直线的倾斜角和斜率的教学设计

洪开科

一、创设情境，激发求知

T：大家知道一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，其中参数k有什么意义呢？今天我们一起来研究.

二、学生体验，理解定义

T：在同一坐标系中画出直线① y=2x，② y=2x-4，③ y=2x+4，思考两条k值相同的直线有什么特点？

S：两条k值相同的直线平行.

T：即k1=k2

Symbol^C@ l1∥l2.

T：在上面坐标系中再画出直线④ y=x+4，⑤ y=4x+4，根据直线③④⑤思考k值不同的直线有什么特点？

S：倾斜程度不同，k值越大，倾斜程度越大.

T：用一个什么量来表示直线的倾斜程度，怎样定义这个量？

S：讨论得到，当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.

T：倾斜角α的取值范围是什么？

S：[0°，180°）.

T：想一想：直线l的k值与倾斜角α有什么关系？

S：探索得到，k=tanα，即一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示.

T：这就解决了我们开始提出的问题，直线方程y=kx+b中的参数k就是这条直线的斜率.

三、观察探究发现三角公式

T：在上面坐标系中再画出直线⑥ y=-2x+4，⑦ y=-x+4，⑧ y=-4x+4，想一想斜率相反的两条直线它们的倾斜角有什么关系？

S：互补，即tan（180°-α）=-tanα.

T：练习，tan120°=；tan135°=；tan150°=.

四、根据k=tanα探索直线两点的斜率公式

T：经过两点有且只有（确定）一条直线.从而斜率也确定了.那么，已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），这条直线的斜率k怎样计算？

S：合作讨论推导，直线两点的斜率公式k=tanα=y2-y1x2-x1.

S1：当P1P2的方向向上时，过P1作x轴的平行线，过P2作y轴的平行线，两线交于点Q，在直角△P1P2Q中，可得k=tanα=y2-y1x2-x1.

S2：这是α为锐角的情形，若α为钝角的情形，也要考虑.

k=tanα=-tan（180°-α）=y2-y1x2-x1.

S3：当P1P2的方向向下时，对于α为锐角、钝角的情形，同样可以得出公式.

T：同学们讲得很好，这就完整地解决了已知直线上的两点求这条直线斜率的问题，并且在讨论中，我们知道直线斜率的计算与这两点顺序无关.

五、完善定义，理解倾斜角与斜率的关系

T：特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0°，k=0；

当直线l与x轴垂直时，α=90°，k不存在.

S：练习，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k存在.

直线的倾斜角α是锐角，则斜率；α是钝角，则斜率.

六、学生练习巩固所学内容

例1已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-2），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.

例2计算下列直线的斜率，并求出它们的倾斜角.

（1）A（-3，5），B（0，2）；（2）C（2，0），D（1，3）；

（3）E（a，b），F（a，c）；（4）G（-2，-1），F（1，3-1）.

例3已知點P（3，2），点Q在x轴上，若PQ的倾斜角为45°，求点Q的坐标.

例4在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线a，b，c，l.

编者按：这是一节值得推广的教学设计，具有如下特点

1.从已学的一次函数开始提出问题，体现了知识体系的建构思想.

2.画出几个一次函数的图像，感知斜率的意义，从而得出倾斜角与斜率的概念和关系，体现了从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律.

3.画出斜率互为相反数的两条直线，感知未学又要补充的三角公式tan（180°-α）=-tanα，为推导直线两点的斜率公式做好了铺垫.