巧析问题情景 突破解题难点

林喆

摘要：解答数学题的难点就是分析题意，找到突破点。实践证明，数学题往往根据相关概念、性质以及图像信息进行拓展和延伸得到的，因此解答题目必须要具备“透过事实看本质”的能力，具体来讲就是正确分析问题的情景，找到问题的本质，从而抓住“突破口”，快速、准确地解决问题。

关键词：问题情景；定义；类比；转化；图形

课改背景下，数学学习的目标不再是掌握数学知识点，而是要能够运用数学知识解决实际问题。通过分析高考试卷和教材习题发现，大部分数学题目都是根据概念、性质以及图像信息拓展和延伸得到，解决问题的关键就是分析问题的情景，找到问题的本质，抓住“突破口”。

“新信息”的套用与分析

所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。读取“新信息”的步骤：一是，若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围；二是确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系；三是把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。

理解“新信息”可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解，也可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。

以形助数，根据结构联系图形

在解决具有明显几何意义的问题时，往往挖掘其延伸的幾何信息，以形助数找到问题突破口，另辟捷径来解决问题。如在解决一些不等式的恒成立问题中，可以从所求的参数在图像中是否具备一定的几何含义，然后利用题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征，然后求解问题。

例1.已知函数是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）=（|x-a2|+ |x-2a2|-3a2），若，则实数的取值范围是 。

思路分析：是奇函数且在x>0时是分段函数（以为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法。从数形结合的角度来看，一方面的图像比较容易作出，另一方面可看作是的图像向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找满足的条件。先将写为分段函数形式：，作出正半轴图像后再根据奇函数特点，关于原点对称作出x负半轴图像。恒成立，意味着的图像向右平移一个单位后，其图像恒在的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要平移个长度，所以可得：。

评注：利用题设作图时要了解所求参数在图像中扮演的角色，可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图像（往往随参数的不同取值而发生变化），同时，在作图时，要注意草图的信息点尽量完备。

利用定义、性质突破难点

定义与性质在解题的过程中的“点击率”非常高，但是大部分学生都不能够“通过事实看本质”，往往不能够化繁为简，回归本源，找到突破口。椭圆方程的题目出现时，往往就是运用性质、定义，但学生往往不能完成转化。

例2.已知F1、F2是椭圆图形的左右焦点，若椭圆上存在点P，使得，则椭圆图形离心率的取值范围是（ ）。

A. B. C. D.

思路：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时，达到最大值。所以若椭圆上存在的点P，则短轴顶点与焦点连线所成的角，考虑该角与a，b，c的关系，由椭圆对称性可知，，所以，即，进而即，解得，再由可得。

评注：本题的解题方法有多种，此处只讲了一种。它们的重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解。

解题之前，要先分析题目给出的情景，找到题目中给出的已知条件，联系数学知识点，从而找到突破口，就能够快速、准确地完成题目。

（作者单位：吉林省长春市第十一中学）