“一题二解，孰对孰错？”讨论

罗珊珊+赵临龙

《數学通讯》在“争鸣”栏内，给出问题244：一题二解，孰对孰错？

问题已知不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集为[a，b]，则a+b的值为.[1]

文[1]给出问题的2种解法，但结果大不相同.作者指出：“问题到底出在哪里，究竟孰对孰错？”现将2种解法列出如下.

解法一设f（x）=34x2-3x+4=34（x-2）2+1.

如果a<2

所以a=1，（f（x））max=max（f（1），f（b））=b，

解得b=4，此时a+b=5；

如果2

所以f（a）=a，f（b）=b，a，b为方程34x2-3x+4=x的两个根，所以a+b=163；

如果af（b），所以f（a）=b，f（b）=a，

得到34a2-3a+4=b，34b2-3b+4=a，

两式作差，得到a+b=83.

综上，a+b可能的值为5，163，83.

解法二设f（x）=34x2-3x+4=34（x-2）2+1，它的图像为一条抛物线，画两条与x轴平行的直线y=a，y=b，如果两直线与抛物线各有两个交点，得到解集应该是两个区间，而此不等式的解集为一个区间，所以两直线不可能都与抛物线有两个交点，即y=a与抛物线只有一个交点或者没有交点（即a≤1），而y=b应该与抛物线有二个交点（即b>1），且满足f（a）=f（b）=b.

由f（a）=f（b）=b，得到

34a2-3a+4=34b2-3b+4=b，

解得a=0，b=4，所以a+b=4.

现在，对解法二进行讨论.

设f（x）=34x2-3x+4=34（x-2）2+1≥1，则（f（x））min=a≥1.（并不是文[1]的结论a≤1）

1.如图.当a=1时，对于1=a<2

1=a=（f（x））min<（f（x））max=max（f（a），f（b））=max（f（1），f（b））=b.（1）

由f（1）=34+1=74（1=a<2

由f（b）=34b2-3b+4=b，求得b=43或4，

则（f（x））max=max（f（1），f（b））=b=4.

于是，a+b=1+4=5.

2.如图.当a>1时，对于1

1

此时，由a=34b2-3b+4，b=34a2-3a+4，得到：

a-b=-34（a-b）（a+b）+3（a-b），

则a+b=83（1

3.如图.对于2

1

此时，由a=34a2-3a+4，b=34b2-3b+4，得到：

a-b=34（a-b）（a+b）-3（a-b），

则a+b=163（2

由此，说明解法1是正确的，而解法2有误的原因，是错误地将a限定在“a≤1”内.

此时，当a<1时，除满足文[1]的条件f（a）=f（b）=b外，还要满足条件（文[1]没有考虑）x=a=b（这是不可能）.由此，解法2有误.

【参考文献】

[1]江保兵.争鸣[J].数学通讯，2016（4）：38.