΔA表示在持有期Δt内投资组合的价值改变量。

2 基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型

实际的金融市场中存在着很多市场摩擦因素，例如股票的红利。投资者在进行股票资产投资时，会产生一定的成本费用，交易的过程中会产生印花税及其他费用等，这些因素在投资决策中具有很大的影响作用。因此，针对风险厌恶性投资者，考虑基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型具有更实际的指导意义。

本文将证券市场中的红利、税收和资产的交易费用作为摩擦因素，在此情形下构建可能性组合投资模型。假设投资总资产为1，投资于n个风险资产，设ri为第i个资产的收益率，ri是一个模糊数，di表示第i种资产的红利率，t1为资本收入税率，t2表示基本收入税率。采用绝对值型的交易费用函数，这样投资的资产组合其总的交易费用可表示为

组合投资总的收益可表示为

则组合投资收益的可能性均值和方差可表示为：

因此，本文在基于风险价值的可能性组合投资模型的基础上，通过综合考虑市场中的摩擦因素，构建了基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型，可表示为：

其中：L表示期望收益率；b表示置信水平；c(x)表示交易费用函数；Cr表示可信性测度。基于风险价值的可能性组合投资模型可表示为：

基于摩擦因素和风险价值约束的可能性均值-方差模型，在给定收益率模糊变量的可能性分布情形下，可得到一个确定性的组合投资模型。假定资产的收益率ri是钟形模糊数，则ri～B(μi,σi)，收益率ri的隶属函数可表示为

其中b>0.5。

在钟形可能性分布下，组合投资收益的可能性均值和方差可表示为：

针对模型中的非光滑的交易费用函数，令

则交易费用函数可表示为

其中ui满足

则在钟形可能性分布情形下，基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型可表示为：

其中：L表示期望收益率；b表示置信水平；c(x)表示交易费用函数。该模型为非线性约束规划模型，可通过Matlab中非线性约束优化方法进行模型的求解。

3 实证分析

对本文提出的在钟形可能性分布情形下，基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型进行数值实验和实证分析，并假设投资过程中不能卖空。由于投资者的风险厌恶性，所以在上证A股和深证A股市场中分别选取8只经营业绩较好的股票进行实证研究，股票名称及代码为:国电南自(600268)、宏发股份(600885)、东方通信(600776)、华海药业(600521)、江铃汽车(000550)、国际实业(000159)、金科股份(000656)、山大华特(000915)。收集这8只股票从2011年1月1日—2015年12月31日的月平均收益率(数据来源于国泰安CSMAR数据库),通过每种资产的历史资产收益率的数据，计算每只股票的期望和标准差,如表1所示。

图1 不同期望收益率下的组合投资风险值Fig.1 Portfolio risk value under different expected return

1)为了验证模型的有效性和摩擦市场的因素对模型的影响，通过设定不同的预期收益率，在资产初始比例(0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125)，VaR为0.1，置信度为95%，交易费用比例为0.3%，红利率为0.1%，税率t1、t2分别为0.3%和0.2%的条件下，通过Matlab软件分别对基于风险价值的可能性组合投资模型、基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型进行求解。 将基于风险价值的可能性组合投资模型、基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型分别记作P-VaR模型和CP-VaR模型，所得结果如表2和图1所示。

表1 资产的期望与标准差

表2 不同期望收益率下的组合投资风险值

由表2和图1可知：随着投资者预期收益率的增大，投资组合的风险在不断增大，符合收益越大、风险越大的市场规律，并且CP-VaR模型比P-VaR模型的风险值较大。由于摩擦因素的存在会降低组合投资的收益，导致组合投资的风险增加，因此具有较大风险的CP-VaR模型能够提供更加符合实际的投资决策。

2)为了研究市场摩擦因素的变动对组合投资风险的影响，设定不同的交易费用比例。在资产初始比例为(0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125)，VaR为0.1，置信度为95%，预期收益率为6%，红利率为0.1%，税率t1和t2分别为0.3%和0.2%的条件下，通过Matlab软件对基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型进行求解，所得结果如表3所示。

由表3可得:随着资产交易费用比例的增大，组合投资的风险值在不断增大。在期望收益率的约束下，当交易费用增加时，投资资产将配置于高风险的股票资产中，可提高组合投资的整体收益率，符合“高风险、高收益”的市场规律，验证了该模型的有效性，表明了市场摩擦因素的变动对组合投资的风险具有一定的影响。而且该模型综合考虑了摩擦市场因素和风险价值因素，投资者可根据自身投资的实际情况选择合适的参数，得到最优的资产配置策略，因此基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型更加符合实际投资情况。

表3 不同交易费用比例下的组合投资风险值

4 结束语

本文研究了在摩擦市场因素的条件下基于可能性分布理论的组合投资问题。在可能性分布理论和风险价值的基础上，提出了一个在摩擦市场条件下带有风险价值约束的可能性组合投资模型。由于该模型中加入了摩擦市场因素和VaR约束，因此可以更好地描述投资市场的环境和投资者的风险厌恶程度。最后选取股票市场的历史数据进行实证分析。实证研究结果表明，随着投资者预期收益率的增大，投资组合的风险在不断增大，符合“收益越大、风险越大”的市场规律。此外，在期望收益率一定的条件下,随着资产交易费用的不断增大，模型的目标值在逐渐变大，并且市场摩擦因素的变动对组合投资的风险具有一定的影响，基于摩擦市场因素和风险价值理论的可能性组合投资模型更符合实际的投资风险情况，可为投资者选择更适合的投资策略提供参考。

[1] MARKOWITZ H.Portfolio selection[J].The Journal of Finance,1952,7(1):77-91.

