应用伪谱法的运载火箭在线制导方法研究

张志国，余梦伦，耿光有，宋 强

(北京宇航系统工程研究所，北京100076)

应用伪谱法的运载火箭在线制导方法研究

张志国，余梦伦，耿光有，宋 强

(北京宇航系统工程研究所，北京100076)

研究Gauss伪谱法(GPM)在液体运载火箭抛罩结束到入轨飞行段制导律设计中的应用性。在每一个制导周期内，采用高效高精度数值轨迹优化方法计算当前制导周期内的制导律。通过合理选择非线性规划问题的基点数量和制导周期，节省制导方法计算时间。将基于伪谱法的制导方法与运载火箭中使用的迭代制导方法进行对比，在保证同等入轨精度的条件下，该方法对于复杂约束问题处理方法更为便捷，满足在线制导的需求。同时仿真表明,该方法能够有效应对各种偏差，是比较接近工程应用的一种方法。

伪谱法；实时在线制导；轨迹优化；非线性规划(NLP)

0 引 言

制导技术是影响飞行器性能的关键技术，从国内外运载火箭的发展历程来看，制导方法经历了从开环制导到闭环制导，从摄动制导、迭代制导到实时在线预测制导的发展。制导方法的发展主要围绕两个关键问题，即制导精度和制导效率。传统制导方法受硬件性能限制，为保证制导效率主要采用解析方法，牺牲了部分制导精度，如摄动制导，射前装订好制导参数，可以在线实时制导，但精度不高。随后迭代制导方法的出现，提升了火箭的制导精度，但由于迭代制导在方法中对引力场采用了近似处理，方法误差无法完全消除，同时迭代制导对末端程序角不加限制，无法控制火箭入轨的姿态，对于有姿态需求的任务需要单独增加调姿段。随着计算机技术的发展，使得高精度的制导数值计算方法成为可能，尤其是高效高精度轨迹优化计算方法的发展，衍生出了一系列基于轨迹优化方法的制导新方法。如基于数值间接法、直接法[1]、混合法[2]轨迹优化的制导方法，本文采用的伪谱法即为直接法中的一种。

每一次制导运算实际上是进行一次轨迹优化计算，只是不需要获得全局优化和控制参数，而只需要获得当前制导周期内的控制变量。基于数值间接法的制导方法受到间接法初值敏感，计算时间长而在当前计算机条件下实时制导应用受到限制。基于直接法的制导方法通过合理选择问题的阶数，一方面相对间接法能够节省制导方法计算时间，另一方面针对复杂的约束条件仍能获得较高的制导精度。是比较接近工程的一种方法。

伪谱法[3-4]将高度非线性微分方程的解用插值多项式表示出来，即通过有限个离散基点来近似状态变量和控制变量，相应基点处的微分方程、约束条件和系统积分指标都可以表示成基点的代数方程。原微分问题转化为标准非线性规划(Nonlinear programming, NLP)问题，对于大规模NLP问题的求解方法主要有序列二次规划(Sequential quadratic programming, SQP)法和内点法，基于这两种方法已有一些成熟的软件，如基于SQP方法的SNOPT[5]、NPSOL等软件，基于内点法的IPOPT软件[6]，近年来，这些方法均得到了快速发展，使得伪谱法的应用越来越广泛。

伪谱法在应用过程中，若在Matlab环境下编程(如：采用GPOPS工具箱)，计算精度高但效率偏低，适合用于离线计算，如文献[7]中求解月球定点着陆问题和文献[8]求解固体火箭上升段轨迹优化问题，计算耗时为分钟的量级。若要提高数值方法计算效率，从而满足在线轨迹规划和制导律设计的实时性需求，解决思路包括采用更高效的编程环境、简化问题模型、改进NLP问题求解方法的效率等，如文献[9]将轨迹跟踪制导问题转化为线性时变系统调节器问题来进行求解，文献[10]中采用状态量缩减的方法改进闭环制导方法的计算效率。

