关于三角形四心的一个几何不等式

浙江工商大学统计与数学学院(310018) 李冠戬

关于三角形四心的一个几何不等式

浙江工商大学统计与数学学院(310018) 李冠戬

本文通过对一个定理进行拓展延伸得到一个新的几何不等式,并运用Gerretsen不等式,欧拉不等式和p-R-r法及三角函数的性质证明了它.

对称点 三角形内的特殊点 几何不等式

一、引言

几何不等式是沟通代数与几何的重要媒介,它既有几何的直观形象,又有代数的逻辑严密.文[1]讨论了关于三角形内一点作三边对称点得到新三角形的方法.

本文借鉴了这种方法,分别取该点为外心,垂心,内心,重心,得到一系列优美简洁的表达式,并研究了它们之间的不等关系,推导出一个新的几何不等式.

首先,介绍一个定理,它是我们一切思路的源头.沈文选在文[1]第98页例6中证明了如下定理：

定理1 P为△ABC内一点,点P关于边AB,BC,CA的对称点分别为P1,P2,P3,则

在这个定理的基础上,我们分别取P为△ABC的外心,垂心,内心,重心,得到一些漂亮的结果.为了统一起见,避免出现绝对值,下面我们只讨论△ABC为非钝角三角形的情况.

以下是一些必要的符号和记号.

定义1非钝角中△ABC,记AB=c,BC=a,CA= b,S,R,r,C,p分别为其面积,外接圆半径,内切圆半径,周长及半周长,O,H,I,G分别为外心,垂心,内心,重心,记它们关于三边的对称点构成的三角形面积分别为SO,SH,SI,SG.

于是由定理1,结合三角形内的特殊点的性质,及平面几何公式,我们有下面几个定理成立.

定理2.1 外心O关于三边的对称点构成的三角形与原三角形全等.

定理2.2 SH=8S cosAcosB cosC,SI=SG=S,(注：这里的是轮换求和的简写,如以下同.)

二、一个引理

为了证明下面的几何不等式链,我们先证明一个引理.

引理(Gerretsen不等式)设R,r,p分别为△ABC外接圆半径,内切圆半径,半周长,则16Rr-5r2≤ p2≤4R2+4Rr+3r2

三.新的几何不等式

根据定理2.2得到的表达式,我们推导证明出下列的几何不等式链.

定理3 SH≤SI≤SG≤S.

再证SI≤SG.由定理2.2及a2=2p2-8Rr-2r2,等价于证p2≥13Rr+r2由引理p2≥16Rr-5r2及R≥2r即证.

最后证SG≤S,由定理2.2及∑a2=2p2-8Rr-2r2,等价于证2p2≤9R2+8Rr+2r2.由引理p2≤4R2+4Rr+ 3r2及R≥2r即证.

本文得到了陈振龙老师的指导与帮助,谨在此表示衷心的感谢.

[1]沈文选.平面几何证明方法全书[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,2005.

[2]苏化明.关于重心的垂足三角形的性质[J].中学数学,1994(3)：10.