[2] BASAK S,SHAPIRO A.Value-at-Risk-based risk management:Optimal policies and asset prices[J].The Review of Financial Studies,2001,14(2):371-405.

[3] ALEXANDER G J,BAPTISTA A M.Economic implications of using a mean-VaR model for portfolio selection:A comparison with mean-variance analysis[J].Journal of Economic Dynamics and Control,2002,26(7):1159-1193.

[4] ALEXANDER G J,BAPTISTA A M.A comparison of VaR and CVaR constraints on portfolio selection with the mean-variance model[J].Management Science,2004,50(9):1261-1273.

[5] ZHANG W G,XIAO W L,WANG Y L.A fuzzy portfolio selection method based on possibilistic mean and variance[J].Soft Computing,2009,13(6):627-633.

[6] BAPTISTA A M.Optimal delegated portfolio management with background risk[J].Journal of Banking & Finance,2008,32(6):977-985.

[7] JIANG C,MA Y,AN Y.An analysis of portfolio selection with background risk[J].Journal of Banking & Finance,2010,34(12):3055-3060.

[8] ZHANG W G,ZHANG X L,CHEN Y X.Portfolio adjusting optimization with added and Transaction costs based on credibility measures[J].Insurance:Mathematics and Economics,2011,49(3):353-360.

[9] ZHANG W G,XIAO W L,WANG Y L.A fuzzy portfolio selection method based on possibilistic mean and variance[J].Soft Computing,2009,13(6):627-633.

[10]李婷.考虑背景风险因素的可能性组合投资选择模型研究[D].广州： 华南理工大学,2013.

LI Ting.Study on portfolio selection model based on the possibility of background risk[D].Guangzhou:South China University of Technology,2013.

[11]何莎,周树民.摩擦市场下基于可能性理论的一种组合投资模型[J].江汉大学学报(自然科学版),2009,37(4):16-18.

HE Sha,ZHOU Shumin.A portfolio investment model based on possibility theory in friction market[J].Journal of Jianghan University (Natural Science Edition),2009,37(4):16-18.

[12]何莎.摩擦市场下基于可能性理论的组合投资模型研究[D].武汉:武汉理工大学,2009.

HE Sha.Research on portfolio investment model based on possibility theory in friction market[D].Wuhan:Wuhan University of Technology,2009.

[13]乔峰,黄培清,顾锋.可能性组合投资模型[J].上海交通大学学报,2005,39(10):1606-1610.

QIAO Feng,HUANG Peiqing,GU Feng.Portfolio selection model[J].Journal of Shanghai Jiao Tong University,2005,39(10):1606-1610.

[14]李婷.具有VaR约束的不相关资产可能性组合投资模型及算法[J].宁夏工程技术,2014,13(1):8-12.

LI Ting.The model and algorithm of portfolio investment with VaR constraints based on probability[J].Ningxia Engineering and Technology,2014,13(1):8-12.

[15]付云鹏,马树才,宋琪.基于可能性均值方差模型的社保基金组合投资研究[J].经济与管理评论,2013(3):111-114.

FU Yunpeng,MA Shucai,SONG Qi.Study on portfolio investment of social security funds based on the model of possible mean variance[J].Review of Economics and Management,2013(3):111-114.

(责任编辑 刘 舸)

Research on the Possibility of Portfolio Investment Model Based on Friction Factor and Value at Risk

JING Yong-qiang, CAO Yong-hong, LI A-na

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

The portfolio investment based on the possibility distribution theory under the condition of the friction market was studied, and a possibility portfolio investment model was proposed. The empirical study shows that the change of the market friction factor affects the investment portfolio. Thus, the portfolio investment model based on the friction market factor and the VaR theory is more suitable for the actual investment risk, so as to provide a reference for the investor to choose a more suitable investment strategy.

possibility theory; friction factor; value at risk; portfolio investment

2016-10-25 基金项目：电子测试技术国家重点实验室基金资助项目(9140C120401080C12)；中北大学科学基金资助项目(201406)

景永强(1993—)男，山西临汾人，硕士研究生，主要从事可能性理论的应用研究，E-mail:474060802@qq.com; 曹咏弘(1972—)男，山西太原人，副教授，硕士生导师,主要从事工程中的数学问题研究。

景永强，曹咏弘，李阿娜.基于摩擦因素和风险价值的可能性组合投资模型[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2017(3):158-164.

format：JING Yong-qiang, CAO Yong-hong，LI A-na.Research on the Possibility of Portfolio Investment Model Based on Friction Factor and Value at Risk[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(3):158-164.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.03.024

O21；F830

A

1674-8425(2017)03-0158-07