本文采用C语言版本SNOPT求解器，通过选取不同配点和制导周期，比较得出合适的制导参数选取方案，在保证入轨精度的同时，进一步提高制导律的求解效率，满足在线设计需求。该方法能够有效处理带末端姿态约束火箭制导问题，处理过程简便，并能很好地适应一定范围内的双向偏差。

1 伪谱法轨迹优化方法

已知一般的非线性系统最优控制问题，包括状态方程、等式(不等式)约束、性能指标三部分，整个最优控制问题要求在满足状态方程和等式(不等式)约束的条件下，使得性能指标达到极小值，统一形式可以写为：

(1)

式中：x(t)、u(t)分别表示状态变量和控制变量，t0、tf分别表示最优控制问题的起始时间和末端时间，E和C分别表示等式约束和不等式约束。伪谱法插值多项式的选择主要有Legendre多项式和Chebyshev多项式两种，根据基点位置、插值多项式种类、积分形式的不同选取方法，伪谱法分为Legendre伪谱法、Gauss伪谱法、Radau伪谱法和Chebyshev伪谱法，几种方法的计算效率和精度相当[11]，其中Gauss伪谱法的解满足库恩-塔克(Karush-Kuhn-Tucker,KKT)条件，利用余向量映射定理，可以证明Gauss伪谱法的解同间接法的解具有一致完备性，因此在轨迹优化问题中被广泛采用[12]。本文采用Gauss伪谱法，配点选择正交Legendre多项式的零点，积分采用Gauss积分公式，正交Legendre多项式的基点在(-1,1)之间取值，需要首先将时间变量[t0,tf]投影变换到[-1,1]内。

(2)

将连续最优控制问题转换为以Legendre-Gauss基点处的状态变量和控制变量为未知系数的标准NLP问题[4]。

(3)

式中：k为有限的离散基点，Xk、Uk分别为离散时刻τk处的状态变量和控制变量。采用Lagrange插值，Dk,i为Lagrange插值多项式的导数，用于计算状态量微分方程的等式约束。wk为Gauss积分公式中的积分权重，当基点数给定时为常值。其中Dk,i的表达式为

(4)

对于式(3)构成的适当规模的NLP问题，目前有多种数值方法可以高效地给出求解结果。

2 基于伪谱法的实时在线制导方法

火箭与导弹的制导目标不同，火箭需要瞄准目标轨道根数。迭代制导开始作用在抛罩后飞行段[13]。本文基于伪谱法的实时制导方法选择同样飞行状态作为初始状态，制导开始时，火箭已经抛掉整流罩，在真空飞行，没有空气动力，主要受到重力和发动机推力影响，发动机参数偏差，主要包括比冲、推进剂秒耗量偏差，推力作用线横移和偏斜等。飞行过程中做瞬时平衡假设，制导参数的选取仅包括俯仰角和偏航角两个变量。因此火箭动力学微分方程可以写为：

(5)

式中：状态量x、y、z，Vx、Vy、Vz，m分别表示火箭的位置，速度和质量。控制量φ、ψ分别表示火箭的俯仰程序角和偏航程序角。F(t) 表示火箭发动机的推力。性能指标函数为：

(6)

对于推力大小不可调的火箭来说，时间最优性能指标等价于燃料最优。考虑一级飞行结束时程序角已经固定，因此制导开始时，程序角初值是问题的一个约束，如果考虑火箭末端姿态，过程中角加速度限制，最优问题的约束方程可以写为：

(7)

(8)

(9)

在每个制导周期内，根据火箭当前的状态量，进行一次伪谱法轨迹优化计算，获得剩余飞行时间内的控制变量基点值，通过Lagrange插值得到当前状态下的控制量，仅取当前控制量作为火箭制导控制参数

(10)

式中：U0(τ=-1)即为当前时刻的制导律。飞行全过程按照此方法进行滚动时域优化控制，即可实现火箭实时在线制导，基于伪谱法的实时在线制导流程如图1所示。

伪谱法最大的优势在于能够用更少的参数得到较高的计算精度。从理论上讲，插值点选取的越多，计算结果精度将越高，但是随着基点的增多将带来计算量和计算时间的大大增加，这将使直接法计算效率的优势不再明显。下面分别选择基点数=4、8、12三种情况进行单次伪谱法轨迹优化方法计算，选择同样的收敛控制精度，统计单步伪谱法的计算时间，并获得俯仰角和偏航角变化曲线图2和图3(数值仿真过程采用台式机CPU3.19GHZ，内存1.93GB)。

