例谈波利亚“怎样解题表”在初中数学解题教学中的应用

刘红杏 刘君

【摘要】在初中数学教学活动中，提高解题能力是培养学生数学才能和教会其思考的一种重要手段和途径.而波利亚的“怎样解题表”为我们提供了一套系统的探索解题途径，有利于掌握解题过程的一般规律.本文将结合初中数学中的平行线的判定及性质，例谈“怎样解题表”在初中数学解题教学中的应用.

【关键词】解题表；初中数学；平行线的判定和性质

一、波利亚的数学思想解题简介

他将传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用.因此，波利亚曾指出：“中学数学教学的首要任务就是要加强解题的训练.”而这种“解题”并不同于“题海战术”，他认为解题应该作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径.

二、波利亚的“怎样解题表”简介

这张解题表看似简单，实际上它给出了一套解决数学问题的一般方法与模式，同时还揭示了解题中的思维方法和思维过程.即：如何理解题目、如何拟订方案、如何执行方案、如何回顾反思.

（一）第一步：弄清题意

1.已知是什么？未知是什么？

2.条件是什么？结论是什么？

3.画出草图，引入适当的符号.

（二）第二步：拟订计划

1.见过这道题或与之类似的题吗？

2.能联想起有关的定理或公式吗？

3.再看看未知数！

4.换一种方式来叙述这道题.

5.回到定义看看！

6.先解决一个特例试试.

7.这个问题的一般式是什么？

8.你能解决问题的一部分吗？

9.你用了全部条件吗？

（三）第三步：实行计划

实现你的解题计划并检验每一步骤，证明你的每一步都是正确的.

（四）第四步：回顾

1.检查结果并检验其正确性.

2.换一个方法做这道题.

3.尝试把你的结果和方法用到其他问题上.

三、波利亚解题表在平行线的判定及性质中的应用

如何能让学生对平行线的判定及性质的相关问题形成一套规范的解题思路，养成良好的解题习惯，拓展学生的解题思维呢？本文结合波利亚“怎样解题表”中的数学思想对平行线的判定及性质中的一道实例进行分析.运用波利亚“怎样解题表”中的数学思想进行系统分析，例谈“怎样解题表”

在初中数学解题教学中的应用.

例如图，已知∠1+∠2=180°，∠1=∠A，∠BFG=60°，求∠ACB的度数.

（一）弄清问题

以本题为例，我们可以自我提问，已知量是什么？未知量是什么？条件是什么？结论是什么？进而得出本题未知量是∠ACB的度数，已知量是∠BFG=60°，条件是∠1+∠2=180°，∠1=∠A，而由∠1+∠2=180°可以初步得到结论AB∥DE.

（二）拟订计划

本题是要求出∠ACB的度数，条件是∠1+∠2=180°，∠1=∠A，∠BFG=60°，由∠1+∠2=180°，而∠1+∠DEG=180°，所以∠DEG=∠2，进而初步得到AB∥DE，得到一组平行关系之后，此时就该再想还有哪些已知条件没有用到？进而想到∠1=∠A和∠BFG=60°这两个条件没有用到，特别注意到∠1=∠A这个条件在AB和DE这组平行关系里，有∠1=∠BGF，想要求出∠ACB的度数，如果有AC∥GF，那么利用∠BFG=60°就可以了，因此，本题的关键就落在能否证出AC∥GF，那么又因为∠1=∠BGF，且∠1=∠A，所以得到∠A=∠BGF，所以AC∥GF.

（三）实现计划

∵∠1+∠2=180°且∠1+∠DEG=180°，（已知）

∴∠DEG=∠2，（等量代换）

∴AB∥DE，（内错角相等，两直线平行）

∴∠1=∠BGF，（两直线平行，同位角相等）

又∵∠1=∠A，（已知）

∴∠A=∠BGF，（等量代换）

∴AC∥GF，（同位角相等，两直线平行）

又∵∠BFG=60°，（已知）

∴∠ACB=∠BFG=60°.（两直线平行，同位角相等）

因此对于本题而言，每个步骤都可以确实地解释清楚，可以清楚地看出每一个步骤的正确性.

（四）回顾反思

在这四个阶段中“实现计划”较为容易，需要的只是解题者的耐心和认真；“弄清问题”则是成功解决问题的前提；“回顾”是最容易忽视的一个环节，通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的思路，可以鞏固学生的知识和发展学生的解题能力，进一步形成认知能力.

波利亚主张在解题教学中要善于选择一道有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面，使学生通过这一道题，就如同通过一道大门进入一个崭新的天地.