浅谈高中平面几何中的对称问题

郁铠畅

在高考即将来临之际，作为一名高中学生，对于高中一些知识有许多心得和体会.在高考备考准备阶段，本人对平面几何中的对称问题进行探讨.本文主要就定点对称问题（中心对称）、定直线对称问题（轴对称问题），通过对例题的分析和总结对相关问题进行说明和介绍.希望大家能够举一反三，灵活应用，以期对大家备战高考有所帮助.

一、定点对称问题

（一）点关于定点对称

例1已知点A（5，8），试求所有在点A的右上方且与点A的距离都等于2的点在以点A为对称点下所围成的图形.

解如果按照一般的思路，应进行设点然后建立方程并求解，根据解来分析点满足的曲线.但是，通过观察我们发现与点A的距离等于2的右上方的点是一个扇形，所以该图形实际是四分之一的扇形关于圆心（5，8）的对称图形.

例2已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），一质点从与AB夹角为θ的方向射到BC的中点P1后，依次反射到CD，DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）.若P4的坐标为（x4，0）.若1

A.13，1

B.13，23

C.25，12

D.25，23

解从一点出发的光线被一直线反射，其反射角相当于这点关于这直线对称的点发出的光线.从P0点发出的光线被BC反射相当于从P0′发出的光线，如图.

P0′（3，0），点P0′关于直线DC：y=1的对称点P1′（3，2）.点P1′关于直线AD：x=0对称的P2′（-3，2），直线P2′P4就是最后一条反射光线所在直线.

∠AP4P2′=∠BP0P1=∠θ.∵P4（x4，0），∴tanθ=2x4-（-3）=2x4+3，而x4∈（1，2），∴2x4+3∈25，24，即tanθ∈25，12.所以答案选C.

点关于点的对称问题是最基本的对称问题，是解答其他对称问题的基础，其中点M（a，b）关于原点O的对称点是M′（-a，-b）.

特别提醒：面对该类型的对称问题时，在解题时首先要分清对称点和定点的位置，在做题时切不可将二者混淆.

（二）直线关于定点对称

例3设曲线C的方程为y=x3-x，将C沿x轴、y轴分别平移t，s单位后得到曲线L.

（1）写出L的方程；

（2）证明C与L关于点A（，）对称.

解（1）可知L的方程为y=（x-t）3-（x-t）+s.

证明（2）在C上取一点B（a，b），它关于A的对称点为C（c，d），由a=t-c，b=s-d，代入C可得s-d=（t-c）3-（t-c）.所以C（c，d）满足L的方程.即C在L上，反之易证L上关于点A的对称点在C上.

例4直线y=2x-3关于点（1，2）的对称直线的方程为（）.

A.2x-y+3=0

B.x-2y-3=0

C.3x+y+3=0

D.2x+y+3=0

解设所求直线上任意一点为（x，y），它关于（1，2）的对称点是（x′，y′），2=x+x′，4=y+y′，x′=2-x，y′=4-y，将（x′、y′）的坐标代入原方程得出所求的方程2x-y+3=0.答案选A.

二、关于定直线对称问题

（一）点关于定直线对称

例5已知抛物线y2=4px（p>0），直线l：y=kx+pk（k≠0），求证：无论k取何值该抛物线的焦点以l为对称轴所对应的点都在该抛物线的准线上.

分析只需证明点F在对称直线l下的对应点横坐标为x=-p即可.

解可得焦点F坐标为（p，0），过点F且与直线l垂直的直线方程为y=-1k（x-p），将该方程与方程y=kx+pk（x≠0）.事实上在解题过程中只需要求得交点的横坐标与纵坐标即可，求得该点坐标为0，pk.设F（p，0）在对称下的坐标为（x，y），并且有0=p+x，接的x=-p.因此，抛物线的焦点关于直线l对称点所在的直线为该抛物线的准线.

（二）曲线和直线关于定直线对称

例6试求直线l：x-y-2=0关于直线：3x-y+3=0所对称的直线方程.

解一观察发现直线l与对称轴直线是不平行的，因此有相交点.联立两方程可求得交点坐标为-52，-92，同时该点也位于另一条直线上.假设所求直线的方程为y+92=kx+52，化简得2kx-2y+5k-9=0.又由對称直线关于对称轴所成的角相等这一性质可得3-11+3=k-31+3k，解得k=-7，所以，所求直线的方程为7x+y+22=0.

解二在直线l上任取一点P（x1，y1）并且该点不在对称直线上.同时设该点关于对称直线的对称点为Q（x′，y′）.那么有x1=-4x′+3y′-95，y1=3x′+4y′+35.又已知点P（x1，y1）满足x1-y1-2=0，将上式带入可得Q（x′，y′）满足7x′+y′+22=0.由于Q（x′，y′）具有普遍性因此所求直线的方程为7x+y+22=0.

特别提醒：我们知道每个点可以根据对称轴找到唯一的对称点.而一条直线是可以由两个不重合的点所确定.所以我们可以找l中两个互异的点关于对称轴的对称点，然后求得过该两点的直线即为所求直线方程；关于直线对称的两条直线它们与对称轴所成的夹角是相等的，这也是在求解对称直线时的主要思路.

三、综合运用

例7已知直线l：2x-3y+1=0，点A（-1，-2）.求：

（1）点A关于直线l的对称点A1的坐标；

（2）直线m：3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m1的方程；

（3）直线l关于点A（-1，-2）对称的直线l1的方程.

分析（1）设出A1的坐标，由AA1垂直于l和AA1的中点在l上，建立方程求解即可.

（2）在m上任取一点M，求M关于l的对称点M1，直线l与m的交点为N，由两点式求得直线m1.

（3）在直线上任取两点M，N，求关于A的对称点M1，N1，由两点式得方程.

解（1）设A（x，y），由已知得y+2x+1×23=-1，2×x-12-3×y-22+1=0，解得x=-3313，y=413，所以所求点A1（x，y）为-3313，413.

（2）在直线m上任取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点M1必在直线m1上.设对称点M1（a，b），则2×a+22-3×b+02+1=0，b+0a-2×23=-1.解得：M1613，3013.

设直线l与m的交点为N，则由2x-3y+1=0，3x-2y-6=0，解得N（4，3）.又因为m1经过点N（4，3），所以由两点式得直线m1的方程为9x-46y+102=0.

（3）在l：2x-3y+1=0上任取两点，如M（1，1），N（4，3），则M，N关于点A（-1，-2）的对称点M1，N1均在l1上.可得M1（-3，-5），N（-6，-7）.在由两点式可得l1的方程为2x-3y-9=0.

四、心得体会

1.在解对称性的数学题目时，我们首先要判断该题目是关于线对称还是点对称的问题.然后根据所学的相关对称知识和性质进行计算.并且在计算坐标过程中需特别注意不能将定点坐标和固定点坐标弄混.

2.点关于某一点对称的对称中心就是已知点与对称点所连接的线段的中点；同时在做题时面对点关于直线对称的情况时要注意以下两点：（1）与对称轴垂直的是已知点和它所对称点的连线；（2）对称轴不仅在两对应点连线的中点上，而且还是该线段的垂直平分线.