表1 不同基点数量条件下伪谱制导法计算效率

由表1可知，选择同等要求的数值算法收敛精度，随着离散基点数量的增加，单步伪谱法计算时间不断增加，对于很少的基点，伪谱法仍然能够得到较高的收敛精度，但注意该精度是插值意义下的收敛精度，即保证通过配点进行Lagrange插值得到的末端状态收敛精度。

实时制导周期的选择至少要大于单步计算周期，考虑到选择8～12个基点的单步伪谱法计算周期在100～200 ms的量级，本文分别采用10 s、5 s和1 s三种制导周期进行实时制导方法计算，仿真结果如图4和图5所示。考察不同制导周期对入轨精度的影响，同时用制导周期为1 s的迭代制导[15]入轨精度作对比。

从位置速度和轨道根数同标称入轨条件的偏差(见表2和表3)可以看出，伪谱制导法选取的制导周期越短，入轨精度越高，并且和迭代制导能够获得同样量级的入轨精度。图5的偏航程序角历程和图3有一定的差异，是由于图3为单次全局轨迹优化曲线；图5为周期制导曲线，控制量通过伪谱法的有限个基点插值获得，并且在每个制导周期内才更新，导致积分获得的状态量和标准弹道略有差异，求解最优控制问题进而引起偏航程序角微小变化。偏航程序角设计是在0°附近，火箭基本在射面内飞行，虽然图上显示趋势不同，但是相对量级很小(在1°以内)，符合工程设计要求。而俯仰程序角由于基准值较大，图4和图2曲线一致。

在制导末段，为了防止制导程序角出现不稳定情况，在最后两到三个制导周期内不进行伪谱法更新计算，而是采用前一个制导周期已经求得的末端最优制导程序角进行插值。因此和末端近似的迭代制导方法获得同等量级的入轨精度，如果想进一步提升入轨精度并且工程上可用，无论何种方法都需要首先解决末端程序角跳变不稳定问题。但其实当前方法的入轨精度相对于导航精度已经足够。

表2 不同制导周期下位置速度入轨精度

表3 不同制导周期下轨道根数入轨精度

表4 不同末端条件下轨道根数的入轨精度

3 末端带约束制导方法研究

迭代制导对末端程序角不加限制，无法控制火箭入轨的姿态，但对于基于伪谱法的制导方法不存在这一问题，因为伪谱法的优势就在于处理约束复杂的问题，无论是过程约束还是末端约束，不需要解析推导新的一阶必要条件，仅需通过将约束施加在原问题的离散点上，即可求得有约束问题的制导律控制。考虑末端有姿态角约束的问题，分别选择俯仰角-10°、-20°、-30°三种状态，偏航角0°、-2°、+2°三种状态，用伪谱制导法进行制导控制得到轨道根数的入轨精度(见表4)。

从图6和图7可以看出，对于末端有姿态角约束的问题，基于伪谱法的制导算法能够获得与末端无约束问题同等量级入轨精度的制导率，入轨轨道根数中半长轴、偏心率、轨道倾角、升交点赤经均在1.0×10-4(°)量级以下，唯一变化的是影响入轨位置的真近点角，这是由于对于火箭来说，不考虑发动机摇摆，火箭的姿态决定了推力的方向，同时假设火箭一直满推的情况，当末端增加姿态约束时，如果目标仍然瞄准初始设计的全部六个轨道根数，新的最优轨迹可能已不再是运载能力最优的轨迹[14]，因此需要放松一个瞄准参数，即真近点角，调整合适的入轨位置，保证运载能力最大，如果采用纬度幅角参数(u=ω+f)，则其入轨精度也可达到1.0×10-4(°)量级。

