变精度T-粗糙集*

朱 熙 张惠玲 李 鑫

(西安航空学院理学院 西安 710077)

变精度T-粗糙集*

朱 熙 张惠玲 李 鑫

(西安航空学院理学院 西安 710077)

论文给出了变精度T-粗糙集的概念,并且研究了它的一些性质。讨论了双参数变精度T-粗糙集关于参数的变化情况。论文得到的结果从算子论和集合论的角度丰富了粗糙集的理论体系。

粗糙集; 集值映射; 变精度粗糙集; 变精度T-粗糙集

Class Number TP18

1 引言

粗糙集理论是20世纪80年代初Z.Pawlak[1]针对边界域思想提出的。它是一种处理模糊和不确定性知识的数学工具,是人工智能中的一种重要推理技术。粗糙集的定义没有充分利用边界区域中的统计信息,为了研究这个问题,1993年Ziarko[2]通过引入一个β近似空间来反映这种限制,提出了变精度粗糙集模型。从此,许多学者对该模型进行了研究[3～6],主要集中在基于变精度粗糙集模型的知识约简理论与方法、模型推广及模型的应用[7～8]。变精度粗糙集模型继承了经典粗糙集模型的所有基本数学特征,对集合包含运算进行了扩充,允许一定程度的错误分类率存在,从而具有对噪声数据的适应能力,可以有效地分析不完备或不精确信息。

2 预备知识

定义1[9]设U是一个非空集合,θ是U上的等价关系,则称序对(U,θ)为一个近似空间。

定义3[10]设X和Y是两个非空集合且B⊆Y。设T:X→P*(Y)是一个集值映射,其中P*(Y)记为Y的所有非空子集的集合。则在T下B的下逆和上逆定义为

T-1(B)={x∈X|T(x)∩B≠∅},

T+(B)={x∈X|T(x)⊆B}

命题1[10]设X和Y是两个非空集合且T:X→P*(Y)是一个集值映射。如果A和B是Y的两个非空集合,则以下成立:

1)T-1(A∩B)⊆T-1(A)∩T-1(B);

2)T-1(A∪B)=T-1(A)∪T-1(B);

3)T+(A∩B)=T+(A)∩T+(B);

4)T+(A)∪T+(B)⊆T+(A∩B);

5)A⊆B⟹T+(A)⊆T+(B);

6)A⊆B⟹T-1(A)⊆T-1(B)。

应用上逆和下逆,定义Y的子集的二元关系如下

A≃B⟺T-1(A)=T-1(B)且T+(A)=T+(B)。

这个等价关系诱导出了P*(Y)的一个划分P*(Y)/≃,≃的等价类称为T-粗糙集。

3 变精度T-粗糙集

定义4 设X和Y是两个非空集合且B⊆Y,β∈(0.5,1]。设T:X→P*(Y)是一个集值映射,其中P*(Y)记为Y的所有非空子集的集合。则在T下B的β下逆和β上逆定义为

例子1 设X={x,y,z,t},Y={a,b,c}。考虑集值函数T:X→P*(Y)定义为T(x)={b},T(y)={a,c},T(z)={b},T(t)={a,b,c}。设β=0.6,B={a,b},则

定理1 设X和Y是两个非空集合且T:X→P*(Y)是一个集值映射,则以下成立:

={x∈X|T(x)≠∅}

={x∈X|T(x)≠∅}

7) 证明方法过程类似6)。

4 双参数变精度T-粗糙集

定义5 设X和Y是两个非空集合且B⊆Y,0.5<β≤α≤1。设T:X→P*(Y)是一个集值映射,其中P*(Y)记为Y的所有非空子集的集合。则在T下B的β下逆和α上逆定义为

定理2 设X和Y是两个非空集合且B⊆Y,T:X→P*(Y)是一个集值映射,其中P*(Y)记为Y的所有非空子集的集合。若0.5<α1≤α2≤1,0.5<β1≤β2≤1,则

定理2(1)表明两个参数的变精度T-粗糙集的β下逆关于参数β是递增的,定理2(2)表明两个参数的变精度T-粗糙集的α上逆关于参数α是递减的。

定理3 设X和Y是两个非空集合且B⊆Y,0.5<β≤α≤1。设T:X→P*(Y)是一个集值映射,其中P*(Y)记为Y的所有非空子集的集合。则

[1] Z. Pawlak. Rough sets[J]. Int. J. Inform. Comput. Sci.,1982,11(5):341-356.

[2] W. Ziarko. Variable precision rough set model[J]. Journal of Computer and System Sciences,1993,46(1):39-59.

[3] 张贤勇,莫智文.变精度粗糙集[J].模糊识别与人工智能,2004,17(2):151-155. ZHANG Xianyong, MO Zhiwen. variable precision rough sets[J]. Pattem Recognition and Aitificial Intelligence,2004,17(2):151-155.

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[9] B. Davvaz. Roughness in rings[J]. Information Sciences,2004,164:147-163.

[10] B. Davvaz. A short note on algebraic T-rough sets[J]. Information Sciences,2008,178:3247-3252.

Variable Precision T-rough Sets

ZHU Xi ZHANG Huiling LI Xin

(College of Science, Xi’an Aeronautical University, Xi’an 710077)

In this paper, the concept of variable precision T-rough sets is given, and some properties of it are studied. The changes about parameter of double parametes variable precision T-rough sets are investigated. The theoretical system of rough set has been enriched by the results obtained in this paper from operator theory and set theory point of views.

rough sets, set-valued mapping, variable precision rough sets, variable precision T-rough sets

2016年9月11日,

2016年10月17日

西安航空学院科研基金(编号:2016GJ1004)资助。 作者简介:朱熙,男,硕士,讲师,研究方向:模糊数学。

TP18

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.03.003