从不同末端约束条件下的控制程序角曲线(图6和图7)可以看出，俯仰和偏航程序角的斜率都发生了变化，也可以从另一个侧面说明新的制导控制飞行路线已经不再是原来的标准弹道，如果初始程序角没有变化，真正决定施加末端约束条件下能否可控的条件是角加速度的控制能力，尤其是初始程序角能否快速过渡到最优控制程序角曲线上来。另一方面，该方法在控制末端程序角虽然采用插值控制，但基本是线性变化，即无论前期程序角如何变化，末端程序角都表现为线性控制，这样利于工程实施的可行性和制导控制的可靠性。

4 制导方法应对偏差的收敛性

火箭实际飞行过程中会受到各种偏差干扰的影响，因此需要考察制导方法对于各种偏差的适应性。理论上只要偏差没有超出火箭能力所能到达的范围时，制导方法应该能够应对各种偏差并且控制火箭到达既定轨道。这里参考茹家欣[13]在迭代制导方法中加偏差测试的方法，将火箭各种状态偏差折合到出发时刻的偏差。文中考虑火箭二级飞行段制导律设计，因为二级飞行初始偏差主要来自于起飞和一级飞行段，火箭制导的误差来源主要包括工具误差和方法误差：工具误差的主要来源是惯性器件的测量偏差，根据现有一级飞行段工程中使用的惯性器件所能达到的测量精度进行估算，如速度、位置的偏差；方法误差包括质量、发动机偏差、环境等因素，如文中考虑质量约±1%的偏差。分别考虑正负极偏差的情况，选择同样的入轨条件，得到基于伪谱法的制导方法应对偏差制导结果如表5所示。

表5 正负极初始偏差条件下轨道根数的入轨精度

对于含偏差问题，如果瞄准初始设计的六个轨道根数，同样有运载能力变化的问题，因此仍然考虑瞄准五个入轨轨道根数，调整入轨位置，将真近点角约束放松作为f0±10°的约束，通过施加几组正负偏差，数值仿真表明，伪谱制导法都能够很好的适应，并且保证较高的入轨精度。

5 结束语

本文设计了基于伪谱法的运载火箭在线制导方法，针对火箭抛罩结束到入轨动力飞行段制导律进行数值仿真，结果表明基于伪谱法的制导方法应用于实时制导律设计时，确有较高的制导效率和制导精度，可以和迭代制导有同样甚至更高的入轨精度。选择合适的基点数量和制导周期可以平衡制导效率和制导精度的关系。该方法在处理多约束制导问题时处理简单，效率高，并且能很好的适应一定范围内的双向偏差，为伪谱制导方法的工程应用提供一定参考。

[1] Lu P, Pan B. Highly constrained optimal launch ascent guidance[J]. Journal of Guidance Control & Dynamics, 2012, 33(2):404-414.

[2] 崔乃刚, 黄盘兴, 韦常柱, 等. 基于混合优化的运载器大气层内闭环制导方法[J]. 中国惯性技术学报, 2015,23(3):328-333. [Cui Nai-gang, Huang Pan-xing, Wei Chang-zhu, et al．Colsed-loop endo-atmospheric guidance of launch vehicle based on hybrid optimization approach [J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2015,23(3):328-333.]

[3] Fahroo F, Michael I. Advances in Pseudo-spectral methods for optimal control[C]. AIAA Guidance, Navigation and Control Conference, Honolulu, Hawaii, USA, August 18-21, 2008.

[4] 孙勇. 基于改进Gauss伪谱法的高超声速飞行器轨迹优化与制导[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2012. [Sun Yong. Trajectory optimization and guidance of hypersonic vehicle based on improved Gauss Pseudo-spectral method [D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2012.]

[5] Gill P E, Murray W, Saunders M A. SNOPT: An SQP algorithm for large scale constrained optimization [J]. SIAM Journal on Optimization, 2002, 12(4):979-1006.

[6] Wächter A, Biegler L T. On the implementation of an interior-point filter line-search algorithm for large-scale nonlinear programming [J]. Mathematical Programming, 2006, 106(1):25-57.

[7] 彭祺擘, 李海阳, 沈红新. 基于高斯—伪谱法的月球定点着陆轨道快速优化设计[J]. 宇航学报, 2010, 31(4):1012-1016. [Peng Qi-bo, Li Hai-yang, Shen Hong-xin. Rapid lunar exact-landing trajectory optimization via gauss Pseudo-spectral method [J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(4):1012-1016.]

[8] 杨希祥, 张为华. 基于Gauss伪谱法的固体运载火箭上升段轨迹快速优化研究[J]. 宇航学报, 2011, 32(1):15-21. [Yang Xi-xiang, Zhang Wei-hua. Rapid optimization of ascent trajectory for solid launch vehicles based on Gauss Pseudo-spectral method [J]. Journal of Astronautics, 2011, 32(1):15-21.]

[9] 廖宇新, 李惠峰, 包为民. 基于间接Radau伪谱法的滑翔段轨迹跟踪制导律[J]. 宇航学报, 2015, 36(12):1398-1405. [Liao Yu-xin, Li Hui-feng, Bao Wei-min. Gliding trajectory tracking guidance law based on indirect Radau Pseudo-spectral method [J]. Journal of Astronautics, 2015, 36(12):1398-1405.]

[10] 闫循良, 廖守亿, 何泰,等. 基于改进伪谱反馈控制的远程变轨闭环制导[J]. 宇航学报, 2016, 37(1):84-93. [Yan Xun-liang, Liao Shou-yi, He Tai, et al. Modified Pseudo-spectral feedback control based closed-loop guidance for long-range orbit maneuver [J]. Journal of Astronautics, 2016, 37(1):84-93.]

[11] Huntington G T, Benson D, Rao A V. A comparison of accuracy and computational efficiency of three pseudo-spectral methods[C]. Proceedings of the AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, Washington, DC, USA, 2007.

[12] Drake D, Xin M, Balakrishnan S N. New nonlinear control technique for ascent phase of reusable launch vehicles [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2004, 27(6):930-937.

[13] 茹家欣. 液体运载火箭的一种迭代制导方法[J], 中国科学, 2009, 39(4):696-706. [Ru Jia-xin. An iterative guidance method of liquid rocket [J]. Science in China, 2009, 39(4):696-706.]

[14] 韩祝斋. 用于大型运载火箭的迭代制导方法[J]. 宇航学报, 1983(1). [Han Zhu-zhai. An iterative guidance method for the large launch vehicle [J]. Journal of Astronautics, 1983(1).]

[15] 陈新民, 余梦伦. 迭代制导在运载火箭上的应用研究[J]. 宇航学报, 2003, 24(5):484-489. [Chen Xin-min, Yu Meng-lun. Study of iterative guidance application to launch vehicles [J]. Journal of Astronautics, 2003, 24(5):484-489.]

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(编辑：牛苗苗)

Research on Application of Pseudo-Spectral Method in Online Guidance Method for a Launch Vehicle

ZHANG Zhi-guo, YU Meng-lun, GENG Guang-you, SONG Qiang

(Beijing Institute of Aerospace System Engineering, Beijing 100076, China)

The study conducts an application research on the guidance law design of the ascent trajectory for a launch vehicle based on the Gauss pseudo-spectral method (GPM). During each period, high efficiency and high precision trajectory optimization numerical methods are used to design the current guidance law. Through making appropriate choices about the number of nodes and the period of guidance, this method is not only to reduce the calculation time, but also to solve the constrained problem rapidly. Compared to the iterative guidance method, the GPM guidance method is much more easily to deal with the constrained problem under the same orbit injection precision. Simulations indicate that this method can also effectively deal with a variety of deviations, so it is very closer to the engineering application.

Pseudo-spectral method; Real-time online guidance; Trajectory optimization; Nonlinear programming (NLP)

2016-09-05;

2017-01-03

V448.13

A

1000-1328(2017)03-0262-08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.03.006

张志国(1991-)，男，博士生，主要从事飞行器轨迹优化、制导与控制方法研究。